重點(diǎn)高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇(圓錐曲線)

1、重點(diǎn)高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇 圓錐曲線作者:日期:攻克圓錐曲線解答題的策略摘要:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題，提高成績(jī)，戰(zhàn)勝高考，可從四個(gè)方面著手：知識(shí)儲(chǔ)藏、方法儲(chǔ)藏、思維訓(xùn)練、強(qiáng)化訓(xùn)練。關(guān)鍵詞：知識(shí)儲(chǔ)藏方法儲(chǔ)藏思維訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練第一、知識(shí)儲(chǔ)藏：1.直線方程的形式(1 )直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2 )與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k tan ,0,)點(diǎn)到直線的距離dAxo By。C、A B2夾角公式：tank2 K1 k2k1(3 )弦長(zhǎng)公式直線y kx b上兩點(diǎn)A(%, yj, B(X2, y2)間的距離：AB 41 |羽 饑1 k2)(X1 X2)

2、2 4x1X2或 | AB J 右 M y2(4)兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2k1k2=-1 hl2 k1 k2且b1 b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1) 、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)2 2標(biāo)準(zhǔn)方程： 1(m 0,n0且 m n)m n距離式方程：.(x c)2 y2. (x c)2 y2 2a參數(shù)方程：x acos , y bsin(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：1(m n 0) m n距離式方程：|.、(x c)2 y2 . (x c)2 y2 | 2a(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：生；雙曲線：藝；拋物線：2paa(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了

3、嗎？2 2如：Ft F2是橢圓 亍 臺(tái) 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足MF叭 2那么動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡是()A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5) 、焦點(diǎn)三角形面積公式：P在橢圓上時(shí)，S fiPf2 b2tan；2P在雙曲線上時(shí)，S FdF2 b cot 2| pf |2 | PF |2 4r2 UJir UULU ULW UJULT(其中 F1PF2,cos1fd I_fd 一，pr?PF2 |PFi II PF2 |cos )|PFi|PF2|、記住焦半徑公式：(1)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a exo；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a ey，可簡(jiǎn)記為“左 加右減，上加下減。(2)雙曲

4、線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e| xo | a(3)拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為|人|衛(wèi),焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為| % |衛(wèi)2 2(6)、橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲(chǔ)藏1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問(wèn)題)設(shè) A x1, y1、B X2, y22 x，M a,b為橢圓一21的弦AB中點(diǎn)那么有432 22 2222 2x1y11X2y21;兩式相減得人X2y1 y2 0434343xi X2 xi X2yi y yi y. 3akAB =-434b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè) 參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方

5、程，使用判別式0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(x,yi), B(X2,y2)，將這兩點(diǎn)代 入曲線方程得到嘆兩個(gè)式子，然后t，整體消元假設(shè)有兩個(gè)字母未知數(shù)，那么要找到它們的聯(lián) 系，消去一個(gè)，比方直線過(guò)焦點(diǎn)，那么可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。假設(shè)有向量的關(guān)系，那么尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為y kx b，就意味著k 存在。例1、三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓 4x2 5y2 80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn) A在y軸正 半軸上)(1 )假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程；(2)假設(shè)角A為90，AD垂直BC于 D

6、,試求點(diǎn)D的軌跡方程分析：第一問(wèn)抓住重心，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC的斜率，從而寫出直線 BC的方程。第 二問(wèn)抓住角A為90可得出AB丄AC,從而得X1X2 y2 14(yi 祠 16 0，然后利用聯(lián)立消元法及交軌 法求出點(diǎn)D的軌跡方程；x； y；x； y|解：(1 )設(shè) B ( xi, yi ),C(X2,y2 ),BC 中點(diǎn)為(X。，y0),F(2,0)那么有一 1,一 - 120 1620 16兩式作差有(XiX2)(XiX2)(yiy2)(yiy2)0 2 堂 0 (1)201654F(2,0)為三角形重心，所以由x1x22，得X。3，由yiy20得y2代入(i )得k

7、6335直線BC的方程為6x5y28 02)由 AB丄 AC得 x1 X2y214(yiy2)160(2)設(shè)直線BC方程為y2kx b,代入4x52 y80，得(42 25k )x210bkx 5b800XiX210kb4 5k2 * *，X1X225b 2804 5k2yi8ky24 5k24b2 802k2代入(2)式得4 5k29b24 5k2 * * *32b160，解得4b 4(舍)或 b -94直線過(guò)定點(diǎn)(0，)，設(shè)9所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是4 y -D (x,y )，那么9 x(y )9x21，即 9y2 9x232yx()2(y 4)。916 04、設(shè)而不求法例2、如圖，梯形A

