[高三數(shù)學(xué)]小升初幾何題

1、主動(dòng)學(xué)習(xí)網(wǎng)理念：激發(fā)興趣，挖掘潛力，培優(yōu)教育 網(wǎng)址： 09年寒假小升初總復(fù)習(xí)-答案版小升初總復(fù)習(xí) 幾何專題典型例題【例1】【分析與解】(1)用標(biāo)數(shù)法得0+1+2+3+9=45，或者排列組合法（2）因?yàn)锳OB內(nèi)角分線OC1、OC2OC9共有9條，即9+1=10個(gè)基本角.總共有角：10+9+2+1=55（個(gè)）.（3）要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個(gè)分點(diǎn)，各分成3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個(gè)分點(diǎn)，各分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（條）.要數(shù)有多少個(gè)三角形，

2、先看在AGH中，在GH上有3個(gè)分點(diǎn)，分成基本小三角形有4個(gè).所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個(gè)）.在AMN與ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在ABC中三角形個(gè)數(shù)總共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（個(gè)）.(4)AB邊上的線段有：5+4+3+2+1=15. BC邊上的線段有：3+2+1=6. 長(zhǎng)方形：15×6=90(個(gè)),含的長(zhǎng)方形有2×2×2×4=32（個(gè)）(上下左右的線段數(shù)相乘)(5)長(zhǎng)寬高三個(gè)方向線段數(shù)相乘,分別為=1680（個(gè)）含的長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)2×6×2×3×1&#

3、215;3=216(個(gè)) (上下左右前后的線段數(shù)相乘)（6）幾何中的線、面、體計(jì)數(shù)問題常用組合知識(shí)，任意兩點(diǎn)可以組成一線段，任意兩線段可以組成一矩形，任意三線段可組成一個(gè)立方體?！驹u(píng)析】 在幾何計(jì)數(shù)當(dāng)中也用到了很多排列組合的方法【拓展】【分析與解】若周角中含有n個(gè)基本角，那么它上面角的總數(shù)是 n（n-1）+1.所以為111.【例2】【分析與解】長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)：(個(gè))為敘述方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位，又稱為基本線段，圖中共有五類正方形.以一條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有： 6×5=30（個(gè)）.以二條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有： 5×4=20（個(gè)）.以三條基本線

4、段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有： 4×3=12（個(gè)）.以四條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有： 3×2=6（個(gè)）.以五條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有： 2×1=2（個(gè)）.所以，正方形總數(shù)為：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（個(gè)）.【評(píng)析】若一長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成m等份，寬被分成n等份，（長(zhǎng)和寬上的每一份是相等的）那么正方形的總數(shù)為（nm）：mn+(m-1)(n-1)+（m-2）（n-2）+（m-n+1）·1【例3】【分析與解】分析圖中有若干個(gè)大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適

5、合分類來數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個(gè)？根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：.與ABE相同的三角形共有5個(gè)；.與ABP相同的三角形共有10個(gè)；.與ABF相同的三角形共有5個(gè)；.與AFP相同的三角形共有5個(gè)；.與ACD相同的三角形共有5個(gè)；.與AGD相同的三角形共有5個(gè)；所以圖中共有三角形5+10+5+5+5+5=35（個(gè)）。【例4】【分析與解】利用圖形的對(duì)稱性，可得出以下剪拼方法：【例5】【分析與解】從A出發(fā)的第一步共有6條路線，每條線有9種方案，共54種方法。【例6】【分析與解】應(yīng)用標(biāo)數(shù)法，可得A到B有10種，B到C有3種，所以A經(jīng)過B到C有3×10=

6、30 種。B處不能走，則B處標(biāo)0，由標(biāo)數(shù)法可得26【例7】【分析與解】教師要幫助學(xué)生理解三天路線有什么不同？每天的路線有無限制條件？若有，是什么？仍然用對(duì)角線法求解第一天（無限制條件）共有16條；第二天（必須經(jīng)過公園）共有8 條；第三天（必須不經(jīng)過公園）共有8條【例8】【分析與解】(1)設(shè)登上n級(jí)樓梯共有an種不同走法，n1，2，.把上到第n級(jí)樓梯的情形分為兩種走法.一類是先上到第n-1級(jí)樓梯，然后再上一級(jí)，共有an-1種走法.另一類是先上到第n-2級(jí)樓梯，然后再上兩級(jí)，共有an-2種走法.由加法原理，上到第n級(jí)樓梯的走法an滿足下列遞推關(guān)系式：an=an-1an-2。又a1=1，a2=2，故

7、上樓梯方法數(shù)an依次為1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.上到第12級(jí)樓梯共有233種不同走法。(2)如果一次可以走1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)則依次為1,2,4,7,13,24,，即前三數(shù)的為等于下一個(gè)數(shù)。(3)如果有一級(jí)壞，就標(biāo)0處理。【教師點(diǎn)評(píng)】上面的數(shù)列叫兔子數(shù)列，也叫斐波那契數(shù)列.【例9】【分析與解】為了便于理解，可以將本題轉(zhuǎn)化為：上16級(jí)樓梯，每次上2級(jí)或3級(jí)，共有多少種不同方法？如下圖所示，后一級(jí)的走法等于前2，前3級(jí)的走法數(shù)之和，最后得37.【補(bǔ)充】【分析與解】圖中只有E、D是奇點(diǎn)，從E或D出發(fā)可以不重復(fù)地走過每條棱，而從B點(diǎn)出發(fā)不可能不重復(fù)地過每一條棱再到

