考研數(shù)學(xué)二真題及答案答案解析

1、2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1、設(shè)，當(dāng)時，（ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價的無窮小 （D）與是等價無窮小【答案】（C）【考點】同階無窮小【難易度】【詳解】，即當(dāng)時，即與同階但不等價的無窮小，故選（C）.2、已知由方程確定，則（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）【考點】導(dǎo)數(shù)的概念；隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】當(dāng)時，.方程兩邊同時對求導(dǎo)，得將，代入計算，得 所以，選（A）.3

2、、設(shè)，則（ ）（A）為的跳躍間斷點 （B）為的可去間斷點（C）在處連續(xù)不可導(dǎo) （D）在處可導(dǎo)【答案】（C）【考點】初等函數(shù)的連續(xù)性；導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】【詳解】，在處連續(xù).，故在處不可導(dǎo).選（C）.4、設(shè)函數(shù)，若反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【考點】無窮限的反常積分【難易度】【詳解】由收斂可知，與均收斂.，是瑕點，因為收斂，所以，要使其收斂，則所以，選D.5、設(shè)，其中函數(shù)可微，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【考點】多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】，故選（A）.6、設(shè)是圓域位于第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答

3、案】（B）【考點】二重積分的性質(zhì)；二重積分的計算【難易度】【詳解】根據(jù)對稱性可知，.（），（）因此，選B.7、設(shè)A、B、C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（ ）（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價【答案】（B）【考點】等價向量組【難易度】【詳解】將矩陣、按列分塊，由于，故即即C的列向量組可由A的列向量組線性表示.由于B可逆，故，A的列向量組可由C的列向量組線性表示，故選（B）.8、矩陣與相似的充分必要條件是（ ）（A）（B）為任意常數(shù)（C）（D） 為

4、任意常數(shù)【答案】（B）【考點】矩陣可相似對角化的充分必要條件【難易度】【詳解】題中所給矩陣都是實對稱矩陣，它們相似的充要條件是有相同的特征值.由的特征值為2，0可知，矩陣的特征值也是2，0.因此，將代入可知，矩陣的特征值為2，0.此時，兩矩陣相似，與的取值無關(guān)，故選（B）.二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.9、 .【答案】【考點】兩個重要極限【難易度】【詳解】其中，故原式=10、設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) .【答案】【考點】反函數(shù)的求導(dǎo)法則；積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】由題意可知，.11、設(shè)封閉曲線的極坐標(biāo)方程方程為，則所圍平面圖形的面積

5、是 .【答案】【考點】定積分的幾何應(yīng)用平面圖形的面積【難易度】【詳解】面積12、曲線上對應(yīng)于點處的法線方程為 .【答案】【考點】由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】由題意可知，故曲線對應(yīng)于點處的法線斜率為.當(dāng)時，.法線方程為，即.13、已知，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程滿足條件，的解為 .【答案】【考點】簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程【難易度】【詳解】，是對應(yīng)齊次微分方程的解.由分析知，是非齊次微分方程的特解.故原方程的通解為，為任意常數(shù).由，可得 ，.通解為.14、設(shè)是3階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若，則 .【答案】-1【考點】伴隨矩陣【難易

6、度】【詳解】等式兩邊取行列式得或當(dāng)時，（與已知矛盾）所以.三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）當(dāng)時，與為等價無窮小，求和的值.【考點】等價無窮小；洛必達法則【難易度】【詳解】故，即時，上式極限存在.當(dāng)時，由題意得16、（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值.【考點】旋轉(zhuǎn)體的體積【難易度】【詳解】根據(jù)題意，.因，故.17、（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D由直線，圍成，求 【考點】利用直角坐標(biāo)計算二重積分【難易度】【詳解】根據(jù)題意

