數(shù)學(xué)建模實習(xí)

1、一、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型1 問題的提出某企業(yè)將鋁加工成A,B兩種鋁型材，每5噸鋁原料就能在甲設(shè)備上用12小時加工成3噸A型材，每噸A獲利2400元，或者在乙設(shè)備上用8小時加工成4噸B型材，每噸B獲利1600元。現(xiàn)在加工廠每天最多能得到250噸鋁原料，每天工人的總工作時間不能超過為480小時，并且甲種設(shè)備每天至多能加工100噸A，乙設(shè)備的加工能力沒有限制。 （1）請為該企業(yè)制定一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大。 （2）若用1000元可買到1噸鋁原料，是否應(yīng)該做這項投資？若投資，每天最多購買多少噸鋁原料？ （3）如果可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給工人的工資最多是每小時幾元？ （4）如果每噸A型材的獲利增

2、加到3000元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？2 問題分析與假設(shè)2.1問題分析我們?yōu)樵撈髽I(yè)制定的生產(chǎn)計劃要使得每天獲利最大，也就是也就是要確定分別用多少噸鋁原料分配給甲、乙設(shè)備使得總利潤最大，因此分配給甲、乙設(shè)備鋁材料的噸數(shù)就是我們這次線性規(guī)劃的決策變量，由此就確定了獲利的目標函數(shù)。同時目標函數(shù)又要滿足一些約束條件，如每天最多能得到250噸鋁原料、每天工人的總工作時間不能超過為480小時、甲種設(shè)備每天至多能加工100噸A，由此可以建立求解利潤最大化的數(shù)學(xué)模型。對于問題2,3上，僅僅改變相關(guān)參數(shù)，就可以的到最優(yōu)解所得到最大值的變化，也就是所謂的影子價格，通過與影子價格比較，制定相應(yīng)的策略。對于問題4可以從兩

3、個角度進行分析，一種直接改變參數(shù)，觀察最優(yōu)解是否變化，另外一種是對其進行靈敏度分析，觀察其系數(shù)是否落在取值范圍內(nèi)。2.2問題假設(shè)1假設(shè)加工A,B型材的鋁原料數(shù)是滿足鋁原料供應(yīng)的非負實數(shù)；2. 假設(shè)是在完全市場經(jīng)濟的情形下，進行問題分析的3假設(shè)A，B 型材每噸的獲利是與產(chǎn)量，所用時間是相互獨立的，即兩兩之間是沒有關(guān)系的。這三條假設(shè)是進行線性規(guī)劃，影子價格分析的基礎(chǔ)3 模型建立在模型建立之前，我們先給出如下記號：分配給甲設(shè)備個5噸鋁材料：分配給乙設(shè)備個5噸鋁材料：每天的生產(chǎn)獲利現(xiàn)在我們建立數(shù)學(xué)模型各給甲、乙分配5噸原材料的情況下，原材料的生產(chǎn)能力、消耗時間、獲利之間的關(guān)系如下表：甲設(shè)備消耗5噸鋁材

4、料/甲設(shè)備消耗5噸鋁材料/所用時間128產(chǎn)量3噸A產(chǎn)品4噸B產(chǎn)品獲利32400=720041600=6400由于5噸產(chǎn)品給甲設(shè)備生產(chǎn)，能夠得到3噸A產(chǎn)品，能夠獲利7200元，并且5噸產(chǎn)品給乙設(shè)備生產(chǎn)，能夠得到4噸B產(chǎn)品，能夠獲利6400元，則建立目標函數(shù)并且由于1）加工廠每天最多能得到250噸鋁原料，2）每天工人的總工作時間不能超過為480小時，并且3）甲種設(shè)備每天至多能加工100噸A，乙設(shè)備的加工能力沒有限制，同時應(yīng)滿足非負約束，則其應(yīng)滿足約束條件：4 模型求解4.1問題1求解根據(jù)建立的模型，我們可以知道，我們利用Matlab來進行求解，將問題極小化以便處理，即，則當時的最優(yōu)解時，也就是的最