8、BCD中AB2CD|，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以a、B為焦點(diǎn)當(dāng)3 了時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜2 合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，假設(shè)設(shè)C c,h，代入務(wù)2b21，0,整理依題意，記A c,0，cC 2 ,h ， E x, y，其中12|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得hy0廠2a2設(shè)雙曲線的方程為篤a2金1，那么離心率e a由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e -代入雙曲線方程得 a由式得2 e 4h2b2 1，h

9、21 b2b2將式代入式，整理得2 e44由題設(shè)|3e213e22解得詔7 e -10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7 10分析：考慮|AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式,AE , AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算,達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,Xec c2_1AEexE , ACaeXC ,AEAC，代入整理1 A，由題設(shè)I寸得,解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為7 , 103e22、7 e 、-105、判別式法,直線I過(guò)點(diǎn)A、2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1時(shí)，雙曲線的上支上2例3雙曲線c：仏2有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為2，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)分析1:解析

10、幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析 幾何問(wèn)題的重要手段.從“有且僅有這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與I平行的直線，必與雙曲線 C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：I : y k(x V2)0 k 11直線i在I的上方且到直線I的距離為 J2FI: y kx v21k把直線I ；的方程代入雙曲線方程， 消去y，令判別式0F解得k的值解題過(guò)程略.分析2 :如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為J2 ，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路:簡(jiǎn)

11、解：設(shè)點(diǎn)M(x,2 x2)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，那么點(diǎn) M到直線I的距離為:于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 X的方程.由于0 k 1，所以2 x2xkx，從而有kx (2 x2 J2k kx 72x2 V2k.于是關(guān)于x的方程kx 2 x2,2k . 2(k21)2 _2 x2(.2(k21) 2k kx)2,2( k21) 2k kx 0_ . _ 2k21 x2 2k 2(k21). 2kx 2(k21) 2k 20,2( k21),2k kx 0.由0 k 1可知： 2 方程 k2 1 x2 2k 2(k21). 2k x . 2(k21).2k 20 的二根同正，故；2(k1)2k k

12、x 0恒成立，于是等價(jià)于 _ _ 2k2 1 x22k 2(k2 1).2k x . 2(k2 1)、2k 2 0.由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得k .5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo),不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分表達(dá)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性例4橢圓C:x2 2y2 8和點(diǎn)P( 4，1)，過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上APAQPBQB取點(diǎn)Q，使求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可到達(dá)解題

13、的目的.由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線 AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？ 一方面利用點(diǎn) Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件:APAQPBQB來(lái)轉(zhuǎn)化由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到x 4(xa耳)兀心，要建立x與k的關(guān)系，只需將直線 8 (Xa Xb)AB的方程代入橢圓C的方程，禾I用韋達(dá)定理即可通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開始解題，但對(duì)于如何解決此題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程(不含k)，那么可由y k(x 4)1解得k 丄，直接代入x f

14、k即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)x 4化消去參的過(guò)程程:簡(jiǎn)解：設(shè)Ax1 y2,Qx,y，那么由篦QI可得：44(x1 x2) 2x1 x2解之得：X8 X1設(shè)直線AB的方程為:2 k2X1X1X2X2XX2)(1)y k(x 4)1，代入橢圓C的方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方1 x24k(14k)x 2(14k)21)4k(4kX1 X22k 12XlX22(1 4 k) 822k 1代入1，化簡(jiǎn)得：x4k 3k 2k(x 4) 1 聯(lián)立,消去k得:2xy 4 (x 4)0.在2 中，由264 k 64 k 240，解得210，結(jié)合3可求得416 2 10 16 2.10x故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：

15、2x y 40(16 2.10916 x9點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定 理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參 .，而“引參、用參、消參三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.6、求根公式法2 2例5設(shè)直線I過(guò)點(diǎn)P 0，3，和橢圓厶1順次交于A、B兩點(diǎn)，試求 94分析：此題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：竺=2，但從此后卻一籌莫展，問(wèn)題的根源在于對(duì)PBxB題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)或某幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式或方程，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二那么是構(gòu)造