7、，故18、（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（）存在，使得；（）存在，使得.【考點】羅爾定理【難易度】【詳解】（）由于在上為奇函數(shù)，故令，則在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，.由羅爾定理，存在，使得，即.（）考慮令，由于是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，由（）的結(jié)論可知，.由羅爾定理可知，存在，使得，即.19、（本題滿分10分）求曲線上的點到坐標(biāo)原點的最長距離和最短距離.【考點】拉格朗日乘數(shù)法【難易度】【詳解】設(shè)為曲線上一點，該點到坐標(biāo)原點的距離為構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 由 得 點到原點的距離為，然后考慮邊界點，即，它們到原點的距離都是1.因此，曲線上點到坐標(biāo)原點的最長距離為，最短距離為1. 20、

8、（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)（）求的最小值；（）設(shè)數(shù)列滿足，證明存在，并求此極限.【考點】函數(shù)的極值；單調(diào)有界準(zhǔn)則【難易度】【詳解】（）由題意，令，得唯一駐點當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是的極小值點，即最小值點，最小值為.（）由（）知，又由已知，可知，即故數(shù)列單調(diào)遞增.又由，故，所以數(shù)列有上界.所以存在，設(shè)為A.在兩邊取極限得 在兩邊取極限得 所以即.21、（本題滿分11分）設(shè)曲線的方程為滿足（）求的弧長；（）設(shè)D是由曲線，直線，及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo).【考點】定積分的幾何應(yīng)用平面曲線的弧長；定積分的物理應(yīng)用形心【難易度】【詳解】（）設(shè)弧長為，由弧長的計算公式，得（）由形心的計算公式，得.

9、22、（本題滿分11分）設(shè)，當(dāng)為何值時，存在矩陣C使得，并求所有矩陣C.【考點】非齊次線性方程組有解的充分必要條件【難易度】【詳解】由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè).由可得 整理后可得方程組 由于矩陣C存在，故方程組有解.對的增廣矩陣進行初等行變換：方程組有解，故，即，.當(dāng)，時，增廣矩陣變?yōu)闉樽杂勺兞?，令，代入相?yīng)齊次方程組，得令，代入相應(yīng)齊次方程組，得故，令，得特解方程組的通解為（為任意常數(shù)）所以.23、（本題滿分11分）設(shè)二次型，記，（）證明二次型f對應(yīng)的矩陣為；（）若正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為【考點】二次型的矩陣表示；用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；矩陣的秩【難易度】

10、【詳解】（）證明：，其中所以二次型f對應(yīng)的矩陣為.（）由于正交，故因均為單位向量，故，即.同理由于，故A有特征值.，由于，故A有特征值又因為，所以，故.三階矩陣A的特征值為2，1，0.因此，f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為.2014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當(dāng)時，若，均是比高階的無窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，是階無窮小，是階無窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是，應(yīng)該選（B）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應(yīng)該選（C）3設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在上（ ）（A）當(dāng)時， （B）

11、當(dāng)時，（C）當(dāng)時， （D）當(dāng)時，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷 顯然就是聯(lián)接兩點的直線方程故當(dāng)時，曲線是凹的，也就是，應(yīng)該選（D）【詳解2】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當(dāng)時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應(yīng)該選（D）4曲線 上對應(yīng)于的點處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）【詳解】 曲線在點處的曲率公式，曲率半徑本題中，所以，對應(yīng)于的點處，所以，曲率半徑應(yīng)該選（C）5設(shè)函數(shù)，若，則（ ）（）（）（）（）【詳解】注意（1），（2）由于所以可知，6設(shè)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有

12、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（ ）（A）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上； （B）的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；（C）的最大值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點在區(qū)域D的邊界上；（D）的最小值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點在區(qū)域D的邊界上【詳解】 在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以在D內(nèi)必然有最大值和最小值并且如果在內(nèi)部存在駐點，也就是，在這個點處，由條件，顯然，顯然不是極值點，當(dāng)然也不是最值點，所以的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上所以應(yīng)該選（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應(yīng)該選（B）8設(shè) 是三維向量，則對任意的常數(shù)，向量，線性無關(guān)是向量線性無關(guān)的（A）必