8、D，至少要多走一條棱，所以從E點(diǎn)出發(fā)的螞蟻獲勝圖中只有A與C兩個(gè)奇點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)的人可以不重復(fù)地走遍每一條路從B點(diǎn)出發(fā)的人至少有一條路要重復(fù)走又兩人速度相同，所以從E點(diǎn)出發(fā)的人快【補(bǔ)充】【考點(diǎn)分析】一筆畫問題，三年級(jí)，四年級(jí)，五年級(jí)，六年級(jí)【分析與解】(方法2)胡先友老師推薦方法：8個(gè)奇點(diǎn)，要8÷2=4筆才能畫成。其中3筆最少畫3條4分米的線段，所以它最多爬過的距離為(456)×4-3×4=48分米?！驹u(píng)析】一筆畫問題三大結(jié)論的應(yīng)用?！狙a(bǔ)充】【分析】一層：周長(zhǎng)=（2012)×2二層：三層：周長(zhǎng)=（3×20+3×12）×2依此

9、類推，擺好十二層后周長(zhǎng)為(12×20+12×12）×2【解】（12×20+12×12)×2=768（厘米）答：擺好后圖形的周長(zhǎng)是768厘米【例10】分別求出圖中各圖形的面積（的面積為2）求下右圖ABC的面積（的面積為3） 【解】(方法一：圖形分割法)圖分解成1個(gè)梯形1個(gè)正方形圖的面積=梯形面積正方形面積=（1+3）×1÷2+1=3，3×2=6圖分解成4個(gè)小三角形，2個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)平行四邊形圖的面積=三角形面積長(zhǎng)方形面積十平行四邊形面積=2+8+1=11,11×2=22圖分解成4個(gè)小三角形，1個(gè)長(zhǎng)

10、方形和1個(gè)平行四邊形圖的面積=三角形面積長(zhǎng)方形面積平行四邊形面積=2+3+1=6,6×2=12圖的面積(4÷2+4-1)×6=30(方法二：公式法)【小結(jié)】頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的多邊形叫格點(diǎn)多邊形，有正方形格點(diǎn)多邊形和三角形格點(diǎn)多邊形。求格點(diǎn)多邊形面積可以統(tǒng)一用：，表示最小的平行四邊形的面積。(記憶提示：邊2內(nèi)1。媽媽配在兒子旁邊學(xué)奧數(shù)的格點(diǎn)面積，好累咽)【例11】【分析與解】連結(jié)AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEFSABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1【評(píng)析】同時(shí)加一塊在

11、面積計(jì)算中的應(yīng)用?；蚨颊f梯形蝴蝶定理中雙腰相等結(jié)論的應(yīng)用。【例12】【解】ADBEEC=869，=, -=-，=10，=40【例13】【分析與解】 方法一：因?yàn)镃EFG的邊長(zhǎng)題中未給出，顯然陰影部分的面積與其有關(guān)設(shè)正方形CEFG的邊長(zhǎng)為x，有：又陰影部分的面積為:(平方厘米).方法二：連接FC，有FC平行與DB，則四邊形BCFD為梯形（梯形蝴蝶定理中兩腰相等） 有DFB、DBC共底DB，等高，所以這兩個(gè)三角形的面積相等，顯然,DBC的面積(平方厘米)陰影部分DFB的面積為50平方厘米【拓展】【分析與解】（方法一）兩塊陰影部分的面積相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG

12、和三角形AMB同高，所以SBAG=SABM=××1÷2=，所以陰影面積為×2=（方法二）利用梯形蝴蝶定理，設(shè)AMG的面積為X，則BCG面積為4X，BGA的面積=MCG的面積=2X，陰影面積=(1-1×0.5÷2)÷9×4=1/3【補(bǔ)充】【分析與解】在ABB與ABC中，ABB+ABC=180°因?yàn)?AB=AA，所以AB=2AB，又因?yàn)锽B=BC，所以SABB=1×2×SABC=2SABC=2同理SBCC=2×1×SABC=2SACA=2×1×SAB

13、C=2所以SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7?！狙a(bǔ)充】【分析與解】連結(jié)AG、CG，如圖所示， AF=EC，有SAGF=SCGE，又ED=BG，有SAED=SABG,且 SCDE=SBCG，由此可見：EFG的三個(gè)部分中SABG補(bǔ)到了SEAD，SAFG補(bǔ)到了SCEG之后，又將其中的SBCG補(bǔ)到了SCDE而SAEG的位置不變，由此一來相當(dāng)于將EFG等積變形到了四邊形ABCD，兩者面積相同，即：SEFG=1【評(píng)析】見到線段相等或者成倍數(shù)關(guān)系，應(yīng)該立刻想到“線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系”?！纠?4】【解】 連結(jié)對(duì)角線AE(如圖)，三角形AEC的面積16÷24=4 因

14、為ACF與AEC有相同的高線AF，且它們的面積都等于4，所以CF=CE同理，ABE的面積是16÷235，所以BD/BE=3/5，即BE=5/8DE=5/8AF又因?yàn)锽CE與ACF有相等的高(CE=CF)，故BCE的面積是ACF面積的5/8，即為 4×5/8=2.5從而ABC的面積等于16(3+4+2.5)=6.5【點(diǎn)評(píng)】本題還可以從長(zhǎng)方形的寬一定，通過面積比確定長(zhǎng)的比。如圖，DBBE=長(zhǎng)方形ADBM長(zhǎng)方形MBFE=（3×2）（16-3×2）=35，所以長(zhǎng)方形OBEC的面積=長(zhǎng)方形NDEC的面積×=（16-4×2）×=5所以三

