矩陣特征值的計(jì)算

1、第章矩陣特征值的計(jì)算第1頁(yè)，共38頁(yè)。引言第2頁(yè)，共38頁(yè)。第8章 矩陣特征問(wèn)題的計(jì)算第3頁(yè)，共38頁(yè)。定義定義1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A, B R n n，若有可逆陣若有可逆陣P，使使 則稱則稱A與與B相似相似。APPB1定理定理1 若矩陣若矩陣A, B R n n且相似且相似，則則（1）A與與B的特征值完全相同的特征值完全相同；（2）若若x是是B的特征向量的特征向量，則則Px便為便為A的特征向量的特征向量。8.1特征值與特征向量的基礎(chǔ)知識(shí)第4頁(yè)，共38頁(yè)。定理定理2： 設(shè)設(shè)A R n n具有完全的特征向量系，即存在具有完全的特征向量系，即存在n個(gè)個(gè)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān) nDAPP 211其中其中 i為

2、為A的特征值的特征值，P的各列為相應(yīng)于的各列為相應(yīng)于 i的特征向量的特征向量。 的特征向量構(gòu)成的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底的一組基底，則經(jīng)相似變換可化則經(jīng)相似變換可化A為為對(duì)角陣，即有可逆陣對(duì)角陣，即有可逆陣P，使使第5頁(yè)，共38頁(yè)。定理定理3 ：A R n n， 1, , n為為A的特征值的特征值，則則 niiniiiaAtr11)( （2）A的行列式值等于全體特征值之積，即的行列式值等于全體特征值之積，即nA 21)det( （1）A的跡數(shù)等于特征值之和，即的跡數(shù)等于特征值之和，即第6頁(yè)，共38頁(yè)。定理定理4 設(shè)設(shè)A R n n為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣，其特征值其特征值 1 2 n，則則 （1

3、）對(duì)任意對(duì)任意A R n，x0，1),(),( xxxAxn),(),(min0 xxxAxxn（2）),(),(max01xxxAxx（3）第7頁(yè)，共38頁(yè)。定理定理5 （Gerschgorin圓盤定理圓盤定理） 設(shè)設(shè)A R n n，則則niaaznijjijii, 2, 1,1 表示以表示以aii為中心為中心，以以 半徑為的復(fù)平面上的半徑為的復(fù)平面上的n個(gè)圓盤個(gè)圓盤。 nijjija1（2）如果矩陣如果矩陣A的的m個(gè)圓盤組成的并集個(gè)圓盤組成的并集S（連通的連通的）與其余與其余（1）A的每一個(gè)特征值必屬于下述某個(gè)圓盤之中的每一個(gè)特征值必屬于下述某個(gè)圓盤之中，n m個(gè)圓盤不連接個(gè)圓盤不連接，則

4、則S內(nèi)恰包含內(nèi)恰包含m個(gè)個(gè)A的特征值的特征值。 第8頁(yè)，共38頁(yè)。 關(guān)于計(jì)算矩陣關(guān)于計(jì)算矩陣A的特征值問(wèn)題，當(dāng)?shù)奶卣髦祮?wèn)題，當(dāng)n2,3時(shí)，我們還時(shí)，我們還可按行列式展開的辦法求可按行列式展開的辦法求 ()=0的根的根. 但當(dāng)?shù)?dāng)n較大時(shí)，如較大時(shí)，如果按展開行列式的辦法，首先求出果按展開行列式的辦法，首先求出 ()的系數(shù)，再求的系數(shù)，再求 ()的的根，工作量就非常大，用這種辦法求矩陣的特征值是不根，工作量就非常大，用這種辦法求矩陣的特征值是不切實(shí)際的，由此需要研究切實(shí)際的，由此需要研究求求A的特征值及特征向量的數(shù)值解的特征值及特征向量的數(shù)值解法法. 本章將介紹一些計(jì)算機(jī)上常用的本章將介紹一些計(jì)

5、算機(jī)上常用的兩類方法兩類方法，一類是，一類是冪法及反冪法冪法及反冪法（迭代法），另一類是（迭代法），另一類是正交相似變換的方法正交相似變換的方法（變換法）（變換法）.第9頁(yè)，共38頁(yè)。定理定理6 設(shè)設(shè)A Rn n有完全特征向量系有完全特征向量系，若若 1, 2, n為為A的的n個(gè)特征值且滿足個(gè)特征值且滿足n21 對(duì)任取初始向量對(duì)任取初始向量x(0) Rn，對(duì)乘冪公式對(duì)乘冪公式)1()( kkAxx確定的迭代序列確定的迭代序列xk，有下述結(jié)論有下述結(jié)論： 8.2.2乘冪法第10頁(yè)，共38頁(yè)。（1）當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)i = 1, 2, , n211)()1(lim kikikxx收斂速度取決于收斂速