13、要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線性無關(guān)，則（，），對任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無關(guān)而當(dāng)時，對任意的常數(shù)，向量，線性無關(guān)，但線性相關(guān)；故選擇（A）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10設(shè)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 【詳解】當(dāng)時，由可知，即；為周期為4奇函數(shù)，故11設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則 【詳解】設(shè)，當(dāng)時，所以12曲線的極坐標(biāo)方程為，則在點處的切線方程為 【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程，于是在處，則在點處的切線方程為，即13一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間

14、上，若其線密度，則該細棒的質(zhì)心坐標(biāo) 【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)14設(shè)二次型的負慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是三、解答題15（本題滿分10分）求極限【分析】先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限【詳解】16（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值和極小值【詳解】解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到，這是一個可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分可得方程通解為：，由得，即 令，得，且可知；當(dāng)時，可解得，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時，可解得，函數(shù)取得極小值17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域計算【詳解】由對稱性可得18（本題滿分1

15、0分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足若，求的表達式【詳解】設(shè)，則，;；由條件，可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程對應(yīng)齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對應(yīng)非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所以的表達式為19（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（1） ；（2） 【詳解】（1）證明：因為，所以即（2）令，則可知，且，因為且單調(diào)增加，所以從而， 也是在單調(diào)增加，則，即得到20（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，設(shè)是曲線，直線所圍圖形的面積求極限【詳解】，利用數(shù)學(xué)歸納法可得，21（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的

16、體積【詳解】由于函數(shù)滿足，所以，其中為待定的連續(xù)函數(shù)又因為，從而可知，得到令，可得且當(dāng)時，曲線所成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22（本題滿分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個基礎(chǔ)解系；（2） 求滿足的所有矩陣【詳解】（1）對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個基礎(chǔ)解系（2）顯然B矩陣是一個矩陣，設(shè)對矩陣進行進行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對應(yīng)的三列分別為，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)23（本題滿分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設(shè) ，分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個特征值為；而且A是實對稱矩陣，所以一定可以對角

17、化且；所以B的個特征值也為；對于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對應(yīng)重特征值的特征向量應(yīng)該有個線性無關(guān)，進一步矩陣B存在個線性無關(guān)的特征向量，即矩陣B一定可以對角化，且從而可知階矩陣與相似2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案解析一、 選擇題：（18小題,每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）(1)下列反常積分中收斂的是(A)2+1xdx (B)2+lnxxdx(C)2+1xlnxdx (D) 2+xexdx【答案】D?！窘馕觥款}干中給出4個反常積分，分別判斷斂散性即可得到正確答案。 2+1xdx=2x2+=+； 2+lnxxd

18、x=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xde-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e-2-e-x2+=3e-2， 因此(D)是收斂的。綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)反常積分 (2)函數(shù)fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)內(nèi) (A)連續(xù) (B)有可去間斷點(C)有跳躍間斷點 (D)有無窮間斷點 【答案】B 【解析】這是“1”型極限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt

19、=ex(x0), fx在x=0處無定義，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去間斷點，選B。 綜上所述，本題正確答案是B。 【考點】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)兩個重要極限(3)設(shè)函數(shù)fx=xcos1x, &x>0，0, &x0(>0,>0).若f'x在x=0處連續(xù)，則(A)->1 (B)0<-1(C)->2 (D)0<-2【答案】A【解析】易求出 f'x=x-1cos1x+x-1sin1x, &x>0，0, &x0再有 f+'0=limx0+fx-f0x=limx0+x

20、-1cos1x=0, >1,不存在，1， f-'0=0于是，f'(0)存在>1，此時f'0=0.當(dāng)>1時，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin1x=0, -1>0,不存在，-10，因此，f'x在x=0連續(xù)->1。選A綜上所述，本題正確答案是C?！究键c】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)的左極限和右極限(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，其f''(x)二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)的圖形如右圖所示，則曲線y=f(x)的拐點個數(shù)為AOBx (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答

