k5導數(shù)概念應用(陳杰)

1、本文為自本人珍藏 版權所有 僅供參考導數(shù)及其應用溫州八中 陳杰一. 設計立意及思路： 導數(shù)是高中新課程的新增內(nèi)容，它既是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，又是對 學生進行理性思維訓練的良好素材。從近幾年的高考命題分析，高考對到導數(shù) 的考查可分為三個層次：第一層次是主要考查導數(shù)的概念和某些實際背景，求導公式和求導法則。第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證 明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關 不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解讀幾何中的切線問題等有機的結合 在一起，設計綜合試卷。正是基于以上的認識，本專題在例題設計上也是逐層遞進

2、，而在每一個例 題上又注意一題多解和多題一解，并且逐步拓展，使學生能循序漸進的掌握知 識和方法，二. 高考考點回顧：1. 測試要求：（1 了解導數(shù)概念的某些實際背景 如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線 的斜率等）。掌握函數(shù)在某一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義。理解導函 數(shù)的概念。（2熟記基本導數(shù)公式 c，xmm 為有理數(shù)）， sinx ，cosx，ex，ax，lnx ， logax 的導數(shù)）。掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則。了解復合函數(shù)的求 導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。（3了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系。了解可導函數(shù)在某點取得極 值的必要條件和充分條件 導數(shù)在極值點兩側異號）。會

3、求一些實際問題 一般 指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。2. 近 5年全國新課程卷對本章內(nèi)容的考查情況：科別年份題型題量分值考查內(nèi)容文科2000解答題114導數(shù)在實際中的應用2001解答題112利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2002解答題112綜合運用導數(shù)的幾何意義證明不等式2003解答題112利用導數(shù)求曲線的切線方程2004(浙江卷解答題112求函數(shù)導數(shù)。利用導數(shù)求最 值，解有關單調(diào)性問題。理科2000解答題112導數(shù)在實際中的應用2001選擇、解答題各1題5+12利用導數(shù)求函數(shù)的極值和證明函數(shù)的單調(diào)性。2002解答題112綜合運用導數(shù)的幾何意義證明不等式2003選擇、解答題各1題5+12導數(shù)的幾何意

4、義，利用導數(shù)求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2004(浙江卷選擇、解答題各1題5+12導函數(shù)的概念，；利用導數(shù)求 曲線的切線方程，求函數(shù)的最 值。.基礎知識梳理:1.導數(shù)的有關概念(1定義：函數(shù)y=f(x的導數(shù)f/(x，就是當亠 時，函數(shù)的增量 與自變量的增量 的比目的極限，即(2實際背景：瞬時速度，加速度，角速度，電流等。(3幾何意義：函數(shù)y=f(x在點xo處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x在點P(Xo,f(X。處的切線的斜率2.求導的方法：(1常用的導數(shù)公式:C=oc為常數(shù))；(x m>/=m)m-1(m Q>(sinx> /=cosx。(cosx> /= -sinxox /

5、 x(e > =e ox / x(a > =a Ina”工o(2兩個函數(shù)的四則運算的導數(shù):(3復合函數(shù)的導數(shù)：-I3. 導數(shù)的運用：(1判斷函數(shù)的單調(diào)性。當函數(shù)y=f(x在某個區(qū)域內(nèi)可導時，如果 儀0，則f(x為增函數(shù)；如 果f/(x0，則f(x為減函數(shù)。(2極大值和極小值。設函數(shù)f(x在點xo附近有定義，如果對xo附近所有的點，都有 f(xf(x o或 f(xf(x o),我們就說f(x o是函數(shù)f(x的一個極大值 或極小 值)。(3函數(shù)f(x在a,b上的最大值和最小值的求法。四.例題講解：例1.(1試述函數(shù)y=f(x在x=0處的導數(shù)的定義；(2 若 f(x 在 R上可導，且 f

