算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、如有你有幫助，請購買下載，謝謝！典型例題一例1已知a,b,cwR,求證a2+b2+c2>ab+bc+ca.證明：a2+b2之2ab,b2c2_2bc,22c+a圭2ca,三式相加，得2.222.22.2(a+b+c)之2(ab+bc+ca),即a+b+c之ab+bc+ca.說明：這是一個重要的不等式，要熟練掌握.典型例題二例2已知a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：a(b2c2)b(a2c2)c(a2b2).6abc證明：b2+c2>2bc,a>0,a(b2c2).2abc同理可得：b(a2c2)2abc,c(a2b2)2abc.三個同向不等式相加，得222222_a(b+c)

2、+b(a+c)+c(a+b)>6abc說明：此題中a、b、c互不相等，故應用基本不等式時，等號不成立.特別地，a=b,b#c時，所得不等式仍不取等號.典型例題三例3求證Ja2+b2+v'b2+c2+Jc2+a2之M2(a+b+c).分析：此問題的關鍵是“靈活運用重要基本不等式a2+b21ab,并能由J2(a+b+c)這一特征，思索如何將a2+b2之2ab進行變形，進行創(chuàng)造”.證明：a2+b2>2ab,兩邊同加a2+b2得2(a2+b2)父(a+b)2.,，、22,2(ab)即a+b>-.2“a2+b22;|a+b(a+b).v1222同理可得：Vb2+c2>(b

3、+c),2三式相加即得va2+b2+yb2+c2+；c2+a22M2(a+b+c).典型例題四例4若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.解：a,bwR*,，ab=a+b+3之270b+3,令y=%：ab,得y22y3之0,.y之3,或yW-1(舍去).，y2=ab殳9,.ab的取值范圍是6,)說明：本題的常見錯誤有二.一是沒有舍去y<-1；二是忘了還原，得出abw13,+望).前者和后者的問題本源都是對Wb的理解，前者忽視了癡上0.后者錯誤地將y2視為掠.因此，解題過程中若用換元法，一定要對所設“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之.典型例題五6,x21例5(1)求y=I

4、的最大值.x44(2)求函數(shù)y=x2+'的最小值，并求出取得最小值時的X值.X216 . x2 16 x2 1< 6 = .3.2、3(3)若x>QyA0,且x+y=2,求x2+y2的最小值.解：(1)y=-n=-7=x24(x21)3x2.1_3_.x21即y的最大值為V3.當且僅當收+1=3時即x2=2x=±J2時，取得此最大值.=x2 1y的最小值為3,當且僅當x21-1-24-1=3x21，=x2+1,即(x2+1=4,x2+1=2,x=±1x21時取得此最小值./2(3)，x2+y2>2xy2(x2+y2)>(x+y)2即x2+y2

5、>-(x-y)-22222<x+y=2.-x十y之2即x+y的最小值為2.當且僅當x=y=4時取得此最小值.說明：解這類最值，要選好常用不等式，特別注意等號成立的條件.典型例題六一，一3例6求函數(shù)y=12x的最值.x分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應注意滿足相應條件.如：x#0,應分別對xA0,x<0兩種情況討論，如果忽視xwR+的條件，就會發(fā)生如下錯誤:333y=1-2x一=1_(2x十)<1-2J2x一=1-26,ymax=1246.xx；x.一,一，3一3解：當x>0時，2x>0,>0,又2x=6,xx當且僅當2x=3,即x=E

6、6時，函數(shù)2x+。有最小值26.x2xYmax=1-26.一,3一3當x<0時，2x>0,>0,又(2x)()=6,xx363當且僅當2x=,即x=+時，函數(shù)(2x+)最小值2K6.x2xymin-126.典型例題七一,一、“，x210例7求函數(shù)y=x-的最值.x29，2一、分析:Y=(x9)1=.x29-12*x29x291，、，Y = x + 一在x 上 1時單倜遞增 x這一性質，求函數(shù)1 , C、Y=t+；（t之3）的最值.但等號成立時x2=-8,這是矛盾的！于是我們運用函數(shù)14頁解：設t=4x2+9*3,x2101當t23時，函數(shù)y=t+-遞增.一一,110故原函數(shù)的