21、案】C【解析】f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)，除點x=0外處處二階可導(dǎo)。 y=f(x)的可疑拐點是f''x=0的點及f''(x)不存在的點。f''x的零點有兩個，如上圖所示，A點兩側(cè)f''(x)恒正，對應(yīng)的點不是y=fx拐點，B點兩側(cè)f''x異號，對應(yīng)的點就是y=fx的拐點。雖然f''0不存在，但點x=0兩側(cè)f''(x)異號，因而(0,f(0) 是y=fx的拐點。綜上所述，本題正確答案是C?！究键c】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)單調(diào)性，曲線的凹凸性和拐點(5)設(shè)函數(shù)f(,)滿足fx+y,y

22、x=x2-y2，則f=1=1與f=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C)-12,0 (D)0,-12【答案】D【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f,=2(1+)2-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因此f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(6)設(shè)D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x 圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則Dfx,ydxdy= (A)43d12sin21sin2f

23、(rcos,rsin)rdr (B) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (C) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (D) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x 圍成的平面區(qū)域，作極坐標(biāo)變換，將Dfx,ydxdy化為累次積分。 D的極坐標(biāo)表示為 34，1sin212sin2， 因此 Dfx,ydxdy=43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr 綜上所述，本題正確答案是B。 【考點】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分在直角坐標(biāo)系

24、和極坐標(biāo)系下的計算。(7)設(shè)矩陣A=11112a14a2,b=1dd2。若集合=1,2，則線性方程 Ax=b 有無窮多解的充分必要條件為 (A)a,d (B) a,d (C)a,d (D) a,d 【答案】D 【解析】Ax=b 有無窮多解rAb=rA<3 A是一個范德蒙德行列式，值為a-1(a-2),如果a，則 A0，rA=3，此時Ax=b有唯一解，排除(A),(B) 類似的，若d，則rAb=3，排除(C) 當(dāng)a,d時，rAb=rA=2，Ax=b 有無窮多解 綜上所述，本題正確答案是D。【考點】線性代數(shù)-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩，線性方程組求解。(8)設(shè)二次型f(x1,x

25、2,x3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2)在正交變換 x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為 (A) 2y12-y22+y32 (B) 2y12+y22-y32 (C) 2y12-y22-y32 (D) 2y12+y22+y32 【答案】A 【解析】設(shè)二次型矩陣為A,則 P-1AP=PTAP=20001000-1 可見e1,e2,e3都是A的特征向量，特征值依次為2,1,-1，于是-e3也是A的特征向量，特征值為-1，因此 QTAQ=Q-1AQ=2000-10001 因此在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)二次型為2y12-y22+y32

26、綜上所述，本題正確答案是A。【考點】線性代數(shù)-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。二、填空題：(914)小題，每小題4分，共24分。(9)設(shè)x=acrtant ,y=3t+t3,則d2ydx2t=1= 【答案】48 【解析】由參數(shù)式求導(dǎo)法 dydx=yt'xt'=3+3t211+t2=3(1+t2)2 再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 d2ydx2=ddx3(1+t2)2=ddt3(1+t2)2dtdx=6(1+t2)2t1xt' =12t(1+t2)2, d2ydx2t=1=48 綜上所述，本題正確答案是48?！究键c】高等數(shù)學(xué)-一元函數(shù)微分學(xué)-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(1

27、0)函數(shù)fx=x22x在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)fn0= 【答案】nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 【解析】 解法1 用求函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。 fnx=k=0nCnkx2k(2x)(n-k) 其中Cnk=n!k!n-k!,注意x2kx=0=0k2，Cn2=n(n-1)2,于是 fn0=Cn22(2x)(n-2)x=0=nn-1(ln2)n-2 (n2) f'0=0 因此fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 解法2 利用泰勒展開 fx=x22x=x2exln2=x2n=0(xln2)nn! =n=0lnn2n!xn+2=n=2lnn-22