15、角形BCE的面積為5÷2=2.5，所以三角形ABC的面積為16(3+4+2.5)=6.5【例15】【分析與解】陰影面積=R2-r2=50，環(huán)形面積=（R2-r2）=50=157【例16】【分析與解】從圖中可以看出PBC和ABC是同底的兩個(gè)三角形，它們的面積之比等于它們對(duì)應(yīng)高的比，所以同理可得，所以。又，因此【例17】 【分析】 題目中給出的已知條件都是邊的倍比關(guān)系，其余的條件中只有一個(gè)三角形ABC 的面積已知，要想辦法使已知條件能夠相互關(guān)聯(lián)，使邊的倍比關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為面積之比?！痉治雠c解】 連結(jié)AE 、BF 、CD 如下圖所示由EB2BC ，得2 , 同理可得2 , 6, 3，所以12

16、3126318 . 【評(píng)析】 解題過程中通過連接AE、BF、CD，使題目中所給的邊的倍比關(guān)系可以構(gòu)造模型一相互關(guān)聯(lián)，再通過共高三角形面積與相應(yīng)底邊之間的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求解【例18】【分析與解】S陰影（S正方形ABCE+S半圓-SADE）÷2=32.125【拓展】【解】 解法1 ：下圖中，陰影面積整個(gè)面積一空白面積（正方形ABCD半圓）一（）（10×10×5×5×2一15×5÷2(515）×5÷251.75 . 解法2 ：下圖中一圓5×5 一××5×5 ，上面陰影面積三

17、角形APE 一15×5÷2 一5×5××5×5 , 下面陰影面積三角形QPF一10×5÷2 一（5×5 一××5×5）. 所以陰影面積（15×5÷2 一5×5××5×5）（10×5÷2一5×5十××5×5）51. 75, 解法3 ：下圖中，半葉形圓一小正方形××5×5一×5×5 上面陰影面積三角形ADP10&

18、#215;5÷2××5×5×5×5下面陰影面積三角形QPC5×5÷2××5×5×5×5陰影面積（10×5÷2××5×5 一×5×5）（5×5÷2×5×5一×5×5）51.75 【評(píng)析】 陰影面積的“加減法”因?yàn)殛幱安糠置娣e不是正規(guī)圖形，所以通過整個(gè)面積減去空白部分面積來求解過P點(diǎn)向AB作垂線，這樣空白部分面積分成上面的三角形和下面的梯形面

19、積的“切割法”出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時(shí)，注意半葉形和圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾個(gè)我們會(huì)算的規(guī)則圖形【例19】【分析與解】連接BM， BE=AB/3 BD=CD, 【評(píng)析】用方程來解決比較復(fù)雜的幾何問題也不失為一個(gè)好方法。本題非常典型，常用方法x,y,并利用燕尾定理巧解此類總量。【例20】【分析與解】連接AF，如下圖，三角形ADF的面積用a表示，三角形AEF的面積用b表示。由燕尾定理可得：a÷2=(b+3)÷4,b÷3=(a+2)÷4,解得a=18/5，b=21/5，所以四邊形ADFE的面積為39/5?！靖郊宇}】【分析】 四邊形AFHG可以看做是由三角

20、形ABC 去掉三角形BEC 、三角形BFH 和三角形AGE得到的如何把三角形邊的倍比關(guān)系和要求的面積相聯(lián)系，是這道題的重點(diǎn)問題【解】為了強(qiáng)調(diào)相關(guān)部分，下面各幅圖去掉了部分不相關(guān)線段. 解法1 ：如右圖所示首先求出BFH的面積由已知可以得到3：1；而和的面積之和為1 , 于是可以得到×1；同樣的可以得到×1；而BF：AF1：3，AE：EC1 : 2 ，如果設(shè)x，y ，則3x；2y；于是有兩組等量關(guān)系式：3y3x,4xy；可列出方程組解得x；所以BFH 的面積為運(yùn)用類似的方法，再把BPH 的面積求出來如下圖，我們?cè)O(shè)a，b ，則2a, 4b； 于是有等量關(guān)系式ab,2a5b,可列

21、出方程組解得a，所以AGE；這樣，解法2 : 如下圖所示BH : HE：（）1：2,所以； 如下圖所示，同理得AG : GD5：8 ,所以，AG : GD5:(58)5:13,所以，【評(píng)析】解法l 通過找等量關(guān)系，列二元一次方程組分別解出 與的面積，解法比較自然。解法2 運(yùn)用到的考點(diǎn)比較多，但基本解題思路和解法1 相似，都是通過關(guān)系式得到答案，但解法2 在求及過程中運(yùn)用了線段比和三角形面積比之間的常用比例關(guān)系。求解過程簡(jiǎn)潔，計(jì)算也比較方便?！咀ⅰ盔B頭定理和蝴蝶定理的應(yīng)用可是重要考點(diǎn)?！纠?1】 【解】 設(shè)三角形以AB為底的高為h,FGAB=23; ED:FG=1:2 三角形OGF以GF為底的高

22、是h×=h;又三角形CFG以FG為底的高是h, 三角形OGF的面積三角形CGF的面積=hh=13;所以三角形CFG的面積=24×=18(平方厘米)而三角形CFG的面積占三角形ABC的（×=），所以三角形ABC的面積是18÷=40（平方厘米）?！驹u(píng)析】相似三角形面積、邊長(zhǎng)關(guān)系在小學(xué)競(jìng)賽與升學(xué)中也常常用到，如2007年的EMC，三帆考試，迎春杯，全國(guó)小奧?！纠?2】【分析與解】轉(zhuǎn)化為ABCD的面積比BCE的面積大20，20+20×16÷2=180,CF=180÷20=9【評(píng)析】凡是面積存在大小關(guān)系的題，必然是同時(shí)加上一塊或同時(shí)減

