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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高考數(shù)學中的內切球和外接球問題一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為_ .例2 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上,若該正方體的表面積為,則該球的體積為_. .2、求長方體的外接球的有關問題例3 (2007年天津高考題)一個長方體的各頂點均在同一球面上,且一個頂點上的三條棱長分別為,則此球的表面積為 .例4、(2006年全國卷I)已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為( ). C.A. B. C. D. 3.求多面體的外接球的有關問題例5. 一個六棱柱的底面是正

2、六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為,則這個球的體積為 .解 設正六棱柱的底面邊長為,高為,則有 正六棱柱的底面圓的半徑,球心到底面的距離.外接球的半徑.二、構造法(補形法)1、構造正方體例5 (2008年福建高考題)若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且側棱長均為,則其外接球的表面積是_.解 據(jù)題意可知,該三棱錐的三條側棱兩兩垂直,把這個三棱錐可以補成一個棱長為的正方體,于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設其外接球的半徑為,則有.故其外接球的表面積.小結 一般地,若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且其長度分別為,則就可以將這個三棱錐補成一個長

3、方體,于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為,則有.出現(xiàn)“墻角”結構利用補形知識,聯(lián)系長方體?!纠}】:在四面體中,共頂點的三條棱兩兩垂直,其長度分別為,若該四面體的四個頂點在一個球面上,求這個球的表面積。解:因為:長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長所以:四面體外接球的直徑為的長即: 所以球的表面積為例 6.一個四面體的所有棱長都為,四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( )A. B. C. D. 解析:一般解法,需設出球心,作出高線,構造直角三角形,再計算球的半徑.在此,由于所有棱長都相等,我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段,所以構造一個正方體,再尋

4、找棱長相等的四面體,四面體滿足條件,即,由此可求得正方體的棱長為1,體對角線為,從而外接球的直徑也為,所以此球的表面積便可求得,故選A.例7在等腰梯形中,為的中點,將與分布沿、向上折起,使重合于點,則三棱錐的外接球的體積為( ).A. B. C. D. 解析: 因為,所以,即三棱錐為正四面體,至此,這與例6就完全相同了,故選C.例8 .已知球的面上四點A、B、C、D,則球的體積等于 .解析:本題同樣用一般方法時,需要找出球心,求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑,由于,聯(lián)想長方體中的相應線段關系,構造長方體,又因為,則此長方體為正方體,所以長即為外接球的直徑,利用直角三角形解出.

5、故球的體積等于.2、構造長方體例9.已知點A、B、C、D在同一個球面上,若,則球的體積是 .解析:首先可聯(lián)想到例8,構造下面的長方體,于是為球的直徑,O為球心,為半徑,要求B、C兩點間的球面距離,只要求出即可,在中,求出,所以,故B、C兩點間的球面距離是.三.多面體幾何性質法例1 0.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A. B. C. D.解 設正四棱柱的底面邊長為,外接球的半徑為,則有,解得.這個球的表面積是.選C.小結 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例11.正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為,點都在同一球面上,則此球的體積為 .解 設正四棱錐的底面中心為,外接球的球心為,如圖1所示.由球的截面的性質,可得.又,球心必在所在的直線上.的外接圓就是外接球的一個軸截面圓,外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中,由,得.是外接圓的半徑,也是外接球的半徑.故.五 .確定球心位置法例11.在矩形中,沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積為 A. B. C. D.解 設矩形對角線的交點為,則由矩形對角線互相平分,可知.點到四面體的四個頂點的距離相等,即點為四面體的外接球的球心,外接球的半徑.故.選C.【例題】:已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,且,,求球

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