28、n-2!xn 由于泰勒展開系數(shù)的唯一性，得lnn-22n-2!=fn0n! 可得fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 綜上所述，本題正確答案是nn-1(ln2)n-2 (n=1,2,3,) 【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)高階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開公式(11)設(shè)函數(shù)fx連續(xù)，x=0x2xf(t)dt.若1=1，'(1)=5,則 f1= 【答案】2 【解析】改寫x=x0x2f(t)dt,由變限積分求導(dǎo)法得 'x=0x2f(t)dt+xfx22x=0x2f(t)dt+2x2fx2 由1=1=01f(t)dt ，'1=01f(t)dt+2f1=1+2f1 可得f1=2

29、綜上所述，本題正確答案是2 【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)變限積分函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(12)設(shè)函數(shù)y=yx是微分方程y''+y'-2y=0的解，且在x=0處 yx取得極值3，則yx= 【答案】e-2x+2ex 【解析】求yx歸結(jié)為求解二階常系數(shù)齊次線性方程的初值問題 y''+y'-2y=0y0=3，y'0=0 由特征方程2+-2=0 可得特征根 1=-2，2=1，于 是得通解 y=C1e-2x+C2ex 又已知 C1+C2=3-2C1+C2=0C1=1，C2=2 綜上所述，本題正確答案是e-2x+2ex 【考點】高等數(shù)學(xué)常微分方程二階常系數(shù)

30、齊次線性方程(13)若函數(shù)z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1確定，則 dz0,0= 【答案】-13dx-23dy 【解析】 先求z(0,0) ，在原方程中令x=0,y=0得 e3z=1 z0,0=0 方程兩邊同時求全微分得 ex+2y+3zdx+2dy+3dz+xydz+yzdx+xzdy=0 令x=0,y=0,z=0 得 dx+2dy+3dz0,0=0 dz0,0=-13dx-23dy 綜上所述，本題正確答案是-13dx-23dy 【考點】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,-2,1，B=A2-A+E,其中E為3 階單位矩陣，則行

31、列式|B|= 【答案】 21 【解析】 A的特征值為2,-2,1,則B的特征值對應(yīng)為3,7,1 所以|B|=21 【考點】線性代數(shù)行列式行列式計算線性代數(shù)矩陣矩陣的特征值三、解答題：1523小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)設(shè)函數(shù)fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx3,若fx與gx在x0時是等價無窮小，求a,b,k的值。 【解析】利用泰勒公式 fx=x+aln1+x+bxsinx =x+ax-12x2+13x3+ox3+bxx+16x3+ox3 =1+ax+b-a2x2+a3x3+ox3 當(dāng)x0時，fxgx，則a=-1,b=-12,k=-13 【考點】

32、高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無窮小的比階，泰勒公式(16)設(shè)A>0，D是由曲線段y=Asinx(0x2)及直線y=0,x=2所 圍成的平面區(qū)域，V1,V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。若V1=V2，求A的值 【解析】 V1=02A2sinx2=A2021-cos2x2dx=2A24 由A>0可得 V2=202xAsinxdx =-2A02xdcosx =-2A(xcosx02-02cosxdx) =2A又 V1=V2 可得A=8【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的應(yīng)用(17)已知函數(shù)fx,y滿足 fxy''x,y=2y+1ex,fx'x,0=x

33、+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的極值。 【解析】由 fxy''x,y=2y+1ex，得 fx'x,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fx'x,0=x+1ex 可得 ex+x=x+1ex 得x=x ex ,從而 fx'x,y=(y+1)2ex+x ex對x積分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex于是fy'x,y=(2y+2)ex, fxx''x,y=(x+y2+2y+2)ex, fyy''x,y=2ex令fx&#

34、39;x,y=0，fy'x,y=0得駐點(0,-1)，所以A=fxx''0,-1=1 B=fxy''0,-1=0C=fyy''0,-1=2由于B2-AC<0，A>0,所以極小值為f0,-1=-1【考點】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)的無條件極值(18)計算二重積分Dx(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】因為區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以Dxydxdy=0 原式=Dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201x2(2-x2-x2)dx =201x22-x2dx-201x4dx令x=2sint,