23、去一塊，變成面積可求的圖形?！纠?3】【分析與解】把BCF旋轉(zhuǎn)上去，BF與BE重合，轉(zhuǎn)化成等底同高的兩個(gè)三角形，所以BCF的面積為5.【評(píng)析】?jī)蓚€(gè)三角形，如有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，面積比等于此角兩邊邊長(zhǎng)積之比。【例24】【分析】 陰影部分為三角形，知道底邊為正方形邊長(zhǎng)的一半，只要求出高，便可解出面積【解】 畫FH垂直BC 于H；GI垂直BC 于I.根據(jù)相似三角形定理CG:CFCI：CH1：3又 CHHB , CI：CB1：6 ，即BI：CB（61）：65：6，. 【評(píng)析】利用三角形相似的性質(zhì)，求出三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系及長(zhǎng)度，從而確定陰影部分的面積【例25】 【分析與解】如圖：設(shè)上底為a,下底為2

24、a,梯形ABCD的高為h；所以×（a+2a）h=297,ah=198(平方厘米)作BHAD，則OF=（2a-a）×=a 所以EF=EO+OF=a+a=aAB：EF=a: a=3:5 EF:CD=a:2a=5:6 所以h1 =×=h h2 =×=h SEFM=×a×h=×××198=68.75(平方厘米)SEFN=×a×h=×××198=25（平方厘米） 陰影部分面積=68.75+25=93.75(平方厘米)【例26】【分析】 矩形被分割成9 個(gè)小矩形，馬上

25、可以聯(lián)想到矩形等積變形的兩個(gè)重要結(jié)論【 詳解過程】 矩形PFMD 中，矩形OHND 的面積等于2×4÷38÷3 , 矩形ABCD 中，矩形IBLH 的面積等于（l2）×（164）÷（8÷3）45÷2 , 所以矩形ABCD 的面積12416(8÷3)(45÷2) 289÷6 . 【評(píng)析】矩形對(duì)乘相等結(jié)論的應(yīng)用。【例27】【分析與解】從第一排與第二排看，五個(gè)小紙片的長(zhǎng)等于三個(gè)小紙片的長(zhǎng)加三個(gè)小紙片的寬，也就是二個(gè)小紙片的長(zhǎng)等于三個(gè)小紙片的寬已知小紙片的寬是12 厘米，于是小紙片的長(zhǎng)是12×

26、3 ÷2 = 18厘米，陰影部分是三個(gè)正方形，邊長(zhǎng)正好是小紙片的長(zhǎng)與寬的差1812 = 6 . 于是，陰影部分的面積是6×6×3=108 平方厘米【例28】【分析與解】比較大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，18=2號(hào)的邊長(zhǎng)+1號(hào)的邊長(zhǎng)，14=2號(hào)的邊長(zhǎng)+3號(hào)的邊長(zhǎng)，可知1號(hào)的邊長(zhǎng)比3號(hào)的邊長(zhǎng)多4。再由圖知，2的邊長(zhǎng)比3的邊長(zhǎng)多5的邊長(zhǎng)，1的邊長(zhǎng)比2的邊長(zhǎng)也多5的邊長(zhǎng)，所以1的邊長(zhǎng)比3的邊長(zhǎng)多2個(gè)5的邊長(zhǎng)。所以5的邊長(zhǎng)為4÷2=2，面積為4.【例29】【分析】 題目中陰影部分不規(guī)則但有邊的倍比關(guān)系，BEEC, CF2PD ，可以考慮將邊的倍比關(guān)系轉(zhuǎn)化為為面積之間的關(guān)系【解

27、】 解法l ：連接CG, CH, AC交BD于O. 如上（2）圖設(shè)a，根據(jù)燕尾定理得 , 有因?yàn)樗?， 所以4×（a2a)12a , a2.5a0.5a4a,12a4a8a.所以陰影面積與空白面積的比4a:8a1:2 . 解法2 ：設(shè)a ，則a, 2a. 設(shè)b ，則2b , 設(shè)x ，則x ，【評(píng)析】 連接CG , CA , CH ，構(gòu)造模型5，應(yīng)用燕尾定理，分別求出3 個(gè)陰影三角形面積，再求出平行四邊形ABCD 的面積，用四邊形面積減去3 個(gè)陰影三角形面積即為空白面積亦可得到陰影面積與空白部分的面積之比【例30】 【分析與解】玻璃杯中水的體積為80×8=640(立方厘米)

28、沒有變，放人長(zhǎng)方體鐵塊后水的底面積是8016=64(平方厘米)，用水的體積除以水的底面積就是水的高度。 解法一：80×8÷(80一16)=640÷64=10(厘米) 解法二：設(shè)水面上升了x厘米。根據(jù)上升部分的體積=浸人水中鐵塊的體積列方程為 80×x=16×(8+X) 解得X=2 所以8+2=10(厘米)【例31】【分析與解】設(shè)A、B每分鐘的注水量分別為,升（立方分米）“18分鐘后將整個(gè)水槽注滿水”得：18+18=60×120×80=57600(立方厘米)=576(升)(1)由題意還可得：，所以可得20=5+5,=3。則=8

29、，=24其實(shí)本題中的“18分鐘后將整個(gè)水槽注滿水”是多余的條件，與“9分鐘后右側(cè)水面和隔板一樣高”是重復(fù)的?！纠?2】【考點(diǎn)分析】歐拉定理，本題比較難，因?yàn)楹芏嗯嘤?xùn)班不講解，甚至很多教師也不了解此定理。三年級(jí)，四年級(jí)，五年級(jí)，六年級(jí)【分析與解】這個(gè)多面體中間一段是六棱柱，上面和下面一樣，都是由3個(gè)正方形和3個(gè)三角形相間斜立著，再由1個(gè)三角形連在一起。【評(píng)析】平面歐拉定理：面數(shù)（即區(qū)域數(shù)）+頂點(diǎn)數(shù)=邊數(shù)（棱數(shù)）+1 立面歐拉定理：面數(shù)（即區(qū)域數(shù)）+頂點(diǎn)數(shù)=邊數(shù)（棱數(shù)）+2【補(bǔ)充】【考點(diǎn)分析】找規(guī)律，幾何想象能力與推測(cè)能力的考查，三年級(jí)，四年級(jí)五年級(jí)六年級(jí)，教師講評(píng)時(shí)請(qǐng)用紙現(xiàn)場(chǎng)演示操作一次，操作二

