高中數(shù)學基本不等式教案

1、高中數(shù)學基本不等式教學設(shè)計方案一、【教學目標】 1、知識與技能目標（1）掌握基本不等式,認識其運算結(jié)構(gòu)； （2）了解基本不等式的幾何意義及代數(shù)意義；（3）能夠利用基本不等式求簡單的最值。2、過程與方法目標（1）經(jīng)歷由幾何圖形抽象出基本不等式的過程；（2）體驗數(shù)形結(jié)合思想。3、情感、態(tài)度和價值觀目標（1）感悟數(shù)學的發(fā)展過程,學會用數(shù)學的眼光觀察、分析事物；（2）體會多角度探索、解決問題。二、【能力培養(yǎng)】培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力，辯證地分析問題的能力，學以致用的能力，分析問題、解決問題的能力。三、【教學重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程。四、【教學難點】基本不

2、等式等號成立條件。五、【教學方法】 教師啟發(fā)引導與學生自主探索相結(jié)合六、【教學工具】 課件輔助教學、實物演示實驗七、【教學流程】實物演示 引入課題觀察、發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)問題驗證證明引例練習課堂小結(jié)八、【教學過程設(shè)計】創(chuàng)設(shè)情景，引入新課如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標， 這是根據(jù)趙爽弦圖而設(shè)計的。用課前折好的趙爽弦圖示范，比較 4個直角三角形的面積和與大正方形的面積,你會得到怎樣的相 等和不等關(guān)系？ 趙爽弦圖1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2a

3、b，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。2得到結(jié)論：一般的，如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為 當所以，即4基本不等式1）特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作：2）從不等式的性質(zhì)推導基本不等式用分析法證明：要證 (1)只要證 (2)要證（2），只要證 a+b-0 （3）要證（3），只要證 （-） （4）顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。3）理解基本不等式的幾何意義如圖所示：AB是圓

4、的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？引導學生發(fā)現(xiàn)：表示圓的半經(jīng)，表示半弦長CD,得到不等關(guān)系：()易證tADtDB，那么D2A·B即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即ab時，等號成立.幾何意義：半弦長不大于半徑長。我們稱為正數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)5.隨堂練習已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（ab）（bc）（ca）abc分析：對于此類題目，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果。解：a，b

5、，c都是正數(shù)ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）2·2·2abc即（ab）（bc）（ca）abc.九、【課時小結(jié)】本節(jié)課，我們學習了重要不等式；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具。我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：,.思想方法技巧：（1）數(shù)形結(jié)合思想、“整體與局部” （2）換元法、分析法（3）配湊等技巧【板書設(shè)計】課題: §3.4基本不等式（第1課時）1.課題導入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系