高中數(shù)學(xué)練習(xí)題7

1、教 案任課教師：楊保華課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)授課班級(jí)：07機(jī)械-2授課章節(jié)名稱(chēng)：第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1節(jié) 中值定理 第2節(jié) 洛必達(dá)法則學(xué)時(shí)：2教學(xué)目的：1、正確理解拉格朗日中值定理的內(nèi)容及其幾何意義2、理解洛必達(dá)法則，掌握用洛必達(dá)法則求型和型以及型未定式的極限的方法，了解型極限的求法。教學(xué)重點(diǎn)：洛必達(dá)法則教學(xué)難點(diǎn)：理解洛必達(dá)法則失效的情況, 型的極限的求法。教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例教學(xué)手段：傳統(tǒng)式教案實(shí)施效果追記：學(xué)生缺乏洛必達(dá)法則求極限和第一章中的各種方法的綜合運(yùn)用教學(xué)效果： 良好第3.章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1節(jié) 中值定理講授新內(nèi)容一、中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù)()滿足：(

2、1) 在閉區(qū)間,b上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間(,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) (<<b),使得= 或 拉格朗日中值定理在幾何上是顯然的，事實(shí)上，如果函數(shù)在上連續(xù)，除端點(diǎn)外處處有不垂直于軸的切線，那么由圖1容易看出，在AB上至少存在一點(diǎn)C(,()，使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于弦AB。圖1 拉格朗日中值定理給出了函數(shù)在區(qū)間上的改變量與函數(shù)在區(qū)間上某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的性態(tài)提供了理論依據(jù)，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，它在微分學(xué)理論中占有重要地位。羅爾中值定理 若函數(shù)滿足：(1)在閉區(qū)間，b上連續(xù)； (2)在開(kāi)區(qū)間(，b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)()=(b)，則在(

3、，b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) (<<b)，使得羅爾定理幾何意義:函數(shù)y=()(ab)在幾何上表示一段曲線弧AB。若函數(shù)滿足羅爾定理中的三個(gè)條件，即曲線弧在上連續(xù)；除端點(diǎn)外處處有不垂直與軸的切線；弦AB是水平的(圖3-2)。那么在弧AB上至少存在一點(diǎn)C(，()，在該點(diǎn)處曲線的切線也是水平的，即切線平行于弦AB。羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，而拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。羅爾定理用于驗(yàn)證方程根的存在情況。例1對(duì)函數(shù)在區(qū)間-，上驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性。例2 證明:當(dāng)0時(shí),。證 當(dāng)=0時(shí),。當(dāng)>0時(shí)，在區(qū)間0,上考察函數(shù)。顯然它在0,上滿足拉格朗日中值定理的條件。因此有

4、-0=又得<。所以當(dāng)0時(shí)，。第2節(jié) 洛必達(dá)法則在求函數(shù)的極限時(shí),常會(huì)遇到兩個(gè)函數(shù)都是無(wú)窮小或都是無(wú)窮大,這種極限可能存在也可能不存在,通常稱(chēng)這種比值的極限為不定式。當(dāng)都是無(wú)窮小時(shí),稱(chēng)它為型不定式；當(dāng)都是無(wú)窮大時(shí)，稱(chēng)它為型不定式，例如重要極限就是型未定式；而是型未定式，這類(lèi)極限不能用“商的極限等于極限的商”的運(yùn)算法則來(lái)求.洛必達(dá)法則就是求這種未定式的一個(gè)重要且有效的方法。1、型和型不定式定理： 設(shè)函數(shù)滿足:(1)；(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),與存在且；(3)存在或?yàn)闊o(wú)窮大，則極限存在或?yàn)闊o(wú)窮大，且用以上定理求型未定式的值的方法稱(chēng)為洛必達(dá)(LHospiatl)法則。對(duì)于時(shí)為型未定式，以及或時(shí)為

5、型未定式有類(lèi)似的定理。定理 設(shè)函數(shù)滿足：(1)(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)(當(dāng)時(shí)),存在,且(3)存在或?yàn)闊o(wú)窮大,則。例3 求為常量,解 這是型未定式，用洛必達(dá)法則，得.例4 求.解 這是型未定式，用洛必達(dá)法則，得.等式右端仍為型未定式,再使用洛必達(dá)法則,有.例5 求.解 例6 求解 注意 在用洛必達(dá)法則時(shí),必須檢查所求極限是否是型(或型)未定式。特別是連續(xù)使用洛必達(dá)法則時(shí)必須每一次都做檢查。如例2中所求的極限都是型未定式，直到最后出現(xiàn)重要極限.例4中最后出現(xiàn),已不再是型未定式，不能再應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。例7 求.解 這是時(shí)的型未定式。由洛必達(dá)法則，得例8 求解 這是型未定式，用洛

6、必達(dá)法則，得.例9 求為整數(shù))解 .顯然當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，結(jié)論仍成立。當(dāng)時(shí),三個(gè)函數(shù),都是無(wú)窮大量，例6說(shuō)明隨著的增大，較增大得要慢.例7說(shuō)明隨著的增大, 較增大得要慢。也就是說(shuō)增大的最快，次之，增大最慢。例10 求.解 .2、其他類(lèi)型的未定式除上述,型未定式以外,還有其他類(lèi)型的未定式,如,等。求這些未定式的值，通常是將其轉(zhuǎn)化成為或型未定式，用洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算.下面以例題說(shuō)明。 例11求解 這是型未定式,若改寫(xiě)成=則等式右端為型未定式，用洛必達(dá)法則，得=例12 求.解 這是型未定式,將其改寫(xiě)成=,等式右端為型未定式,用洛必達(dá)法則,得,所以.例13求.解 這是型未定式,設(shè),取對(duì)數(shù)得所以或。而 是型未

7、定式，用洛必達(dá)法則，得， =例14求.解 這是型未定式。因?yàn)?而,等式右端是型未定式,用洛必達(dá)法則,得所以=例15求.解 這是型未定式。因?yàn)?而所以=.由以上各例看出，洛必達(dá)法則是求未定式的值的一種簡(jiǎn)便有效的法則，應(yīng)用這一法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：(1) 必須將未定式化為或型才能使用洛必達(dá)法則.在連續(xù)使用洛必達(dá)法則時(shí)必須每一次都檢查所求極限是否是或型未定式。(2) 在用洛必達(dá)法則求未定式的值時(shí),要注意將所求極限盡量簡(jiǎn)化.例如,適當(dāng)應(yīng)用無(wú)窮小的替換可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.例17求.解 求這個(gè)型未定式的值要連續(xù)使用洛必達(dá)法則,此時(shí)分母的高階導(dǎo)數(shù)較繁,設(shè)法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.由于時(shí),與是等價(jià)無(wú)窮小,用等價(jià)無(wú)窮小替換得=,而=.(3) 在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，要注意定理中的條件(3)，存在或?yàn)闊o(wú)窮大時(shí),才有.若不存在也不為時(shí),不能斷言不存在.例18求.解 當(dāng)時(shí),為有界函數(shù),所以,故知，此極限是型未定式.用洛必達(dá)法則,得=.因?yàn)椴淮嬖?等式右端的極限不存在也不是無(wú)窮大量.因此不能應(yīng)用洛必達(dá)法則求該極限。若將所求極限變形為=·,因?yàn)?1,，由極限運(yùn)算法則知=·.故所求極限是存在的.小結(jié)：1.本節(jié)