30、次的實(shí)驗(yàn)?！痉治雠c解】(方法一)每操作1次都使正方形1變4。第1次操作后剪了4層展開合為一個(gè)洞（40），第2次操作1*4=4(41)個(gè)洞，第3次4*4=16(42)，第4次16*4=64(43)，第5次64*4=256(44)。不信的同學(xué)可以看我挖的效果圖：） 操?次挖出黑洞1個(gè)，2次挖出橙洞4個(gè)，3次黃洞16個(gè)，4次綠洞64個(gè)，5次藍(lán)洞256個(gè).（方法2）主動(dòng)學(xué)習(xí)網(wǎng)推薦方法：5次操作共折了10次，每折一次面數(shù)增加2倍。共有個(gè)面，而一個(gè)圓（洞）由4個(gè)1/4個(gè)圓組成，所以共有圓1024÷4=256個(gè)?！纠?3】【考點(diǎn)分析】各種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和都是48÷2=24（厘米）。【分

31、析與解】由于各種長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬都是整厘米數(shù)，并且和為24厘米，可以列表如下：因?yàn)?3×1<22×2<21×3<20×4<19×5<18×6<17×7<16×8<15×9<14×10<13×11，所以最大的長(zhǎng)方形面積是11×13=143（平方厘米）答：圍成的最大一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是143平方厘米?！驹u(píng)析】和一定，差越小積越大的正確理解?！纠?4】【分析與解】每個(gè)羊圈盡可能大，5 個(gè)面積相同5a+6b =60 要使ab 最

32、大，則5 a×6b =30ab 最大，根據(jù)和一定，差小積大原則，5a = 6b =60 ÷2 = 30 ，所以a=6,b=a，所以個(gè)羊圈面積應(yīng)為30 平方米 【評(píng)析】和一定，差越小積越大的正確理解?！纠?5】【分析與解】如圖所示，羊活動(dòng)的范圍是一個(gè)半徑4m，圓心角300°的扇形與兩個(gè)半徑1m，圓心角120°的扇形之和。所以答案是43.96m2?！纠?6】【分析】要求邊掃過的面積，只需分別看一邊旋轉(zhuǎn)所得圖形.【解】容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長(zhǎng)度為半徑的圓的，如下圖因此DC邊掃過圖形的面積為4平方厘米，BC邊掃過圖的面積為平方厘米.

33、研究AB 邊的情況在整個(gè)AB 邊上，距離C 點(diǎn)最近的點(diǎn)是B 點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A 點(diǎn)，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該介于這兩個(gè)點(diǎn)所掃過弧線之間，見下圖中陰影部分 觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實(shí)際上是：扇形面積十三角形面積-三角形ABC面積一扇形面積扇形面積一扇形面積4 由于在整條線段上距離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A，最近的點(diǎn)是D，所以我們可以畫出AD邊掃過的圖形，如下圖陰影部分所示用與前面同樣的方法可以求出面積為扇形面積十三角形ADC面積-三角形面積一扇形面積扇形面積一扇形面積=.【評(píng)析】旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下“變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的先不去考慮具體數(shù)據(jù)

34、，一定要把思路捋清楚最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直接告訴你，要么就“藏”在那兒，一定會(huì)有我們可以做進(jìn)一步的思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解決對(duì)提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的【例37】【分析】首先確定兩條狼狗的活動(dòng)范圍，利用加減法把活動(dòng)范圍確定為4個(gè)正三角形兩個(gè)半圓，兩個(gè)半圓即一個(gè)整圓實(shí)際綠化面積大圓面積一（4個(gè)三角形小圓面積）. 【解】實(shí)際綠化面積×20×20 一（×10×104×42.5) 1200一（300170) 1200一470730 (). 【評(píng)析】 本題屬于活動(dòng)范圍題，注意確定狼狗的活動(dòng)范

35、圍為兩個(gè)5/ 6 圓減去其重合部分，即一個(gè)菱形一個(gè)圓，另外哨臺(tái)也是未綠化部分，注意以上兩點(diǎn)本題就不難求解【例38】【分析】分析硬幣滾動(dòng)時(shí)圓心的軌跡【解】 當(dāng)硬幣在長(zhǎng)方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)一次時(shí)，由3個(gè)硬幣的圓心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形如下圖，所以這枚硬幣的圓心沿著半徑相當(dāng)于硬幣2 倍的圓旋轉(zhuǎn)了,所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了. 當(dāng)硬幣從長(zhǎng)方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊時(shí)，這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2 倍的圓旋轉(zhuǎn)了,所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了. 在整個(gè)過程中有8次沿邊旋轉(zhuǎn)，4次角旋轉(zhuǎn)，所以120×8300×42160 ，所以自身轉(zhuǎn)動(dòng)了6 圈【例39】【解】 (1)一種是圓滾動(dòng)了不足一圈，根據(jù)P點(diǎn)的初