5、有解，進而將問題轉(zhuǎn)化為： 解得那么此時最優(yōu)解是，即分配給甲100噸，分配給乙150噸，此時獲得最大利潤萬元。4.2問題的進一步求解42.1若用1000元可買到1噸鋁原料，即加工廠每天最多能得到251噸鋁原料，則可以原問題轉(zhuǎn)化為此時最優(yōu)解并且，則，利潤相比增加了960 1000。那么此時說明不應(yīng)該做這項投資。其實這960元就是鋁材料的影子價格，在完全市場經(jīng)濟的條件下，由于該資源的價格高于影子價格，則此時企業(yè)應(yīng)當賣掉該資源，而不是擴大生產(chǎn)。同樣對于問題3，當工時增加1小時，企業(yè)能夠獲得多獲得大的利益，同樣這也是工人工資的影子價格，和上述方法類似計算得到工人的影子價格是200元，即付給工人的工資最多

6、不能超過200元，否則還不如不要這個工人所帶來的收益更大。對于問題4，當A產(chǎn)品的獲利變?yōu)槊繃崬?000元時，改變相關(guān)參數(shù)，與上述3個問題類似，我么可以得到最優(yōu)解仍是，并且我們求得元。所以不需要改變生產(chǎn)計劃。接下來進行參數(shù)的靈敏度分析，使用LINGO11軟件進行靈敏度分析較好，所以在這使用了這個軟件進行分析，軟件運行截圖如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X

7、1 7200.000 2400.0000 800.0000 X2 6400.000 800.0000 1600.0000Righthand Side Ranges Row Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease STUFF 250.0000 50.00000 33.33333 TIME 480.0000 53.33333 80.00000CAPACITY 100.0000 INFINITY 40.00000得到的取值范圍，得到的取值范圍，在這樣的取值范圍內(nèi)，最優(yōu)解不改變。顯然問題4求解的9000就落在取值范圍，從這角度也驗證了此時最優(yōu)解

8、不改變。鋁原料最多可增加50噸，勞動時間最多可增加53.3h，在這些取值范圍內(nèi)，進行影子價格的討論才是有意義的。5 模型評價該模型是在在完全市場經(jīng)濟的情形下，假設(shè)A，B 型材每噸的獲利是與產(chǎn)量，所用時間相互獨立的情況下，建立線性規(guī)劃模型，前者是影子價格分析的前提，后者是線性的模型。對于問題1,2,3，筆者都是利用matlab分析的，matlab進行求最優(yōu)解和影子價格的求解還是很方便的，但是不適合對于參數(shù)的敏感性的分析，這里筆者采用了lingo軟件，得到內(nèi)容豐富的輸出，雖然輸出的內(nèi)容很多，這里筆者僅僅使用了一部分筆者關(guān)心的數(shù)據(jù)，事實上lingo是解決線性規(guī)劃問題很好的軟件，這對于未來解決實際問題

9、也是十分有用的。6 模型推廣與優(yōu)化該模型是個簡單的線性規(guī)劃問題，運用了單純形法、對偶問題、影子價格等問題，事實上該模型不僅適應(yīng)與生產(chǎn)計劃的制定，同時也可以應(yīng)用于市場銷售、庫存管理、運輸問題等領(lǐng)域，此外還有合理下料、配料問題、物料管理等方面，分析方法、建模方法都是類似的。由于該模型僅僅適應(yīng)線性規(guī)劃，實際上，我們還可以引進正負偏差量等，將線性規(guī)劃變?yōu)槟繕艘?guī)劃，這就能夠適應(yīng)更多的情形，而這些引進都是當市場條件改變的時候才發(fā)生改變。7 程序附錄一8 參考文獻1運籌學(xué) 甘應(yīng)愛、田豐等 清華大學(xué)出版社 背景 20052數(shù)學(xué)建模案例分析 白其崢 海洋出版社 2000年 北京3數(shù)學(xué)實驗初步 肖海軍 科學(xué)出版社

10、 2007 北京二、魚的捕撈問題1問題提出作為魚塘的管理者來說，在相同的初始魚苗量的情況下，養(yǎng)殖費基本是固定的，但是經(jīng)濟效益會隨著捕撈策略的改變而改變，那么采取何種捕撈策略，就會使得在固定的投入下，產(chǎn)生更大的效益呢？捕撈問題就是在這樣的背景下產(chǎn)生的。1.1在魚塘中投放尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加。設(shè)尾數(shù)的(相對)減少率為常數(shù);由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與質(zhì)量本身成正比。分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解。1.2用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量表示，記作E，即單位時間捕