16、關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1：從第一條想法入手，應(yīng)= A已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量 Xa,Xb，同時(shí)這 兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3個(gè)變量一一直線 AB的斜率k.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如 何將Xa,Xb轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y得出關(guān)于x的一 元二次方程，其求根公式呼之欲出.簡(jiǎn)解1 :當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)，可求得APPB當(dāng)I與x軸不垂直時(shí)，設(shè)Ay! , B(X2, y2)，直線I的方程為：ykx 3，代入橢圓方程，消去 y 得 9k24 x2 54kx 45 0解之得Xi 227k6.9k259k24因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，

17、所以只需考慮k 0的情形.當(dāng)k所以由所以 綜上0時(shí)，x27k.6 . 9k25_9k24AP腫亠PBX29k 2 9k2 527k 6 9k2 5 9k24，18k=9k 2t9k25(54k)2180 9k240,解得 k2-，9189 2 95k2APPB182 95k2分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，那么應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來(lái).一般APX.來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但此題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于竺 不PBx2是關(guān)于X1,X2的對(duì)稱關(guān)系式原因找到后，解決問(wèn)題的方法自

18、然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于X1,X2的對(duì)稱關(guān)系式.簡(jiǎn)解2 :設(shè)直線I的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得2 29k 4 x54kx 45(*)X1那么X254k9i?4452 -9k 4令$X2，那么，丄324 k2245k20在* 中,由判別式0,可得k2從而有結(jié)合0綜上,2324 k445k2201 得 11.5AP1PB5.36，所以536，解得均值不等式法，變量的有界性法,點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法, 函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等此題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至

19、會(huì)被局部 所糾纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能 決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由的數(shù)學(xué)命題得出新命題的根本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá) 到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過(guò)編寫思維流程圖來(lái)錘煉自己的大 腦，快速提高解題能力。例6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF FB 1，|3| 1 .第14頁(yè)共22頁(yè)(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(U)記橢

20、圓的上頂點(diǎn)為M，直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線I，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？假設(shè)存在，求出直線I的方程;假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 思維流程：uuir uuu田 AF ?FB 1，(a c)(a c) 1 ? c 1a 、2,b 1寫出橢F 為 PQM* PQ MF,MP FQk pq223x 4mx 2m 20兩根uuir uuir MP ? FQ 0解題過(guò)程:(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為2 X2 a21(a b0),那么 c 1又 AF FB 1 即(ac) (ac)1 a2c2 a22x2故橢圓方程為?(U)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心，那么設(shè) P(X1

21、,yJ,Q(X2,y2),- M(0,1),F(1,0)，故 kPQ于是設(shè)直線I為y xym，由 2xX2m 得,2y222 23x 4mx 2m 2uur uuuT MP FQ 0 為&21) y21)又 yXim(i 1,2)得 X1(X2 1) (X2m)(x! m 1)2x1x2 (x1X2)(m1)由韋達(dá)定理得2 m222 -4m4T(m44解得m -或m 1 (舍) 經(jīng)檢驗(yàn)m -符合條件.33點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.3 例7、橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A( 2,0)、B(2,0)、C占八、(I)求橢圓E的方程:(

22、U)假設(shè)點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn),F( 1,0), H (1,0)，當(dāng) DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程：(I) I由橢圓經(jīng)過(guò) I解出設(shè)方程為2 mxny21得至U m,n的DFH內(nèi)切 L轉(zhuǎn)化為 DFH轉(zhuǎn)化為點(diǎn)d的縱坐標(biāo)的 I D為橢圓DFH面積最大S DFH周長(zhǎng)內(nèi)切圓r內(nèi)切圓3 1得出D點(diǎn)坐標(biāo)為解題過(guò)程：3(I)設(shè)橢圓方程為 mx2 ny21 m 0, n 0 將 A( 2,0)、B(2,0)、C(1-)代， 2入橢圓E的方程，得4m 1,9 解得m m n 14和扛橢圓E的方程Xr1 2 h2當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為、3，所以S dfh的最大值為

23、,3 .(n) |fh |設(shè)厶DFH邊上的高為 S DFH設(shè)ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值6 所以，S DFH所以R的最大值為彳所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0冷)點(diǎn)石成金：S的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓例8、定點(diǎn)C( 1,)及橢圓x2 3y25 ,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A, B兩點(diǎn).1假設(shè)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線AB的方程;(n)在x軸上是否存在點(diǎn) M，使MAMB為常數(shù)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.思維流程:(I)解：依題意，直線 AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y k(x 1),將 y k(x 1)代入 x2 3y2消去y整理得(3k2 1)x26k2