36、始位置和終止位置，可知圓滾動(dòng),所以圓半徑=30÷÷3. 14÷26. 37（厘米）(2)一種是圓在第一條直線上滾動(dòng)了將近一圈，在第二條直線上又滾動(dòng)了將近一圈，根據(jù)P點(diǎn)的初始位置和終止位置，可知圓滾動(dòng)了,所以圓的半徑是30÷÷3. 14÷22. 73（厘米）【補(bǔ)充】【分析與解】學(xué)生自己思考，討論求解?！纠?0】【分析與解】外側(cè)表面積為：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8內(nèi)側(cè)表面積為：16×4×3+2×(4×4-×

37、22)+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16總表面積=224+16+536-8=760+8=785.12(平方厘米)計(jì)算體積時(shí)將挖空部分的立體圖形取出，如圖，只要求出這個(gè)幾何體的體積即可挖出的幾何體體積為：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24所求幾何體體積為：1O×1O×1O- (256+24)=668.64(立方厘米)【例41】【分析】 以CD為軸確定陰影部分旋轉(zhuǎn)后的形狀【解】 設(shè)三角形BCO以CD為袖旋轉(zhuǎn)一

38、周所得到的立體的體積是V, V等于高為10cm 、底面半徑是6cm 的圓錐的體積減去2個(gè)高為5cm、底面半徑是3cm的圓錐的體積 即V×10×2×××5×90（）, 2V180540（） 【例42】【解】 12被3個(gè)整數(shù)整拆只有4種情況：1×1×12, 1×2×6, 1×3×4, 2×2×3。兩面涂紅的有28塊，因?yàn)檎襟w長(zhǎng)，寬，高都有4條，所以長(zhǎng)寬高之和為 28÷47 符合條件只有2237 , 所以芯為2×2×3的長(zhǎng)方體一面

39、涂紅的為（2×22×32×3) ×232（個(gè)）, 原體積（22)×(32)×(22) 80（立方分米）. 【評(píng)析】立體染色問題?！纠?3】【解】首先根據(jù)俯視圖，底層必有這么11個(gè)，這是不能再少的第二步，不妨先根據(jù)正視圖，再在一側(cè)加上7 塊第三步，再根據(jù)側(cè)視圖，說明另一側(cè)至少要加上l 塊最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如圖所示以俯視圖為標(biāo)準(zhǔn)，三行當(dāng)中中間行至少有2塊，上行至少6塊，下行至少10塊，此時(shí)才能滿足正視圖和側(cè)視圖即所堆的立體的體集至少應(yīng)用18 塊正方體的體集當(dāng)然，這里的形狀不唯一.【例44】【分析】表面積可根據(jù)上

40、、下、左、右、前、后分別求，最后再求和投影法的應(yīng)用?！窘狻?立體圖形的形狀如下圖所示從上面和下面看到的形狀面積都為9 ，共18 ；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7 ，共14 ；從前面和后面看到的形狀面積都為6 ，共12 ；隱藏著的面積有2 .一共有181612248 (）.【評(píng)析】這道題非常好，深刻考察學(xué)員對(duì)立體圖形的認(rèn)識(shí)?！纠?5】【分析】一個(gè)正整數(shù)×52另一個(gè)正整數(shù)，那么這個(gè)正整數(shù)必須能被25 整除大正方體的邊長(zhǎng)必須是5的倍數(shù)，才能保證切割后的小正方體的個(gè)數(shù)是25的倍數(shù)，所以，N可以取5, 10, 15， 【解】 當(dāng)N5 時(shí)，正方體有5×5×5125 個(gè)小正方體

41、，涂色的小正方體有5×5×5×5265（個(gè)），不可能被涂色的小正方體3×3×327 （個(gè), 2765 小于125 成立當(dāng)有大正方形包含一組對(duì)面的任意3個(gè)面被涂色，即可成立 當(dāng)N2×510 時(shí)，正方體有10×10×101000個(gè)小正方體，涂色的小正方體10×10×l0×52520（個(gè)），不可能被涂色的小正方體8×8×8512（個(gè)）, 512520大于1000 ，所以N10 的情況不成立 同理N 大于10 都不成立所以N5 .【例46】 【分析】 分析一下，在正方體上切

42、一刀時(shí)，表面積增加了哪一部分.每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個(gè)面的面積.【解】 一共切了（3一1)(4一l)(5一l) 9刀，而原正方體一個(gè)面的面積l×l1（平方米），所以表面積增加了9×2×118（平方米）原來正方體的表面積為6×16（平方米）. 所以現(xiàn)在的這些小長(zhǎng)方體的表面積之和為61824（平方米）. 【評(píng)析】1刀兩面的應(yīng)用?！纠?7】【分析】 分析每次往下挖一個(gè)正方形，立體圖形增加的表面積是哪部分每往下挖去一個(gè)正方形，立體圖形增加的表面積恰好為挖去的正方體的4個(gè)側(cè)面積，所以所求表面積為大正方體表面積加上3個(gè)小正方體的側(cè)面積【解】 2&#

43、215;2×61×l×4××4××4 244129. 25（平方厘米）【評(píng)析】投影法的應(yīng)用。幾何天天練【1】 【分析與解】（1）在AOB內(nèi)有4條角分線，所以共有角：5+4+3+2+1=15（個(gè)）；（2）周角內(nèi)含有6個(gè)基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（個(gè)）.【2】【分析與解】分析 這個(gè)正方形的面積是8×8=64（平方單位），切開后每一小塊應(yīng)是16平方單位（即由16個(gè)小方格組成），由于要求分成的四塊形狀、大小都相同，必定是由中心點(diǎn)分開的.而且其中一塊若繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180°