7、最小值為3+-=一,無最大值.33典型例題八x2»5一例8求函數(shù)y=的最小值.1, C、 ，一y = t+t（t之2）,再利用函數(shù)x24分析：用換元法，設t=4x2+4之2,原函數(shù)變形為,1y=t+t（t至2）的單調性可得結果.或用函數(shù)方程思想求解.解：解法一：設t = dx2 +4 >2,故 y =x2 5x2 41t -(t -2).t1t2 - 1t1t211設t2t1-2,y1-12=(t2)()=(t1-2)t1t2由t1tz<0,“2>2,得：“21>0,故：y1<y2一.，115.,.函數(shù)y=t十_（t之2）為增函數(shù)，從而y>2+-=

8、-t22解法二：設Jx2+4=t之2,知y=t+1（t主2）,可得關于t的二次方程t2yt+1=0,由根與系數(shù)的關系，得:垃2=1又t之2,故有一個根大于或等于2,25設函數(shù)f(t)=t-yt+1,則f(2)<0,即42y+1W0,故ya.x251說明：本題易出現(xiàn)如下錯斛：y=f=nx+4+j222.要知道，x24x24Jx2+4=無實數(shù)解,即y#2,所以原函數(shù)的最小值不是2.錯誤原因是忽視了,x24等號成立的條件.當a、b為常數(shù)，且ab為定值，a¥b時，abxab,不能直接求最大（小）值，可2以利用恒等變形a+b=V（a-b）2+4ab,當a-b之差最小時，再求原函數(shù)的最大（

9、?。┲?典型例題九ECCC4f1f1'一例9a>0,b>0,a+b=4,求a+i+b+-i的最小值.ka；<b,J分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值.22,、2斛：由a+b=4,得a+b=（a+b）_2ab=162ab.又a2+b2之2ab,得162ab之2ab,即ab<4.故 a + H+fb< a)12+-I的最小值是竺.b22 2b b -2-a說明：本題易出現(xiàn)如下錯解:22,11、f1、故a+一+b+-i<a)bbJ的最小值是8.錯誤的原因是，在兩次用到重要不等式當?shù)忍柍闪r，有a=1和b=1,但在a+b=4的條件下，這

10、兩個式子不會同時取等號（a=1時，b=3）.排除錯誤的辦法是看都取等號時,與題設是否有矛盾.典型例題十例10已知：a,b,2R1求證：bc+ac+-ab>a+b+c.abc分析：根據(jù)題設，可想到利用重要不等式進行證明.bcacabc2bcaco證明：一+>2J=2c,即一+>2c.ab-ababbcabacab同理：一一2b,2aacbc說明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：（1）想利用三元重要不等式解決問題；（2）不會利ab用重要不等式上上之Jab的變式；（3）不熟練證明輪換對稱不等式的常用方法.因此，在2證明不等式時，應根據(jù)求證式兩邊的結構，合理地選擇重要不等式.另外，本題的

11、證明方法在證輪換對稱不等式時具有一定的普遍性.典型例題十一例11設a、b、c、d、ewR,且a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.22分析：如何將a+b與a+b用不等式的形式聯(lián)系起來，是本題獲解的關鍵.算術平1O均數(shù)與幾何平均數(shù)定理a2+b2之2ab兩邊同加a2+b2之后得a2+b2>-（a+b）2.2212斛：由a+b之/(a+b),則有說明：常有以下錯解：16e2=a2+b2+c2+d2>2(ab+cd)之4Jabcd,8e=a+b+c+d>44/abcd.,(16-e2)28-e4u故>abcd,()>abcd.4242兩

12、式相除且開方得16e9>1=>0<e<.(8-e)2541錯因是兩不等式相除，如2>1,1a,相除則有2>2.22212不等式a2+b2(a+b)2是解決從“和”到“積”的形式.從“和”到“積”怎么辦呢?有以下變形：a2+b2>(a+b)2或Ja型L主(a+b).2.22典型例題十二22例12已知：x>y>0,且：xy=1,求證：-y22，2,并且求等號成立的條x-y件.分析：由已知條件x,yWR+,可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有x-y,(x-y)(x-y)無法利用x+y2jxy,故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現(xiàn)型，再