35、則 01x22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=8又01x4dx=15所以二重積分=4-25【考點】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分的計算(19)已知函數(shù) fx=x11+t2dt+1x21+tdt，求fx的零點個數(shù) 【解析】 f'x=-1+x2+2x1+x2,令f'x=0，得駐點x=12, 當(dāng)x<12時，f'x<0, fx單調(diào)減少； 當(dāng)x>12時，f'x>0, fx單調(diào)增加； 因為f1=0，所以fx在(12,+)上存在唯一零點。 又f12<f1=0,limx-fx=+，所以fx在(-，12)上存在

36、唯一零點。 綜上可知，fx有且僅有兩個零點。 【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)方程的根（零點問題）(20)已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻改物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比?，F(xiàn)將一初始溫度為120的物體在20恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降溫至30，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至21，還需冷卻多長時間？ 【解析】 設(shè)該物體在t時刻的溫度為Tt，由題意得 dTdt=-k(T-20) 其中k為比例系數(shù)，k>0.解得 T=Ce-kt+20 將初始條件T(0)=120代入上式，解得C=100 將t=30,T=30代入得k=ln1030,所以 T=100e-ln1030t+2

37、0 令T=21，得t=60,因此要降至21攝氏度，還需60-30=30（min） 【考點】高等數(shù)學(xué)常微分方程一階常微分方程，微分方程應(yīng)用(21)已知函數(shù)fx在區(qū)間a,+上具有2階導(dǎo)數(shù)，fa=0,f'x> 0,f''x>0.設(shè)b>a,曲線y=fx在點(b,f(b)處的切線與x軸 的交點是(x0,0),證明a<x0<b【解析】曲線y=fx在點(b,f(b)處的切線方程是y-fb=f'b(x-b) ,解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為 x0=b-f(b)f'(b)由于f'x>0，故fx單調(diào)增加。由b>a可知fb>

38、;fa=0.又f'b>0,故f(b)f'(b)>0,即有x0<b x0-a=b-f(b)f'(b)-a=b-af'b-f(b)f'(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=f'b-a,a<<b因為f''x>0，所以f'x單調(diào)增加，從而f'<f'b,故 fb<f'bb-a由此可知x0-a>0,即x0>a 綜上所述，a<x0<b【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微分中值定理(22)設(shè)矩陣A=a101a-101a,且A3=0 (1)求

39、a的值； (2)若矩陣X滿足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E為三階單位矩陣，求X 【解析】(1) 由于A3=0，所以A=a101a-101a=a3=0于是a=0(2) 由于X-XA2-AX+AXA2=E所以 E-AXE-A2=E由(1)知E-A=1-10-1110-11,E-A2=001010-102因為E-A,E-A2均可逆，所以X=E-A-1E-A2-1=21-111-111020-1010100=31-211-121-1【考點】線性代數(shù)矩陣矩陣方程(23)設(shè)矩陣A=02-3-13-31-2a相似與矩陣B=1-200b0031 (1)求a,b的值； (2)求可逆矩陣P,使PAP-1為

40、對角矩陣。 【解析】(1) 由于矩陣A與矩陣B相似，所以tr A=tr B,A=B于是 3+a=2+b,2a-3=b,解得 a=4,b=5(2) 由(1)知矩陣A=02-3-13-31-24,B=1-20050031由于矩陣A與矩陣B相似,所以E-A=E-B=-12(-5)故A的特征值為1=2=1，3=5.當(dāng)1=2=1,解方程組E-Ax=0,得線性無關(guān)的特征向量1=210，2=-301當(dāng)3=5，解方程組5E-Ax=0,得特征向量3=-1-11令P=1,2,3=10010-1011,則PAP-1=100010005，故P為所求可逆矩陣?！究键c】線性代數(shù)矩陣的特征值與特征向量矩陣的相似對角化201

41、6年考研數(shù)二真題及答案解析一、選擇題：18小題，每小題4分，32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的二、填空題914小題，每小題4分，共24分，請將所選項前的字母填寫在答題紙制定位置上三、解答題，1523小題，共94分，請將所選項前的字母填寫在答題紙制定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在處連續(xù)選A.（2）設(shè)