44、;、270°后必定和其他三塊重合.解：將兩個(gè)相同字母并列在一起的中間劃出切分線，并將它們分別繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°，得到相應(yīng)的另三段切分線.如下左圖所示.從最里層開始，沿著畫出的切分線作設(shè)想分塊，注意到題目的要求，找到滿足要求題目的一塊，如下右圖中陰影部分將上面的陰影部分繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，可以得到符合條件的另一塊，這樣兩塊空白部分也符合條件，最后劃分的結(jié)果如圖所示. 【3】 【解】（方法一）圖形（l）的面積=三角形面積十長(zhǎng)方形面積=3+6=9,9×2=18圖形（2）的面積=小三角形面積大三角形面積長(zhǎng)方形面積=44+

45、6=14,14×2=28,圖形（3）的面積=上面三角形面積長(zhǎng)方形面積下面三角形面積=2十8+6=16,16×2=32(4) 五邊形的面積為（5÷2+61)×6=45（平方厘米）（方法二）公式法?！驹u(píng)析】頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的多邊形叫格點(diǎn)多邊形，有正方形格點(diǎn)多邊形和三角形格點(diǎn)多邊形。求格點(diǎn)多邊形面積可以統(tǒng)一用：，表示最小的平行四邊形的面積。(記憶提示：邊2內(nèi)1。媽媽配在兒子旁邊學(xué)奧數(shù)的格點(diǎn)面積，好累咽)【5】【分析與解】 將在A處的孩子數(shù)目看成1份，那么可順次標(biāo)出各道口處走過的孩子份數(shù)可見B處有， C處有C處的孩子總數(shù)為60÷【6】【分析與解】應(yīng)用標(biāo)數(shù)

46、法可知共有55種不同的路線?！?】 【分析與解】ADBEEC=869，=。-=-，=10，=40?！驹u(píng)析】凡是兩塊面積存在大小關(guān)系的，必然是同時(shí)加上一塊或者減去一塊，簡(jiǎn)化關(guān)系?！?】【分析與解】解法一： ABC、ADC同高，所以底的比等于面積比，那么有而E為AD中點(diǎn)，所以連接FD，DFE、FAE面積相等，設(shè)則的面積也為x，而，解得.所以，陰影部分面積為解法二：設(shè)FBD為1份，則FED為3份，AFC為3份，共7份，而陰影總和相當(dāng)于FCD，7份中占3，故3/7【9】【分析與解】解：在ABB與ABC中，ABB+ABC=180°因?yàn)?AB=AA，所以AB=2AB，又因?yàn)锽B=BC，所以SAB

47、B=1×2×SABC=2SABC=2同理SBCC=2×1×SABC=2SACA=2×1×SABC=2所以SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7【10】【解法1】如圖，陰影部分的面積可以“等積變形”為下圖中的深色三角形的面積。已知等寬的長(zhǎng)方形面積之比就是相對(duì)的底邊之比，所以，設(shè)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米，則有：面積3的長(zhǎng)方形與面積為2的長(zhǎng)方形的公共邊的長(zhǎng)為所以，陰影部分的面積為 ××b=××10=(平方厘米)【解法2】如圖，S陰影=SABH-SABG=S長(zhǎng)方形A

48、BFP-S長(zhǎng)方形ABOE長(zhǎng)方形ABFP=×長(zhǎng)方形ABCD=×10長(zhǎng)方形ABOE=×長(zhǎng)方形ABCD=×10S陰影=×（×10-×10）=(平方厘米)【評(píng)析】本題除了體現(xiàn)等積變形的思想，另外主要運(yùn)用了長(zhǎng)方形等寬時(shí)，面積與長(zhǎng)的正比關(guān)系。兩個(gè)長(zhǎng)方形寬相等，面積之間的倍數(shù)等于長(zhǎng)之間的倍數(shù)?！?1】【分析與解】連接MD,則SMBD=1×1÷2=0.5，則SAMD=SABD-SMBD=2×1÷1-0.5=0.5,在四邊形AMDCK ,應(yīng)用蝴蝶定理有,SMND=SMDC×1/5=2×

49、;1÷2×1/5=1/5所以SAMN=SAMD-SMND=0.5-0.2=0.3【12】【分析與解】25/441【13】分析 由題意，液體的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的3倍（6÷2）【14】【分析與解】提示：用差不變?cè)斫忸}。長(zhǎng)方形面積：4×6=24（平方厘米），三角形ABC面積：24-10.5=13.5（平方厘米），BC邊長(zhǎng)：13.5×2÷6=4.5（厘米）?！?5】【分析與解】外圈三角形面積大。以為例，內(nèi)外三角形面積相等（兩邊相等，夾角互補(bǔ)的三角形，面積相等），但外圈三角形多了兩個(gè)，

50、所以外圈三角形面積大?！?6】【分析與解】15平方厘米如右圖，設(shè)折疊后重合部分的面積為x平方厘米， x=5所以原三角形的面積為2×5+5=15平方厘米【17】【18】【分析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形EFGO的面積。由于長(zhǎng)方形ABCD的面積為15×8=120，所以三角形AOD的面積為120×=30，所以三角形AOE和DOG的面積之和為70-30=40；又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120×（）=30，所以四邊形EFGO的面積為40-3

51、0=10?！?9】【分析與解】 陰影部分的面積可以分解為兩個(gè)三角形的面積之和，而E、F又是梯形兩腰的中點(diǎn)，連接EF ，對(duì)上下兩個(gè)梯形分別應(yīng)用蝴蝶定理?！窘狻拷夥? ：如上右圖，設(shè)上底為a, 則下底為2a，梯形的高為h ，則EF( a + 2) a ,所以AB :EF a : a2:3 , EF : DCa:2a3 : 4 . 所以, , 陰影部分即54，ah140,梯形ABCD 的面積×（12)ahah×140210（平方厘米）, 解法2 ：如上右圖，設(shè)上底為a ，則下底為2a，梯形的高為h , 則EF（a2a）a,所以AB：EFa:a2:3，EF:DCa:2a3:4,所以