6、(x= -f(x ，求 f/(0。(1解：如果函數(shù)y=f(x在x=0處的改變量 y與自變量的改變量 x之比,當時有極限，這極限就稱為 y=f(x>在x=0處的導數(shù)。記作(2>解法一f(x>= f(-x>，貝U f( x>= f(- x>當 丄二 時，有-1| 。解法二：T f(x>=f(-x>,兩邊對 x 求導，得/. :評析：本題旨在考查學生對函數(shù)在某一點處的定義的掌握。題V2)可對其幾何意義加以解釋：因為 f(x>=f(-x>,所以函數(shù)y=f(x>為偶函數(shù)， 它的圖象關于y軸對稱，因此它在x=xo處的切線關于y軸對稱，斜率為

7、互 為相反數(shù)，點(0,f(0>>位于y軸上，且f/(0>存在，故在該點的切線必須平行x軸 <當f(0>=0時，與x軸重合)，于是有'f/(0>=0。在題<2)的解二中可指出：可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù),讓學生進一步思考:可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)嗎？例2.設 f(x>在點X0處可導，a為常數(shù)，則1等于(>A.f / (x 0>B.2af/(x0>C.af/(x 0>D.0解:LEJ故選（C評析：在例1的基礎之上，本題旨在鞏固學生對函數(shù)在某一點處的 導數(shù)的定義的掌握。例3. 一汽車以50km/h的速度沿直線駛出，同

8、時，一氣球以 10km/h 的速度離開此車直線上升，求 1h后它們彼此分離的速度。 人教版高三數(shù) 學教材 選修U）第三章復習參考題 B組第6題）解：以汽車和氣球運動方向所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系系 如圖），t時刻汽車位于（50t,0處，氣球位于（0,10t處，則兩汽車和氣球的距離I 令 t=1,故1h后它們彼此分離的速度為匸匚二評析：本題考查學生對導數(shù)的某些實際背景的了解，要求學生能熟練運用復合函數(shù)的求導法則。而且考查了學生的畫圖識圖能力，考查了學 生用所學數(shù)學知識處理實際問題的能力。2004年全國高考湖北卷 數(shù)學理科）第16題就是由本題改編而成。例4.已知拋物線C: y=x2+2

9、x,按下列條件求切線方程：切線過曲線上一點1, 3）。拓展：已知拋物線 G: y=x2+2x和C2： y= -x 2+a，如果直線I同時 是C和C2的切線，當a取何值時，C和C2有且僅有一條切線？寫出此公切 線的方程。2003年全國高考卷新課程 數(shù)學文科）（2）切線過拋物線外的一點1, 1）。（3）切線的斜率為2。拓展：點P為拋物線C: : y=x2+2x上任意一點，則點 P到直線 y=2x-2的最小距離為。評析：本題考查曲線y=f（x在點X。處的導數(shù)的幾何意義：曲線y=f（x在點P（x°,y°處切線的斜率。以題組的形式通過不同角度讓學生熟練 掌握導數(shù)幾何意義的應用。第 1

10、）小題的拓展是將第1）小題中的點一般化，考查內(nèi)容是一樣的，是在第1）小題的基礎上有所提高，激發(fā)學生的興趣。第3）小題的拓展與第3）小題解法類似，只是在出題上換個角 度，屬多題一解的類型。例5.設f/（x是函數(shù)f（x的導函數(shù)，y=（x的圖象如右圖所示,則y=f（x的圖象最有可能是 ）2004 年全國高考浙江卷 數(shù)學理科） 題）答案：0評析：此題以直觀的角度揭示了可導函數(shù)的單調(diào)性和其導數(shù)的關系。令XI，可由對此題的分析，結合圖象作以下拓展：(1求f(x的極值；在此處注意結合圖形讓學生理解極值的有關概念。如讓學生判斷下 列說法是否正確：極大值一定比極小值大；區(qū)間的端點一定是極值點； 導數(shù)為0的點一定

