高效學(xué)習(xí)案例(劉治英)

1、高效學(xué)習(xí)案例 -從數(shù)線段說(shuō)起 重慶市涪陵區(qū)第十六中學(xué)校 劉治英內(nèi)容摘要：運(yùn)用知識(shí)遷移，脫離題海、脫離苦海，提高學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)習(xí)興趣關(guān)鍵詞：數(shù)線段 化歸思想 觸類(lèi)旁通“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以練習(xí)為主線。”這是當(dāng)代教育家錢(qián)夢(mèng)龍先生提出的課堂教學(xué)的指導(dǎo)思想。但是在教學(xué)實(shí)踐中，往往把“以練習(xí)為主線”，當(dāng)作題海戰(zhàn)術(shù)，就是大量地做練習(xí)題。把過(guò)去的滿(mǎn)堂講，變?yōu)楝F(xiàn)在的滿(mǎn)堂練。也有人認(rèn)為數(shù)學(xué)的教學(xué)就是習(xí)題的教學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)的方法就是題海戰(zhàn)術(shù)。其實(shí)，非也！所謂：“授之以魚(yú)，不如授之以漁?！比绻覀?cè)诮虒W(xué)中有意識(shí)的梳理知識(shí)，有效運(yùn)用遷移規(guī)律對(duì)已有知識(shí)、技能、概念進(jìn)行正遷移，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通的學(xué)習(xí)能

2、力和探索發(fā)現(xiàn)能力，我們就能脫離題海，脫離苦海。變苦學(xué)為樂(lè)學(xué),提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)自信，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無(wú)窮樂(lè)趣。下面我將以巧數(shù)線段為例，利用數(shù)學(xué)的化歸思想，讓學(xué)生體驗(yàn)舉一反三、觸類(lèi)旁通的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。一：怎樣巧數(shù)線段例1：數(shù)一數(shù)圖中有幾條線段. 方法一：可以抓住端點(diǎn)來(lái)數(shù).左端點(diǎn)是A的，有線段AB、AC、AD、AE共4條；左端點(diǎn)是B的，有線段BC、BD、BE共3條；左端點(diǎn)是C的，有線段CD、CE共2條；左端點(diǎn)是D的，有線段DE共1條.合在一起，圖中有4+3+2+1=10條線段.方法二：也可以抓住段數(shù)來(lái)數(shù).單獨(dú)一段形成的，有線段AB、BC、CD、DE共4條；兩段合在一起形成的，有線段AC、

3、BD、CE共3條；三段合在一起形成的，有線段AD、BE共2條；四段合在一起形成的，有線段AE共1條.合在一起，圖中有4+3+2+1=10條線段. 以上排列有序的連加算式，似乎可以讓大家聯(lián)想出更一般情形的計(jì)數(shù)方法.如果一條較長(zhǎng)的線段上有n個(gè)點(diǎn)，那么就被劃分成（n-1）條小段（n為不小于2的自然數(shù)）那么，從這條較長(zhǎng)的線段中共可以數(shù)出多少條線段呢？線段的總條數(shù)就是（n-1）+3+2+1=n（n-1）/ 2這樣數(shù)線段是不是更科學(xué)更方便呢？練習(xí)：在一條線段中間共刻有2000個(gè)不重合的點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)，從這條線段中共可以數(shù)出多少條線段來(lái)？二：數(shù)線段問(wèn)題的方法運(yùn)用經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)線段問(wèn)題的細(xì)致研究、變異、拓廣，可導(dǎo)出許多新

4、的命題，只要我們能洞察數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，抓住事物間的連接點(diǎn)，有效運(yùn)用遷移規(guī)律就能收到舉一反三、觸類(lèi)旁通的效果，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維方法有重要作用，可謂其樂(lè)無(wú)窮也。【問(wèn)題一】數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)角？ 分析：我們知道有公共端點(diǎn)兩條射線組成一個(gè)角，通過(guò)觀察可知，圖中有6條射線，圖中包含的所有角都具有O點(diǎn)這一共同端點(diǎn)。如果我們按照一定的順序數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：按逆時(shí)針?lè)较蚩?，以射線OA為角的始邊的角有5個(gè)；以射線OB為角的始邊的角有4個(gè)；以射線OC為角的始邊的角有3個(gè)；以射線OD為角的始邊的角有2個(gè)；以射線OE為角的始邊的角有1個(gè)。角的總數(shù)：5+4+3+2+1（65）/ 2 = 15（個(gè)）也可這樣理解：可把

5、有公共端點(diǎn)的六條射線看成在同一條直線上的六個(gè)點(diǎn)，六條射線組成角的個(gè)數(shù)就是六個(gè)端點(diǎn)組成線段的條數(shù)，角的總數(shù)即為（65）/ 2 = 15（個(gè)）【問(wèn)題二 】數(shù)三角形：如圖，點(diǎn) P 與直線l上的 A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)一共可以構(gòu)成幾個(gè)三角形？ 分析： 我們可以用類(lèi)似的方法來(lái)想：因?yàn)镻AB、PBC、，它們均以點(diǎn)P為公共點(diǎn)，所以三角形的個(gè)數(shù)取決于直線l上線段的條數(shù)，而直線l上共有（43）/ 2= 6 條線段，故共有6個(gè)三角形PABCDl 【問(wèn)題三 】.你能從下圖中數(shù)出多少個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)分析：這個(gè)圖形的特點(diǎn)：就是其中每一個(gè)長(zhǎng)方形的寬都相等（等于AB或CD），因此，以AB為寬的每一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)都是BC上的一條對(duì)應(yīng)線