6、度取決于 的程度的程度，r 2 n ，且，且 | 2 | | n |。取取 0（常數(shù)），用矩陣（常數(shù)），用矩陣B = A - 0I 來(lái)代替來(lái)代替A進(jìn)行乘冪迭代。進(jìn)行乘冪迭代。0 ii (i = 1, 2, , n)iiiiiivvAvvIABv)()(000 設(shè)設(shè) i (i = 1, 2, , n)為矩陣為矩陣B B 的特征值，則的特征值，則B與與A特征值之間特征值之間應(yīng)有關(guān)系式：應(yīng)有關(guān)系式：第16頁(yè)，共38頁(yè)。關(guān)于矩陣關(guān)于矩陣B的乘冪公式為的乘冪公式為 )0(0)0()()(xIAxBxkkk 為加快收斂速度，適當(dāng)選擇參數(shù)為加快收斂速度，適當(dāng)選擇參數(shù) 0，使使kjnj01020max)( 達(dá)

7、到最小值。達(dá)到最小值。 jjnjjkvv201021101)( jkjnjjkvv12111 第17頁(yè)，共38頁(yè)。當(dāng)當(dāng) i (i = 1, 2, , n)為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且 1 2 n時(shí)，取時(shí)，取)(212*0n 則為則為 ( 0) 的極小值點(diǎn)。這時(shí)的極小值點(diǎn)。這時(shí)122122122*01*02221212121 nnnn第18頁(yè)，共38頁(yè)。若若 A 有有| 1 | | 2 | | n |，則，則 A 1 有有11111 nnA 1 的主特征根的主特征根 A的絕對(duì)值最小的特征根的絕對(duì)值最小的特征根)()1(kkxAx )(1)1(kkxAx 如何計(jì)算如何計(jì)算解線性方程組解線性方程組對(duì)應(yīng)同樣一

8、組特征向量。對(duì)應(yīng)同樣一組特征向量。設(shè)設(shè)A Rn n可逆，則無(wú)零特征值，由可逆，則無(wú)零特征值，由)0( xxAx 有有 xxA 11 8.2.3 反冪法第19頁(yè)，共38頁(yè)。規(guī)范化反冪法公式為規(guī)范化反冪法公式為 ), 1, 0()max()()1()()()(kyAxxxykkkkk如果考慮到利用原點(diǎn)移位加速的反冪法，則記如果考慮到利用原點(diǎn)移位加速的反冪法，則記B = A - 0I，對(duì)任取初始向量對(duì)任取初始向量x(0) Rn， ), 1, 0()max()()1()()()(kyBxxxykkkkk第20頁(yè)，共38頁(yè)。斯密特斯密特（Schmidt）正交化過(guò)程：正交化過(guò)程： 設(shè)設(shè) 1， 2， 3 為

9、為R3上的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，上的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，令令 ，則，則 1為單位長(zhǎng)度的向量，再令為單位長(zhǎng)度的向量，再令2111222211222,),( 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證（ 1, 2）= 0，即，即 1與與 2正交。若令正交。若令22311333),(),( 則則0),(),(2313 8.2.4 QR方法基礎(chǔ)第21頁(yè)，共38頁(yè)。2333 即與即與 1, 2正交，將其單位化為正交，將其單位化為于是向量組于是向量組 1, 2, 3構(gòu)成構(gòu)成R3上一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且上一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且232322131221321321),(),(),(,QR其中其中Q = 1, 2, 3為正交矩陣，為正交矩陣，R是

10、上三角陣。是上三角陣。第22頁(yè)，共38頁(yè)。對(duì)對(duì)n維向量空間，設(shè)維向量空間，設(shè) 1, , n為為Rn上上n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，類似有類似有11 2111 11222),( 2222 22311333),(),( 2333 jjnnjnn ),(11 2nnn 第23頁(yè)，共38頁(yè)。 232322322113122111),(),(),(),(),(),(,nnnnnn 即即QR Q為正交陣為正交陣，R 為上三角陣為上三角陣第24頁(yè)，共38頁(yè)。將將n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量變換為個(gè)線性無(wú)關(guān)向量變換為n個(gè)兩兩正交向量的方法稱為個(gè)兩兩正交向量的方法稱為 斯密特正交化方法。斯密特正交化方法。斯密特正

