高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 321 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義課時(shí)作業(yè) 新人教版選修22

1、3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義明目標(biāo)、知重點(diǎn)1熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則. 2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題1復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)對(duì)任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)向量分別為1，2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是，與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是.情境導(dǎo)學(xué)我們學(xué)習(xí)過(guò)實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減運(yùn)算？我們知道向量加法的

2、幾何意義，那么復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么呢？探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算思考1我們規(guī)定復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是個(gè)什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？答仍然是個(gè)復(fù)數(shù)，且是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；思考2當(dāng)b0，d0時(shí)，與實(shí)數(shù)加法法則一致嗎？答一致思考3復(fù)數(shù)加法的實(shí)質(zhì)是什么？類似于實(shí)數(shù)的哪種運(yùn)算方法？答實(shí)質(zhì)是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)思考4實(shí)數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的加法滿足這些運(yùn)算律嗎？并試著證明答滿足，對(duì)任意的z1，z2，z3C，有交換律：z1z2z2z1.結(jié)合律：(z1z2)z3z

3、1(z2z3)證明：設(shè)z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db)i，顯然，z1z2z2z1，同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)思考5類比于復(fù)數(shù)的加法法則，試著給出復(fù)數(shù)的減法法則答(abi)(cdi)(ac)(bd)i.例1計(jì)算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(1221)(2112)i2.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算，就是實(shí)部與實(shí)部相加減做實(shí)部，虛部與虛部相加減作虛部，同時(shí)也把i看作字母，類比多項(xiàng)式加減中的合并同類項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練1

4、(1)計(jì)算2i(32i)3(13i)；(2)計(jì)算(a2bi)(3a4bi)5i(a，bR)；解(1)原式2i(32i39i)2i11i9i.(2)原式2a6bi5i2a(6b5)i.探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對(duì)應(yīng)，則有(a，b)，(c，d)，由向量加法的幾何意義(ac，bd)，所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量？答z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行所以可以按照平行四

5、邊形法則或三角形法則作出與z1z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1z2.例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別表示0,32i，24i.求：(1)表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)；(3)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)解(1)因?yàn)?，所以表示的?fù)數(shù)為32i.(2)因?yàn)?，所以?duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)因?yàn)閷?duì)角線，所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運(yùn)用跟蹤訓(xùn)練2復(fù)數(shù)z112i，z22i，z312i，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形

6、的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為xyi(x，yR)，如圖則(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i.，(x1)(y2)i13i.，解得，故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1，z2，z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.|z1|z2|z1z2|1

7、，OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長(zhǎng)為1的菱形，且|z1z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，|z1z2|.反思與感悟(1)設(shè)出復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x，y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化”思想的應(yīng)用(2)在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B，z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OACB為平行四邊形；若|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為正方形跟蹤訓(xùn)練3本例中，若條件

8、變成|z1|z2|1，|z1z2|.求|z1z2|.解由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，所求|z1z2|是這個(gè)正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)，所以|z1z2|.1復(fù)數(shù)z12i，z22i，則z1z2等于()A0 B.iC.i D.i答案C解析z1z2(2)(2)ii.2若z32i4i，則z等于()A1i B13iC1i D13i答案B解析z4i(32i)13i.3在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，表示的復(fù)數(shù)分別為2i，32i,15i，則表示的復(fù)數(shù)為()A28i B66iC44i D42i答案C解析()44i.4若|z1|z1|，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A實(shí)

9、軸上 B虛軸上C第一象限 D第二象限答案B解析|z1|z1|，點(diǎn)Z到(1,0)和(1,0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1,0)和(1,0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上5已知復(fù)數(shù)z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2為純虛數(shù)，則a_.答案1解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)為純虛數(shù)，解得a1.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算2復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1若復(fù)數(shù)z滿足zi33i，則z等于()A0 B2i C6 D62i答案D解析z3i(i3)6

10、2i.2復(fù)數(shù)ii2在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析ii21i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限3復(fù)數(shù)z13i，z21i，則z1z2等于()A2 B22iC42i D42i答案C4設(shè)z12bi，z2ai，當(dāng)z1z20時(shí)，復(fù)數(shù)abi為()A1i B2i C3 D2i答案D解析由得，abi2i.5已知|z|3，且z3i是純虛數(shù)，則z等于()A3i B3i C±3i D4i答案B解析設(shè)zabi(a、bR)，則z3iabi3ia(b3)i為純虛數(shù)，a0，b30，又|b|3，b3，z3i.6計(jì)算：(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0082 009i)(

11、2 0092 010i)(2 0102 011i)解原式(12342 0082 0092 010)(23452 0092 0102 011)i1 0051 005i.7計(jì)算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)(i)(2i)(i)(3)已知z123i，z212i，求z1z2，z1z2.解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(i)(2i)(i)i2ii(2)(1)i1i.(3)z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i.二、能力提升8如果一個(gè)復(fù)數(shù)與它的模的和為5i，那么這個(gè)復(fù)數(shù)是_答案i解析設(shè)這個(gè)復(fù)數(shù)為xyi(x，yR

12、)xyi5i，xyii.9若|z2|z2|，則|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是到(2,0)與到(2,0)距離相等的點(diǎn)，即虛軸|z1|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與(1,0)的距離|z1|min1.10設(shè)mR，復(fù)數(shù)z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虛數(shù)，求m的取值范圍解z1(m15)i，z22m(m3)i，z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.z1z2為虛數(shù)，m22m150且m2，解得m5，m3且m2(mR)11復(fù)平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是12i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3i，求C點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)解，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3i)(12i)23i，設(shè)C(x，y)，則(xyi)(2i)23i，xyi(2i)(23i)42i，故x4，y2.C點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)為(4，2)12已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是13i，i,2i，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解方法一設(shè)D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為xyi (x，yR)，則D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)AC中點(diǎn)為，BD中點(diǎn)為.平行四邊形對(duì)角線互相平分，.即點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為35i.方法二設(shè)D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為xyi (x，yR)則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2i