11、獲量是E。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大。2問題的分析與假設(shè)2.1分析魚的捕撈策略會受到很多因素的影響，如氣候、水溫、天敵、中間斗爭等因素都在影響捕撈策略的制定，但是這些因素都不是主要的，主要因素還是捕撈能力及捕撈時機這兩個。我們在建模的過程中，沒有必要考慮所有的因素，只要抓住主要的、關(guān)鍵的因素做出合理的假設(shè)，我們這個模型就是在抓住主要因素，忽略次要因素的基礎(chǔ)上建立起來的。對于問題1.1，在不考慮捕撈的情況下，魚的尾數(shù)的(相對)減少率為常數(shù)，初始尾魚苗，那么可以依據(jù)此條件建立起微分方程，通過求解可以得到魚的尾數(shù)關(guān)于的函數(shù)表達式。由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，并且

12、消耗引起的每尾魚重量的減少率與質(zhì)量本身成正比，這樣我們就可以建立魚重量的變化率和質(zhì)量以及表面積的關(guān)系，同時我們又知道質(zhì)量與表面積也存在一定的關(guān)系，這是由于質(zhì)量與體積成正比（我們在這里假設(shè)魚的密度是一個常數(shù)），并且我們在假設(shè)魚是橢球體的情況下，魚的體積與表面積存在某種固定關(guān)系，通過這些關(guān)系，我們可以建立魚質(zhì)量的變化率和魚質(zhì)量間的函數(shù)關(guān)系，通過取極限，我們就可以得到關(guān)于魚重的微分方程。通過求解我們就可以的到魚的重量與的關(guān)系。對于問題1.2，在有捕撈也有自然死亡的情況下，尾數(shù)的相對減少量不僅與魚的自然死亡有關(guān)，還與捕撈能力有關(guān)，我們先假設(shè)捕撈能力為一常數(shù)，從而可以建立起微分方程，求得通過求解可以得到

13、魚的尾數(shù)關(guān)于的函數(shù)表達式。同時對于捕撈量，要使得從T開始的捕獲量最大，那么就要達到最大值，那么如何求得T，將是后面建模將要解決的問題。2.2假設(shè)在建立模型之前，我們要進行合理的假設(shè)：2.2.1 假設(shè)魚的尾數(shù)是關(guān)于的連續(xù)可微函數(shù)2.2.2 假設(shè)魚的重量是關(guān)于的連續(xù)可微函數(shù)2.2.3 假設(shè)魚的密度是一個常數(shù)2.2.4 假設(shè)魚是橢球體的，三個方向上的半徑分別是在不考慮捕撈的情況下，魚的尾數(shù)的(相對)減少率為常數(shù)喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比,比例為消耗引起的每尾魚重量的減少率與質(zhì)量本身成正比，比例為魚的尾數(shù)的減少僅自然死亡和捕撈有關(guān)，排除其他因素，如天敵、氣候、環(huán)境污染、種內(nèi)斗爭等因

14、素3模型的建立3.1在模型建立之前，我們先在這里給出相應(yīng)的記號： 魚的尾數(shù) 魚的質(zhì)量 魚的尾數(shù)的(相對)減少率為常數(shù) 魚的初始質(zhì)量 喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比的比例系數(shù) 消耗引起的每尾魚重量的減少率與質(zhì)量本身成正比的比例系數(shù)魚是橢球體的，三個方向上的半徑分別是 魚的密度是一個常數(shù) 魚的體積 魚的表面積 總的捕撈量 捕撈能力 捕撈時機3.2無捕撈情況下，建立尾數(shù)的微分方程模型在魚塘中投放尾魚苗，魚的尾數(shù)的(相對)減少率為常數(shù)為則 并且兩邊令有 很容易解得該方程的解為該模型符合魚尾數(shù)是逐漸減少情形3.3 建立魚重與的時間關(guān)系首先我們知道由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面