11、交化過(guò)程將可逆陣斯密特正交化過(guò)程將可逆陣A分解為正交陣與上三角陣的乘積。分解為正交陣與上三角陣的乘積。第25頁(yè)，共38頁(yè)。5.4 對(duì)稱矩陣的雅克比對(duì)稱矩陣的雅克比 (Jacobi) 旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法 1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1）若若B是上（或下）三角陣或?qū)顷嚕巧希ɑ蛳拢┤顷嚮驅(qū)顷?，則則B的主對(duì)角元素即是的主對(duì)角元素即是B的特征值的特征值。2）若矩陣若矩陣P滿足滿足PTP = I，則稱則稱P為正交矩陣為正交矩陣。顯然顯然PT = P-1，且且P1, P2, 是正交陣是正交陣時(shí)時(shí)，其乘積其乘積P = P1P2Pk仍為正交矩陣仍為正交矩陣。第26頁(yè)，共38頁(yè)。3）稱矩陣稱矩陣jiPij11cossin

12、11sincos11為旋轉(zhuǎn)矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣 第27頁(yè)，共38頁(yè)。2雅克比方法雅克比方法設(shè)矩陣設(shè)矩陣A Rn n是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣，記記A0 = A，對(duì)對(duì)A作一系列旋轉(zhuǎn)作一系列旋轉(zhuǎn)相似變換相似變換), 2, 1(1 kPAPATkkkk其中其中Ak (k = 1, 2,)仍是對(duì)稱矩陣仍是對(duì)稱矩陣，Pk的形式的形式第28頁(yè)，共38頁(yè)。 jiPk11cossin11sincos11 第29頁(yè)，共38頁(yè)。)()()()(kijkijkjjkiipppp sin cos)()()()( kqpkpqkqqkppppppqpjippkijkii,01)()( Pk是一個(gè)正交陣是一個(gè)正交陣，我們稱它是我們稱

13、它是（i, j）平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣 PkAk-1Pk只改變只改變A的第的第i行行、j行行、i列列、j列的元素列的元素；Ak和和Ak-1的元素僅在第的元素僅在第P行（列）和第行（列）和第q行（列）不同行（列）不同，它們之間有如下的關(guān)系它們之間有如下的關(guān)系：第30頁(yè)，共38頁(yè)。qpiaaaaaaaakqikiqkipkiqkpikiqkipkip,cossinsincos)()1()1()()()1()1()( )sin(coscossincoscossin2sinsincossin2cos22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(2)1()1(2)1()( kpqkqqk

14、ppkpqkqqkpqkppkqqkqqkpqkppkppaaaaaaaaaaaa第31頁(yè)，共38頁(yè)。我們選取我們選取Pk，使得使得 ，因此需使因此需使 滿足滿足0)(kpqa)1()1()1(22tg kqqkppkpqaaa 將將 限制在下列范圍內(nèi)限制在下列范圍內(nèi)44 如果如果 0)1()1( kqqkppaa0)1( kpqa4 0)1( kpqa4 第32頁(yè)，共38頁(yè)。直接從三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算直接從三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算sin 和和cos ，記，記)1()1()1()1()1(2sinkijkjjkiikjikiiaaaxaay則則yx2tg當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有下面三角恒等式：時(shí)，有下面三角恒等式

15、：422222tg112cos1cos2yxy第33頁(yè)，共38頁(yè)。于是于是 2221cos2yxy采用下面公式計(jì)算采用下面公式計(jì)算 sin 222cos2tgcossin22sinyxx第34頁(yè)，共38頁(yè)。特征向量特征向量的的計(jì)算計(jì)算P0 = ITkkkPPP1qpjPPPPPPPPkijkijkiqkipkiqkiqkipkip,cossinsincos)1()()1()1()()1()1()(記記則則 Pk 的元素為的元素為：第35頁(yè)，共38頁(yè)。算法：算法： 1從從A(k-1)中找出絕對(duì)值最大元素中找出絕對(duì)值最大元素qpakqp,)1(,2若若 ，則為對(duì)角陣，停則為對(duì)角陣，停 )1(kpqa ) 1(kpqa若若 )1()1