42、二階可導(dǎo)函數(shù)滿足且，則（ ）【答案】B【解析】為偶函數(shù)時滿足題設(shè)條件，此時，排除C,D.取滿足條件，則，選B.（3）設(shè)數(shù)列收斂，則（ ）當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時，【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A錯；取，排除B,C.所以選D.（4）微分方程的特解可設(shè)為（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】特征方程為：故特解為：選C.（5）設(shè)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的，都有，則（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，所以有，故答案選D.（6）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中實線表示甲的速度曲線（單位：），虛線表示乙

43、的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】從0到這段時間內(nèi)甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當(dāng)時滿足，故選C.（7）設(shè)為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】,因此B正確。（8）設(shè)矩陣,則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1,因為，A可相似對角化，即由可知B特征值為2,2,1.因為，B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，但B不相似于C.二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫

44、在答題紙指定位置上.(9) 曲線的斜漸近線方程為_【答案】【解析】 (10) 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則_【答案】【解析】 (11) _【答案】1【解析】(12) 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解析】交換積分次序：.（14）設(shè)矩陣的一個特征向量為，則【答案】-1【解析】設(shè)，由題設(shè)知，故故.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限【答案】【解析】，令，則有（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，【答案】【解析

45、】結(jié)論：（17）（本題滿分10分）求【答案】【解析】（18）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】兩邊求導(dǎo)得： （1）令得對（1）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 （2）將代入原題給的等式中，得，將代入（2）得將代入（2）得故為極大值點，；為極小值點，（19）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實根；方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮俊窘馕觥浚↖）二階導(dǎo)數(shù)，解：1）由于，根據(jù)極限的保號性得有，即進而又由于二階可導(dǎo)，所以在上必連續(xù)那么在上連續(xù)，由根據(jù)零點定理得：至少存在一點，使，即得證（II）由（1）可知，令，則由羅

46、爾定理，則，對在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個不同實根。得證。（20）（本題滿分11分）已知平面區(qū)域計算二重積分?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?1）（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，點是曲線L: 上任意一點，L在點P處的切線與y軸相交于點，法線與x軸相交于點，若，求L上點的坐標(biāo)滿足的方程?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)的切線為，令得，法線,令得。由得，即。令，則，按照齊次微分方程的解法不難解出,（22）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣有3個不同的特征值，且。證明：若，求方程組的通解?！敬鸢浮浚↖）略；（II）通解為【解析】（I）證明：由可得，即線性相關(guān)，因此，即A的特征值必有0。又因為A有三個不同

47、的特征值，則三個特征值中只有1個0，另外兩個非0.且由于A必可相似對角化，則可設(shè)其對角矩陣為（II）由（1），知，即的基礎(chǔ)解系只有1個解向量，由可得，則的基礎(chǔ)解系為，又，即，則的一個特解為，綜上，的通解為（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及一個正交矩陣.【答案】【解析】，其中由于經(jīng)正交變換后，得到的標(biāo)準(zhǔn)形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，2018年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：

48、18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若,則（ ） 【答案】B（2）下列函數(shù)中,在處不可導(dǎo)是（ ）【答案】D（3）設(shè)函數(shù)，,若在上連續(xù),則（ ） 【答案】D（4）設(shè)函數(shù)在0,1上二階可導(dǎo),且,則（A）當(dāng)時, （B）當(dāng)時, （C）當(dāng)時, （D）當(dāng)時, 【答案】D（5）設(shè),則的大小關(guān)系為（A） （B） （C） （D）【答案】C（6）（A） （B） （C） （D）【答案】C（7）下列矩陣中,與矩陣相似的為【答案】A（8）設(shè)為n階矩陣,記為矩陣的秩，表示分塊矩陣，則（A） （B） （C） （D）【答案】A二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) _ (10) 曲線在其拐點處的切線方程是_ (11) _(12) 曲線在對應(yīng)點的曲率為（13）設(shè)函數(shù)由方程確定，則（14）設(shè)為3階矩陣，為線性無關(guān)的向量組，若，則的實特征值為【答案】2三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