函數(shù)的對(duì)稱性

1、精選文檔函數(shù)的對(duì)稱性一、教學(xué)目標(biāo)函數(shù)圖象的對(duì)稱性是一類函數(shù)的特性，是函數(shù)性質(zhì)的重要方面，它包括自身對(duì)稱和兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱，理解掌握函數(shù)對(duì)稱性，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有很大的幫助，對(duì)也是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。1自身對(duì)稱函數(shù)，函數(shù)圖象本身具有對(duì)稱軸或是對(duì)稱中心，該函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形或是中心對(duì)稱圖形，奇函數(shù)與偶函數(shù)是最典型的兩類函數(shù)，其它自身對(duì)稱的函數(shù)都可以由奇偶函數(shù)平移得到；2兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱，是指兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，它們之間存在某種關(guān)聯(lián)，即它們關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱或是關(guān)于某一條直線對(duì)稱，研究其中一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)就可知另一個(gè)函數(shù)的特點(diǎn)（互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象）。二、舉例分析例1 設(shè)是定義在R上的

2、函數(shù)，（1）若對(duì)任意，都有成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（2）若對(duì)任意，都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。選題目的：通過(guò)此題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明白一個(gè)道理，函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱或是中心對(duì)稱，函數(shù)解析式應(yīng)滿足一關(guān)系式是什么，并能通過(guò)奇偶函數(shù)的平移獲得理解這種關(guān)系式的鑰匙。思路分析：（1）要證明圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)也在的圖象上。事實(shí)上，即得點(diǎn)也在的圖象上。特別地，當(dāng)都為0時(shí)，就是偶函數(shù)的特征了。（2）要證明圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在的圖象上。事實(shí)上，由在的圖象上及可得，及，則有，從而得到也在的圖象上。特別地，當(dāng)都為0時(shí)，就是奇函數(shù)的特征了。例2對(duì)于定義在R上的函數(shù)有下列命題：（1）若

3、是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；其中正確命題的個(gè)數(shù)是-( ) A.1 B.2 C.3 D.4選題目的：學(xué)生通過(guò)此題學(xué)習(xí)，加深理解圖象具有對(duì)稱性函數(shù)的特征，掌握?qǐng)D象平移后的形狀保持不變，所變的是對(duì)稱位置；另外要清楚是函數(shù)圖象本身的對(duì)稱特征還是兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系。思路分析：（1）、（2）兩小題較為簡(jiǎn)單，就是平移后圖象問(wèn)題；（3）是函數(shù)自身的對(duì)稱問(wèn)題，函數(shù)滿足關(guān)系： ，由例1中的結(jié)論知， 函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。也可以從對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系中獲取，設(shè)圖象上任意點(diǎn)，則圖象上必存在與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則P、Q的中點(diǎn)為定點(diǎn)，即為對(duì)稱中心。（4）首先要清楚這是兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱問(wèn)題，它們都是由函數(shù)圖象變換得到的；

4、圖象的圖象； 圖象例3如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩 點(diǎn)。分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，畫(huà)出與y軸相切的兩個(gè)圓。 若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和是 _。選題目的：充分運(yùn)用正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的特點(diǎn)，注重圖形的割補(bǔ)法來(lái)求解；思路分析：分別求兩個(gè)陰影部分面積顯然不可行。由于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。從而A與B也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故陰影部分面積和等于A（或B）的面積。A與y軸相切，則A的半徑為1，故陰影部分的面積和等于。例4曲線C的方程是，將C沿X軸、Y軸的正向分別平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，求

5、證：曲線C與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。選題目的：學(xué)會(huì)證明兩曲線的對(duì)稱的方法，培養(yǎng)運(yùn)算能力；思路分析：兩條曲線的對(duì)稱問(wèn)題證明必須是雙向的，即曲線C上的任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線上；曲線上的任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)也在曲線C上。三、鞏固練習(xí)1已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則的值為A B C2 D32二次函數(shù)滿足：，且。若在區(qū)間上有最小值1，最大值3，則的取值范圍是A B C D3定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：是偶函數(shù)，且，則一定A是偶函數(shù)且是周期函數(shù) B是偶函數(shù)但不是周期函數(shù)C是奇函數(shù)且是周期函數(shù) D是奇函數(shù)但不是周期函數(shù)4是R上的函數(shù)，若與都是奇函數(shù)，則的奇偶性是A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)5函數(shù)滿足：，且方程有三個(gè)不同的根，