132函數(shù)的奇偶性 (2)

1、1.3.2 奇偶性奇偶性情景情景1:觀察下列圖形觀察下列圖形,回顧軸對稱與中心對稱概念及其特征回顧軸對稱與中心對稱概念及其特征. 情景導入情景導入情景情景2：數(shù)學中有許多對稱美的圖形，函數(shù)中也有不少數(shù)學中有許多對稱美的圖形，函數(shù)中也有不少具有對稱特征的美麗圖像具有對稱特征的美麗圖像,比如比如 等函數(shù)圖像等函數(shù)圖像.21,yxyx= = =f(x)=x2 如何從如何從“數(shù)數(shù)”的方面定量刻畫這些函數(shù)圖像的對稱的方面定量刻畫這些函數(shù)圖像的對稱本質(zhì)呢？這就是本課時學習的函數(shù)的奇偶性本質(zhì)呢？這就是本課時學習的函數(shù)的奇偶性.教材導讀教材導讀閱讀教材閱讀教材P3336，體會函數(shù)奇偶性的概念，體會函數(shù)奇偶性的

2、概念.觀察下圖，思考并討論以下問題：觀察下圖，思考并討論以下問題：(1) 這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？(2) 如何利用函數(shù)解析式描述函數(shù)圖象的這個特征呢如何利用函數(shù)解析式描述函數(shù)圖象的這個特征呢？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 實際上，對于實際上，對于R內(nèi)任意的一個內(nèi)任意的一個x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),這時我們稱函數(shù)這時我們稱函數(shù)y=x2為偶函數(shù)為偶函數(shù). 定義定義: :一般地一般地

3、, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函數(shù)偶函數(shù) 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)=x和和 的圖象的圖象(下圖下圖)，你能發(fā)現(xiàn)，你能發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 實際上，對于實際上，對于R內(nèi)任意的一個內(nèi)任意的一個x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),這這時我們稱函數(shù)時我們稱函數(shù)y=x為奇函數(shù)為奇函數(shù).f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=

4、-1=-f(1)1( )f xx 定義定義: :一般地一般地, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x， 都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù): :一般地一般地, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做偶函數(shù)就叫做偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù): :一般地一般地, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x， 都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做奇函數(shù)就叫做奇函數(shù) 定定 義義 注注 意：意： 1、

5、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性. 3、由定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，、由定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個對于定義域內(nèi)的任意一個x，則，則x也一定是定義域內(nèi)的也一定是定義域內(nèi)的（即（即定義域關于原點對稱定義域關于原點對稱）2、定義中、定義中“任意任意”二字，說明函數(shù)的奇偶性在定義域二字，說明函數(shù)的奇偶性在定義域上的一個整體性質(zhì)，它不同于函數(shù)的單調(diào)性上的一個整體性質(zhì)，它不同于函數(shù)的單調(diào)性 .例例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：452(1 ) () ( 2 ) ()11( 3 ) () (

6、4 ) ()fxxfxxfxxfxxx (1)定義域為定義域為(-,+) 即即 f(-x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).(2)定義域為定義域為(-,+) 即即 f(-x) = -f(x) f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).(3)定義域為定義域為x|x0(4)定義域為定義域為x|x0 即即 f(-x) = -f(x) f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).即即 f(-x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).解：解： f(-x)=(-x)4=f(x) f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) f(-x)=1/(-x)2=f(x)(1)、先求定義域，看是否

7、關于原點對稱；、先求定義域，看是否關于原點對稱；(2)、再判斷、再判斷f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：即即 f(-x)f(x)=0或或f(-x)f(x)=0是否恒成立是否恒成立.練習：練習： 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：1(3)( )(1)1xf xxx ；(1)( ) |1|1|f xxx；(2)( )0f x ；解：解： (1) f(x)的定義域是的定義域是 R ，且且()|1|1|fxxx |1|1|xx( )f x f(x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù). (2) 函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域

8、是R，且且 f(x)=0， f(-x)=0. f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x).函數(shù)函數(shù)f(x)=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).(1) (0)4( )(1) (0).xxxf xxxx （）101xx 函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域-1，1) (3)(1)(1)0(1)xxx 11x 1(3)( )(1)1xf xxx ；解：解：關于原點不對稱，關于原點不對稱，函數(shù)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(1) (0)4( )(1) (0).xxxf xxxx （）(4)f(x)的定義域是的定義域是(，0)(0，+)，當當x0時，時，x0，f(x)

9、=當當x0時，時，x0，f(x)=故故f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).=x(1+x)=f(x) (x0).=f(x) (x0)，(x)1(x)=x(1x)(x)1 (x)綜上：綜上：f(x)=f(x)解：解：(1) (0)4( )(1) (0).xxxf xxxx （）f(x)的定義域是的定義域是(，0)(0，+)，當當x0時，時，x0，f(x)=當當x0時，時，x0，f(x)=故故f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).=x(1+x)=f(x) (x0).=f(x) (x0)，(x)1(x)=x(1x)(x)1 (x)綜上：綜上：f(x)=f(x)法法2： f(x)的定義域是的定義域是(，0)(0，+)，(1)

10、 (0)()(1) (0)xxxfxxxx 且且(1) (0)(1) (0)xxxxxx ( )f x 故故f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).即即f(x)=f(x) 例例2 已知已知f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), 且且x(0，+)時，時，f(x)=x2 2x+3，求，求 f(x)的解析式的解析式 .解：解：由已知有：由已知有：f(x) = f(x) , xR且且 x(0，+)時，時， f(x)=x2 2x+3，設設 x(，0)，則則 x(0，+)， f(x) = f(x)2223(0)( )0(0)23(0)xxxf xxxxx -+-+ = - = (x)2 2(x)+3 = x2

11、 2x3.又又 x=0時，時，f(0) = f(0) , f(0) = 0.綜上得：綜上得：的的值值為為奇奇函函數(shù)數(shù)，試試求求設設函函數(shù)數(shù)axaxxxf)(1()(1a例例3.奇偶函數(shù)的性質(zhì) 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,如： 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,如：xxfxxfxxf1)(,)(,)(3,)(2xxf( ) |1|1|f xxx若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(x)=0思考：.-2,4)(2)(10)(0)()(y)(,),(*上上的的最最值值在在）求求（為為奇奇函函數(shù)數(shù)；）證證明明：（時時，且且當當都都有有對對于于任任意意的的上上的的函函數(shù)數(shù)定定義義在在xfxfxfxyfxfxfRyxxfR4)2()