13、行論證.證明：丫xay>0,，x-y>0.又丫xy=1,，2等號成立，當且僅當(x-y)=時.(x-y)6，2.6一，：2由以上得x二,y=22'62'6-2即當x=,y=時等號成立.22說明：本題是基本題型的變形題.在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式,這容易形成思維定式.本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式.要注意靈活運用均值不等式.典型例題十三例13已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.30-x分析：由x+2y+xy=30,可得，y=,(0<x<30)2x,30x-x230x-x2故

14、xy=(0<x<30)，令t=-2x2x利用判別式法可求得t(即xy)的最大值，但因為x有范圍0<x<30的限制，還必須綜合韋達定理展開討論.僅用判別式是不夠的，因而有一定的麻煩，下面轉用基本不等式求解.30-x解法一：由x+2y+xy=30,可得，y=3°-(0<x<30).2x注意至U(x+2)+-6>2/'(x+2)-6=16.x2,x2可得，xy<18.64一當且僅當x+2=石，即x=6時等號成立，代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值為18.解法二：二x,yWR+,x+2y>22xy=2V2Jxy,代

15、入x+2y+xy=30中得：2&jxy+xyE30解此不等式得0WxyW18.下面解法見解法一，下略.說明：解法一的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二則是抓住了問題的本質，所以解得更為簡捷.典型例題十四例14若a、b、MR+,且a+b+c=1,求證：11-1-11-1|>8.abc分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個因式分別使用基本不等式11-ab-c2bc所得三個“2”連乘而來，而'1=a=bc至仝變.aaaa證明：”-1=3=W，又a>0,b>0,c>0,aaabc2bc口h1-a2bc二>,即>.aaaa1.

16、2.ca問理一-1_bb1當且僅當a=b=c=時，等號成立.3說明：本題巧妙利用a+b+c=1的條件，同時要注意此不等式是關于a、b、c的輪換式.典型例題十五例15設a、b、cer求證：va2+b2+db2+c2+cc+a2AJ2(a+b+c).分析：本題的難點在于Va2+b2、Vb2+c2、Jc2+a2不易處理，如能找出a2+b2與a+b之間的關系，問題可得到解決，注意到：a2+b2之2ab=2(a2+b2)之(a+b)2=02(a2+b2)之a+b,則容易得到證明.2222222證明：a2+b2之2ab,2(a2+b2)>a2+b2+2ab>(a+b)2,于是vE之早la+ga

17、+b).同理：之學(b+c)'，K'?(c+a).三式相加即得：Ja2+b2+Yb2+c2+Vc2+a2AJ2(a+b+c).說明：注意觀察所給不等式的結構，此不等式是關于a、b、c的輪換式.因此只需抓住一個根號進行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性.典型例題十六例16已知：a、bWR +(其中R+表示正實數(shù))求證:一 .ab -1 1分析：要證明的這一串不等式非常重要,a2 b2稱為平方根, 2a b ,稱為算術平均2數(shù)，J茄稱為幾何平均數(shù)，二一稱為調和平均數(shù).11ab2,2證明:ja+b1,？nI=(ab)之0.I2J4，22a +b2alb,當且僅當"

18、;a = b"時等號成立.之Jab ,等號成立條件是“L等號成立條件是“，Jab,等號成立條件是“a=b11+ab說明：本題可以作為均值不等式推論，熟記以上結論有利于處理某些復雜不等式的證明問題.本例證明過程說明，不等式性質中的比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法.典型例題十七2.2例17設頭數(shù)a1,b1,c1,a2,b2,c2滿足a1a2A0,ac之bi,a2c2之b2,2求證(a1+a2)(c1+c2)之(bi+b2).分析：由條件可得到a1，a2,G,C2同號.為方便，不妨都設為正.將求證式子的左邊展開后可看出有交叉項ac2和a2C1無法利用條件，但使用均值不等式變成乘積后

