不定積分與定積分部分典型例題

1、不定積分與定積分部分典型例題例1 驗(yàn)證和是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù), 并說(shuō)明兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系. 分析依原函數(shù)的定義, 若和的導(dǎo)數(shù)都是某個(gè)函數(shù)的原函數(shù), 即有, 則和是的原函數(shù). 所以, 只需驗(yàn)證和的導(dǎo)數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)即可. 解因?yàn)樗院褪峭粋€(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù). 且有說(shuō)明兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù). 例2已知某曲線y=f(x)在點(diǎn)x處的切線斜率為, 且曲線過(guò)點(diǎn), 試求曲線方程. 分析根據(jù)不定積分的幾何意義, 所求曲線方程為過(guò)點(diǎn), 斜率是的積分曲線. 解且曲線過(guò)點(diǎn), 即, 得出于是所求曲線方程為例3判斷下列等式是否正確. （1）（2）（3）分析 （1）, （2）根據(jù)不定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)

2、定積分的定義進(jìn)行判斷. 解（1）依照不定積分的性質(zhì)所以, 等式成立. （2）依照不定積分的性質(zhì)所以, 等式不成立. 正確的應(yīng)為（3）由定積分定義, 是一個(gè)確定的數(shù)值, 因此, 對(duì)函數(shù)先求定積分再求導(dǎo)數(shù)等于對(duì)一個(gè)數(shù)值求導(dǎo)數(shù), 所以結(jié)果應(yīng)該為零. 即等式錯(cuò)誤, 正確的結(jié)果應(yīng)為. 例4計(jì)算下列積分：（1）（2）（3）分析 對(duì)于（1）, （2）利用基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行積分, 注意在計(jì)算時(shí), 對(duì)被積函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?；?duì)于（3）, 注意到被積函數(shù)帶有絕對(duì)值符號(hào), 而在積分時(shí), 絕對(duì)值符號(hào)是一定要打開的, 且在積分區(qū)間上有利用定積分的區(qū)間可加性和N-L進(jìn)行計(jì)算. 解（1）將被積函數(shù)變形為= =

3、. （2）將被積函數(shù)變形為再利用積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)得 =(3). 說(shuō)明：本例在求積分的方法直接積分法. 這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì), 或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形就 可以運(yùn)用積分公式求積分的題目. 在解題中應(yīng)該注意：1熟悉基本積分公式；2在解題中經(jīng)常要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡淖冃危ɡ纾?）中將二項(xiàng)和的平方展開；（2）中將乘到括號(hào)里邊去；（3）中將絕對(duì)值打開）, 變形的目的是使被積函數(shù)為積分基本公式中的函數(shù)或它們的線性組合. 這些方法和技巧的掌握是基于平時(shí)的練習(xí)；3如果連續(xù)試探幾次, 進(jìn)行不同的變形后仍無(wú)法達(dá)到目的, 則應(yīng)考慮其它積分方法求解. 例5計(jì)算下列積分：（1）

4、； （2）（3）（4）分析 注意到這幾個(gè)被積函數(shù)都是復(fù)合函數(shù), 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題一般是利用湊微分法（第一換元積分法）, 在計(jì)算中要明確被積函數(shù)中的中間變量, 設(shè)法將對(duì)求積分轉(zhuǎn)化為對(duì)求積分. 對(duì)于定積分的湊微分的題目要注意：換元積分法的特點(diǎn), 即“換元變限”. （1）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, , 這時(shí)對(duì)于變量可以利用公式求積分. （2）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, 這樣對(duì)于變量可以利用積分公式求積分. （3）將被積函數(shù)看成, 其中, 且, 于是, 這樣對(duì)于變量可以利用積分公式求積分. （4）將被積函數(shù)分解成即分成兩個(gè)函數(shù)積分的和, 第一個(gè)積分可以由N-L公式直接得到

5、, 第二個(gè)積分中被積函數(shù)視為, 其中, 解 （1）= = （2） （） =（3）方法1換元換限. 令, 則, 且當(dāng)時(shí), , 時(shí), , 于是有方法2 只湊微分不換元, 不換積分限. (4) 因?yàn)?對(duì)于積分對(duì)于積分用湊微分法, 方法1 令, 則, 且當(dāng)時(shí), , 時(shí), , 于是有方法2 只湊微分不換元, 不換積分限.說(shuō)明：第一換元積分法是積分運(yùn)算的重點(diǎn), 也是難點(diǎn). 一般地, 第一換元積分法所處理的函數(shù)是復(fù)合函數(shù), 故此法的實(shí)質(zhì)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算. 在運(yùn)算中始終要記住換元的目的是使換元后的積分容易求原函數(shù). 應(yīng)用第一換元積分法時(shí), 首先要牢記積分基本公式, 明了基本公式中的變量換成的函數(shù)時(shí)公式

6、仍然成立. 同時(shí)還要熟悉微分學(xué)中的微分基本公式, 復(fù)合函數(shù)微分法則和常見(jiàn)的 “湊微分”形式. 具體解題時(shí), “湊微分”要朝著容易求積分的方向進(jìn)行. 在定積分計(jì)算中, 因?yàn)榉e分限是積分變量的變化范圍, 當(dāng)積分變量發(fā)生改變, 相應(yīng)的積分限一定要隨之變化, 所以, 在應(yīng)用換元積分法解題時(shí), 如果積分變量不變（例如（3）（4）中的方法2）. 則積分限不變. 而且在換元換限時(shí), 新積分變量的上限對(duì)應(yīng)于舊積分變量的上限, 新積分變量的下限對(duì)應(yīng)于舊積分變量的下限, 當(dāng)以新的變量求得原函數(shù)時(shí)可直接代入新變量的積分上、下限求積分值即可無(wú)須在還原到原來(lái)變量求值（例如（3）（4）中的方法2）. 由于積分方法是靈活多

7、樣的, 技巧性較強(qiáng), 一些“湊”的方法是要靠一定量的練習(xí)來(lái)積累的（例如（4）因此, 我們只有通過(guò)練習(xí)摸索規(guī)律, 提高解題能力. 例6計(jì)算下列積分：（1）； （2）；（3）分析 注意到這些積分都不能用換元積分法, 所以要考慮分部積分,對(duì)于分部積分法適用的函數(shù)及的選擇可以參照表3-1, 具體步驟是：1湊微分, 從被積函數(shù)中選擇恰當(dāng)?shù)牟糠肿鳛? 即, 使積分變?yōu)椋?代公式, , 計(jì)算出3計(jì)算積分. 在定積分的分部積分公式是, 它與不定積分的區(qū)別在于每一項(xiàng)都帶有積分上、下限. 注意公式中是一個(gè)常數(shù), 在計(jì)算中應(yīng)隨時(shí)確定下來(lái), 在計(jì)算（3）小題時(shí)應(yīng)設(shè)法先去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào), 這時(shí)需要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)適當(dāng)?shù)睦枚ǚe分對(duì)區(qū)間的可加性質(zhì). 解 （1）設(shè), 則, 由分部積分公式有(2)設(shè), 則, 由定積分分部積分公式有（3）因?yàn)? 利用積分區(qū)間的可加性得到其中第一個(gè)積分為第二個(gè)積分為, 最后結(jié)果為. 例7計(jì)算下列無(wú)窮限積分：（1）； （2）；（3）分析 對(duì)于無(wú)窮限積分的求解步驟為： （1