11、是極值點；極值點一定是導數(shù)為0的點。從而進一步強調(diào)求極值的方法。(2求y=f(x在x 0,3上的最值；讓學生辨析極值和最值的區(qū)別，讓學生進一步熟悉利用導數(shù)求函數(shù) 最值的基本思路。(3用總長為14.8的鋼條制做一個長方形的框架，如果所制做容器 的底面的一邊比另一邊長 0.5m，那么高為多少是容器的容積最大？并求出 它的最大容積。2002年全國新課程高考卷 理科)第20題)此題為題2)的類似拓展，強調(diào)了導數(shù)在實際生活中的應用。(4解不等式f(x 1。導數(shù)是分析函數(shù)單調(diào)性的有力工具，故有很多問題如：證明不等 式、解不等式、解方程、分析方程根的個數(shù)等等都可以轉化為利用函數(shù)單調(diào) 性處理，進而用導數(shù)方法求

12、解。例6.設函數(shù) - ，其中a0。求f(x的單調(diào)區(qū)間；(2)解不等式f(x 1。解: (1J| 圧-尺| 當a 1時，有，此時 f/(x0，函數(shù)f(x在區(qū)間 I上是單調(diào)遞減函數(shù)。 當0a1時，解不等式f (x><0得 三 f(x>在區(qū)間H上是單調(diào)遞減函數(shù)。解不等式儀>>0得 f(x>在區(qū)間EEJ上是單調(diào)遞增函數(shù)。(2>當a> 1時，t函數(shù)f(x>在區(qū)間 = 上是單調(diào)遞減函數(shù)由 f(0>=1,當且僅當x> 0時f(x> < 1.當0<a<1時， f(x>在區(qū)間 H 上是單調(diào)遞減函數(shù)，f(x>在區(qū)

13、間上是單調(diào)遞增函數(shù)，由f(x>=1得x=0或，且 I ,當且僅當乂丨 時，f(x> < 1.綜上可得：當a> 1時，f(x> < 1的解集為x|x >0。當0<a<1時，f(x> < 1的解集為x|丨。評析：本題是將2000年全國咼考新課程卷 <理科)第19題稍作改動而得到。使學生在例5中題(4>的基礎上進一步熟悉運用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的問題。并在解題過程中考查學生對求導公式和法則的熟練運用。五思維能力訓練:<一)選擇題：1.已知函數(shù)y=f(x>=x x<0B.1C.1或 0C:y=3x-x 3 及

14、點 P(2,2>，則過點A.02.已知曲線B.1C.2那么y/1 x=0的值為)D. 不存在P可向C引切線的條數(shù)A.03.下列求導的式子中正確的是D.3>A.cos(1-x> 、-si n(-x>B.C.(ax>/=xax-1D.4.函數(shù)也處有極值，則)A.a=2B.a=1C.D.a= -25.函數(shù) y=x -3x，的最小值是a2-1，則實數(shù)a的值A.0B.C.D.1>D.b6. 若 f(x>=ax 3+bx2+cx+d<a>0)2A.b -4ac>0B.b>0,c>0<二)填空題：7. 對函數(shù) f(x> ，

15、已知 f(3>=2，為增函數(shù)，貝u (C.b=0,c02-3ac<0f/(3>=-2，則8. 某日中午12時整，6船自A處以16km/h的速度向正東行駛，乙船自A的正北18km處以24km/h的速度向正南行駛，則當日12時30分時 兩船之間距離對時間的變化率是 km/h。2004年全國高考湖北卷理科)16題)三)解答題：9. 設拋物線C:y=x2(x 0上的點Po(x°,y°,過P。做曲線C的切線與x軸交于Q，過Q作平行于y軸的直線與曲線C交于R(X1,y1，然后再過 R作曲線C的切線交x軸于Q,過Q作平行于y軸的直線與曲線交于 R(X2,y2，仿此作出以下各點：Po,Q1,P1,Q2,P2,Q3 ,Pn,Qn+1,已知 X°=1。 (1)求過Pc的切線方程；求的值。，問是否i . I 210. 如果 f(x>=x +1, g(x>=ff(x>, 設存在適當?shù)?，使f(x>在 凹|上是減函數(shù)，在二|上是增函 數(shù)？若存在，求出的值，若不存在，說明理由。