15、積成正比，比例系數(shù)為。由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與質(zhì)量本身成正比，比例系數(shù)為，則兩邊同時令，得到 , 現(xiàn)在我們來建立由于由于目前對于橢球表面積并沒有確定的公式，在相差不大的情況下，這里僅給出一個近似公式則則，我們再令得到，3.4 建立捕撈量與捕撈時機之間的關(guān)系首先由于有捕撈的情況下，魚的尾數(shù)之間的微分方程關(guān)系就需要考慮捕撈量，并且由于單位時間捕獲量是E，則建立微分方程有： （）并且由于時刻后才有捕撈，則很容易求得該微分方程的解為 （）又對于捕撈量，要使得從T開始的捕獲量最大，那么就要達到最大值則通過代入有捕撈量時的，并代入質(zhì)量，就可以得到的具體表達式。4模型的求解4.1求解無捕撈情況下，

16、建立尾數(shù)的微分方程在無捕撈的情形下，之前已經(jīng)求得，現(xiàn)在我們要對這個參數(shù)進行合理的討論，通過Matlab作圖進行分析在不同的參數(shù)下尾數(shù)關(guān)于的大致走勢，這里應(yīng)用這4個進行分析，做出圖形。（程序附錄2）顯然根據(jù)實際情況，是一個接近與0較小的數(shù)，否則養(yǎng)殖者將無法盈利，當大于1的情況在現(xiàn)實生活中也有可能出現(xiàn)，比如出現(xiàn)大規(guī)模的病害，或者天敵的入侵，這都是我們所不需要討論的極端情況，我們只是針對一般情況作出討論，所以是一個較小的數(shù)。4.2求解魚重與的微分方程由之前建立好的微分方程，有 該方程利用變量分離的辦法，很容易求出其解，筆者在這里利用Matlab來進行求解。（程序見附錄2）程序求解為(b + 1/ex

17、p(c*(C3 + t)/3)3/c3，代入初值化簡可以得到如下：,由于隨著的增大而增大，關(guān)于是遞減函數(shù)，則要求是遞增函數(shù)，則要求，這也是說明滿足該式是魚的固有屬性。4.3求解捕撈量與捕撈時機由于捕撈量其中，有捕撈的情況下，并且則由于是實際問題存在，并且與無關(guān)，僅與有關(guān)我們不妨設(shè)其值為，為一常數(shù)則我們利用這個積分公式可以將轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€關(guān)于，的函數(shù)，里面將不含積分，由于沒有具體數(shù)據(jù)，這里給出具體的函數(shù)也是沒有多大意義的，但是很容易通過計算是知道這個函數(shù)的具體的表達式的，我們不妨設(shè)其為則這就是關(guān)于，的二元函數(shù)，通過對二元函數(shù)求極值的方法，我們就可以確定最佳的,使得達到最大，我們剛開始是假設(shè)為一常數(shù)，

18、那是為了更方便的建立方程，后來我們可以看到實際上是一個獨立的參數(shù)，建立起了關(guān)于，的函數(shù)，由于問題的規(guī)模已經(jīng)超出了筆者的能力，這里僅僅是提出一個思路，具體的求解有待未來知識儲備加深后進行進一步的突破。5模型評價該模型將魚的體積簡化成為一個橢球體，以此為基礎(chǔ)建立起了和之間的關(guān)系，這是該模型的出發(fā)點，并且假設(shè)魚的質(zhì)量是分布均勻的，并想從網(wǎng)上找到魚的密度等相關(guān)參數(shù)，發(fā)現(xiàn)沒有前人對其具體測量過，這需要我們在對具體養(yǎng)殖的時候要測出該魚種類的密度等參數(shù)，將余簡化為橢球體方便我們建立起微分方程，事實上這樣的假設(shè)也是十分合理的。但是我們這個模型并沒有給出合適的捕撈時機和捕撈能力，一方面是由于條件的限制，相關(guān)參數(shù)，具體數(shù)據(jù)缺乏，另一方面也是筆者能力有限，雖知道無窮積分的存在性，但是卻無法通過已學(xué)知識給出具體的表達式，這也是本次建模不足的地方，未來將在這個地方予以突破。6 模型的推廣與改進該模型雖然是建立對魚的捕撈的基礎(chǔ)上的，但是由于水產(chǎn)品生長機理相似性，我們可以將其推廣到蝦，黃鱔等捕撈問題上，比如當蝦時，我們可以將蝦簡化為一個長方體，將黃鱔假定為一個圓柱體等等。并且我們這次建模僅僅考慮捕撈，而沒有考慮養(yǎng)殖，繁殖等因素，若引入這兩種因素，就會使得問題的規(guī)模變得更復(fù)雜，需要利