19、，重新搭配，可利用條件求證.證明:a1a20,.a1,a2同號.22同理,由a1c1b1,a2c2b2知a1與c1同寫)a2與C2同寫a1,G,a2,C2同號.不妨都設為正.22_2>b1+b2+2bb=(b1+b2)2,即(a1+a2)(c1+C2)之(b+b2)2.說明：本題是根據(jù)題意分析得a1,c1,a2,c2同號，然后利用均值不等式變形得證.換一個角度，由條件的特點我們還會聯(lián)想到使用二次方程根的判別式，可能會有另一類證法.2.2頭際上，由條件可知a1,C1,a2,c2為同號，不妨設同為正.又ac上b1，a2c2之b2,2,2，4a1cl之4bl,4a2c2之4b2.不等式a1x2

20、+2bx+c1之0,a2x2+2b2x+c2>0對任意實數(shù)x恒成立（根據(jù)二次三項式恒為正的充要條件），兩式相加得（a1+a2）x2+2（b1+b2）x+（c1+c2）>0,它對任意實數(shù)x恒成立.同上可得：（a1+a2）（c1+c2）>（b1+b2）2.典型例題十八例18如下圖所示，某畜牧基地要圍成相同面積的羊圈4間，一面可利用原有的墻壁，其余各面用籬笆圍成，籬笆總長為36ml問每間羊圈的長和寬各為多少時，羊圈面積最大？分析：可先設出羊圈的長和寬分別為x,y,即求xy的最大值.注意條件4x+6y=36的利用.解：設每間羊圈的長、寬分別為x,y,則有4x+6y=36,即2x+3y

21、=18.設S=xy上式當且僅當2x=3y時取“=”.2x=3y , 2x =3y = 18 ,9x 二一 ,2y = 3.9,一.羊圈長、寬分別為-mi,3m時面積最大.2說明：（1）首先應設出變量（此處是長和寬），將題中條件數(shù)學化（即建立數(shù)學模型）才能利用數(shù)學知識求解；（2）注意在條件2x+3y=18之下求積xy的最大值的方法：直接用不2f2x + 18-2x等式18=2x+3y22x3y,即可出現(xiàn)積xy.當然，也可用“減少變量”的方法:1c111y=-(18-2x)>S=xy=x(18-2x)=2x(182x)三3366且僅當2x=18-2x時取“二”.典型例題十九例19某單位建造一

22、間地面面積為12m的背面靠墻的矩形小房，房屋正面的造價為1200元/m2,房屋側面的造價為800元/m2,屋頂?shù)脑靸r為5800元.如果墻高為3m,且不計房屋背面的費用，問怎樣設計房屋能使總造價最低，最低總造價是多少元？，12 一 ，則長為22 m再設總xy .根據(jù)題意，可得:34600 元.分析：這是一個求函數(shù)最小值的問題，關鍵的問題是設未知數(shù)，建立函數(shù)關系.從已知條件看，矩形地面面積為12mt但長和寬不知道，故考慮設寬為xm,造價為y.由題意就可以建立函數(shù)關系了.12解：設矩形地面的正面寬為xm,則長為mi;設房屋的總造價為x當x=16,即x=4時，y有最小值34600元.x因此，當矩形地面

23、寬為4m時，房屋的總造價最低，最低總造價是說明：本題是函數(shù)最小值的應用題，這類題在我們的日常生活中經常遇到，有求最小值的問題，也有求最大值的問題，這類題都是利用函數(shù)式搭橋，用均值不等式解決，解決的關鍵是等號是否成立，因此，在解這類題時，要注意驗證等號的成立.典型例題二十例20某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每1m長造價40元，兩側墻砌磚，每1m長造價45元，頂部每1m2造價20元.計算：(1)倉庫底面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？分析：用字母分別表示鐵柵長和一堵磚墻長，再由題意翻譯數(shù)量關系.解：設鐵柵長為xm一堵磚墻長為ym則有S=xy.由題意得40x245y2