6、段，這樣，以AB為寬的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，取決于BC上的線段的條數(shù)，由于BC上的線段的條數(shù)為：321（43）/ 2= 6（條），所以這個(gè)圖形中的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)是6個(gè)中考鏈接：（2011年重慶中考）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第個(gè)圖形中一共有1個(gè)平行四邊形，第個(gè)圖形中一共有5個(gè)平行四邊形，第個(gè)圖形中一共有11個(gè)平行四邊形，則第個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（ ） A 55 B 42 C 41 D 29ABCD【問(wèn)題四】列車(chē)票：如圖，在火車(chē)站 A到火車(chē)站 B的鐵路之間還有C、D兩個(gè)火車(chē)站，問(wèn)從A地到B地有多少種列車(chē)票價(jià)？問(wèn)從A地到B地需要定制幾種列車(chē)票分析：我們知道，票價(jià)只與列車(chē)

7、行駛的路程有關(guān)，而與列車(chē)行駛的方向無(wú)關(guān).把鐵路看成是直線，數(shù)一數(shù)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間一共有幾條線段即可共有（43）/ 2= 6 條線段，故有 6 種票價(jià).又因?yàn)榱熊?chē)票不僅與票價(jià)有關(guān)，而且與列車(chē)行駛的方向也有關(guān).如“重慶北京”與“北京重慶”就是兩種不同的乘車(chē)方向，它們的票價(jià)一般情況下是相同的，但列車(chē)票的形式不同，需準(zhǔn)備兩種車(chē)票.即把線段AB和BA看作是兩條線段，故共需定制34 = 12（種）列車(chē)票. 中考鏈接：(2008自貢市)往返于甲、乙兩地的火車(chē)中途要?？咳齻€(gè)站，則有 種不同的票價(jià)，（來(lái)回票價(jià)一樣），需準(zhǔn)備 種車(chē)票?！締?wèn)題五】握手問(wèn)題：“二十年后再相聚”某校原高三（1）班學(xué)生，二十年后在母校聚會(huì)，

8、見(jiàn)面都要相互握一次手，一共來(lái)了50 名同學(xué)，問(wèn)他們一共握了幾次手？分析：我們把50名同學(xué)可看作是一線段上的50個(gè)點(diǎn)，兩人見(jiàn)面握手就好比是連結(jié)兩點(diǎn)成一條線段，這樣就歸結(jié)到“數(shù)線段”的問(wèn)題上. 因此，一人要握49次手，有50名同學(xué)，且相互之間只握一次，故一共握（5049）/ 2=1225（次）手。中考鏈接：（2011重慶中考模擬）某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有X名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為 【問(wèn)題六】 直線交點(diǎn) (人民教育出版社2005年6月版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第128頁(yè)，拓廣探索第10題)兩條

9、直線相交，有個(gè)交點(diǎn)三條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)?四條直線呢?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢? 分析： n條直線相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢？當(dāng)n條直線兩兩相交即每?jī)蓷l都相交時(shí)交點(diǎn)最多，這就 好比n個(gè)人在握手，當(dāng)然就可歸結(jié)到“數(shù)線段”的問(wèn)題。n條直線相交交點(diǎn)最多就有n（n-1）/ 2個(gè)交點(diǎn). 三條直線相交，最多有（32）/ 2= 3（個(gè)）交點(diǎn)；四條直線相交，最多有（43）/ 2= 6個(gè)交點(diǎn)中考鏈接：（2011黃石）平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n你個(gè)點(diǎn)最多可確定21條直線，則n的值為（ ）。A.5 B.6 C.7 D.8【問(wèn)題七】比賽場(chǎng)次：體育上“對(duì)抗循環(huán)賽”的比賽場(chǎng)

10、次，也可以仿照“數(shù)線段”的方法計(jì)算.如5個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行單打（相互間只賽一次）循環(huán)賽，1個(gè)隊(duì)需分別與另4個(gè)打4場(chǎng)比賽，5個(gè)隊(duì)共打（54）/ 2 =10（場(chǎng)）；如果是職業(yè)球賽，它有主、客場(chǎng)次，則它與“列車(chē)票”類(lèi)似，不用除以2，需打20場(chǎng).【問(wèn)題八】直線分平面問(wèn)題：一條直線可以分平面為兩個(gè)部分；兩條直線最多可分平面為4個(gè)部分；三條直線最多可分平面為7個(gè)部分.那么8條直線最多可分平面為幾個(gè)部分？n條直線呢？分析：一條直線可以分平面為1+1=2個(gè)部分；用2條直線最多可以把一個(gè)平面分成1+1+2=4部分；3條直線最多可以把一個(gè)平面分成1+1+2+3=7部分；4條直線最多可以把一個(gè)平面分成1+1+2+3+4=11部分：5條直線最多可以把一個(gè)平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；n條直線最多可以把平面分成