24、x 3k25 0.設(shè) A(x!, yj, B(X2, y2),36k4 4(3k2 1)(3k2那么6k2x1 x 2.3k2 15)0,(1)由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1 x2 得 3k23k2 12，解得k中，符合題意。所以直線AB的方程為x ,3y 10，或x 3y 10.U解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M m,0，使MA當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由I知UJUT 所以MAUUTMB (為 m)(x2 m) y1y2 (x1 m)(x22(k1)x2x26k2x1x23k25(3)3k213k2 1 m)疋為1)(X21)2 m .將(3)代入，整理得xi2 2(km)(x.| x2) kMB為常

25、數(shù).UULT UULTMA MB(6m 1)k2 52m3k2 11214(2 m -)(3k2 1) 2m -333k2 1m22m6m3(3k2141)注意到MA MB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù),從而有6m 140,UULT 此時(shí)MAuuirMB 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，當(dāng)UULT UULT 4 有 MA MB - 9綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M- ,03，使MA MB為常數(shù).UUU UUf (6m1)k25點(diǎn)石成金：MA MB (6m 1)k53k2 11 2(2m -)(3k2 1)7m22m1 6m 1433(3k2 1)例9、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短

26、軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)2， 1，平行于OM的直線I在y軸上的截距為m m工0， l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。求橢圓的方程;求m的取值范圍;(K)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程:2x解：1設(shè)橢圓方程為二a2b 1(a b 0)a 2b2a 8那么41解得27-21 b22ab2橢圓方程為8(n)v直線|平行于OM，且在y軸上的截距為m1又 Kom =2I的方程為:y由2x81x22y2mx2 2mx 2m2401直線I與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),(2m)2解得2 m4(2m22,且m4) 0,0(E)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki,k2，只需證明ki+k2=0即可那么k1

27、y11,k2y21X12X22由X22mx2m240可得X1X22m, x1 x22m2 4而k1k2y1 1y21(y1 1) (X2 2) (y2 1)(X1 2)設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，且xi2 m, x1x22m2 4x1 2 x2 2(x1 2)( x22)1 1(尹 m 1)(X22) (- X2m 1)(X12)(X12)(X22)x1x2 (m 2)(x1 x2) 4(m1)(X12)(X2 2)2m24 (m 2)( 2m) 4(m1)任 2)(X22)2m24 2m2 4m 4m 40 (%2)(X22)k1 k20故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等

28、腰三角形點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形k1 k2 02例10、雙曲線篤a3b)的直線到原點(diǎn)的距離是亍篤 1的離心率e ，過(guò)A(a,0), B(0,b3(1)求雙曲線的方程;(2 )直線 的值kx5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C, D且C,D都在以B為圓心的圓上，求k思維流程:解：t(1) ca2 3 ,原點(diǎn)到直線AB: a的距離dab-.a21, aab -J3b2 T 丁、3.故所求雙曲線方程為(2)把y kx 5代入x23y23中消去y，整理得(13k2)30kx780 .設(shè) C(Xi,yi),D(X2,y2),CD 的中點(diǎn)是 E(xo,y。)，那么x1x215 kXo

29、 21 _37k y。11X0ky kx。553k2Xokyok 0,即 15 k 21 3k 21 3k 20,故所求k= 7 .點(diǎn)石成金：C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE 丄 CD;例11、橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3，(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II)假設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).思維流程：2 2解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 % 占1(a b 0)，a b由得:a 2, cb2(II)a1,2 2a c設(shè)A%y k

30、x2 2x y43得(3 4k2)x2聯(lián)立c 3, a c 1,3%)，BE y2).m,1.8mkx橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4(m2 3)0 ,2y_32 24k )(m3)0,即 3 4k22 264m k 16(38mkX1 X23 4k4( m23)X1X22 .3 4k又 y2 (kx1 m)(kx22m) kmk(x.| x2)m23(m2 4k2)3 4k2因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2 ,),kADkBD1，即 一亠 1.x12 x222 2 23(m2 4k2)4(m23) 15mk2解得:當(dāng)mi?所以,y2x1x22(x1 x2) 40 .7m2 16mk 4k20 .2 2 43 4k 3 4kkm 2k, m2，且均滿足2k時(shí)，I的方程y kx 2，直線過(guò)點(diǎn)2,0，與矛盾