52、，所以7：5，根據(jù)梯形中的面積關(guān)系，得下圖因?yàn)?x:9y x:y 7 : 5 , 且xy 54÷96 （平方厘米）, 所以x6×3. 5（平方厘米）, y6 一3. 52.5（平方厘米）. 所以梯形ABCD 的面積3. 5×252. 5×49210 （平方厘米）. 【評(píng)析】 陰影部分可以看為兩個(gè)同底三角形的面積之和求出兩個(gè)三角形的高和底，根據(jù)梯形的面積公式，進(jìn)一步求出梯形面積思考方法很簡(jiǎn)單，但要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性連接EF 以后，我們也可以把它看成是兩個(gè)梯形疊放在在一起，應(yīng)用模型3 梯形蝴蝶定理，可以確定各個(gè)小的三角形之中的比例關(guān)系，應(yīng)用比例即可求出梯形AB

53、CD 面積注意應(yīng)用梯形蝴蝶定理時(shí)注意比的運(yùn)算【20】 【分析與解】 上圖中，三角形AEC與三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC， 又由于三角形AED與三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是AD=AC,，所以，三角形AED的面積=×三角形AEC的面積=××三角形ABC的面積 =×三角形ABC的面積 【21】【分析與解】陰影面積是最小的正方形面積的一半，最小的正方形面積是第二小正方形面積的一半，依次類推，邊長(zhǎng)為a的正方形面積是圖中陰影部分面積的16倍.【22】【分析】 連接. 設(shè) 、的面積分別為，分別解出.【解】 連結(jié)AMZ , BM3 ,

54、CM , . 設(shè) 、的面積分別為， 得， , 所以有,同理有,.,. 陰影部分面積為1) .【23】【分析】連接AF ，應(yīng)用三角形面積之比等于底邊之比求出三角形AFD 和三角形AFE 的面積【解】 連接AF 設(shè)a , b，2a3b , 4b3 (2a), 解得a，b,所以, ab（）.【24】【考點(diǎn)分析】立體涂色問題【分析與解】總共有個(gè)正方體。無色的正方體在體內(nèi)（上下去掉一層，左右去掉一層，前后去掉一層）共有。所以至少一面的共有：【25】【考點(diǎn)分析】立體涂色定理，三年級(jí)，四年級(jí)，五年級(jí)，六年級(jí)【分析與解】3面的（如下圖紅色）：1層有5×4=20（個(gè)），2層有4個(gè)，3層有4個(gè)，共20+

55、4+4=28（個(gè)）2面（如下圖深黃色）：2層有3×4=12（個(gè)），3層有4個(gè)，共12+4=16（個(gè)） 3面紅比2面紅的多28-16=12（個(gè)）【評(píng)析】給學(xué)生講解立體涂色問題常考知識(shí)點(diǎn)?！?6】【分析與解】【27】【分析與解】從圖前面的1開始分析，對(duì)面為6；挨著的面為2，對(duì)面為5；挨著的面為3，對(duì)面為4。轉(zhuǎn)彎處1在上面，則6在底下，1的左右兩面只能是2、5。如果右面為2，挨著的面則為6，對(duì)面為1，緊挨著的面為7，不符合要求。所以1的右面為5，挨著的面為3，對(duì)面為4，挨著的面為4，？處為3?！?8】【分析與解】【29】【分析與解】連接AG，三角形ADG的面積是正方形ABCD的一半，也是矩

56、形FEGD面積的一半，4×4÷5=3.2【點(diǎn)評(píng)】三角形與平行四邊形的關(guān)系?！?0】【分析與解】連接AD，D為BC的中點(diǎn)，得三角形ADC是三角形ABC的一半，三角形BED是三角形ABD的1/3，是三角形ABC的1/6，則四邊形EDAC是三角形ABC的5/6，所以角形ABC是35×(6/5)=42.【31】【分析與解】m=8【32】 【分析】 連接EO , AF ，應(yīng)用燕尾定理作OMAE , ONEF , 【解】連接EO, AF，作OMAF, ONEF. 根據(jù)燕尾定理b : a , a : b , 所以 AEEF , OM：ON ， 1 : 8 . a : b1 :

57、2 . 【33】【分析】差不變?cè)恚嚎匆娒娣e存大大小關(guān)系的，必然同時(shí)加一塊或減一塊巧妙求解。【解】解法1 ：由GC7 , GD10 ，推出HE3；BC4 , DE2 ，陰影BCM 面積陰影MDE 面積（陰影BCM 面積空白面積）一（陰影MDE 面積空白面積）三角形BHE 面積長(zhǎng)方形CDEH 面積3×6÷2 一3×23 . 解法2 ：由GC7 , GD10 知CO3 ；BC4 . DE2 BC : DECM : DM ，所以CM2 , MD1 . 陰影面積差為4×2÷2 一1×2÷23 . 【34】【分析】 題中每一條陰影部分

58、面積可以看做是兩個(gè)大小弓形的面積之差【解】設(shè)J為弧GI的中點(diǎn)，則可知GJIO是菱形，GOJ是正三角形，三角形GOI的面積××26.大弓形的面積×××26235.597.5138.小弓形的面××176.625112.564.125.所以，總陰影面積(138一64. 125）×3221. 625 （平方厘米）. 【評(píng)析】本題難度在于判斷四邊形GJIO為菱形，圓中等長(zhǎng)的弧所對(duì)的弦也是相等的，所以三角形GOJ為正三角形，其實(shí)3 個(gè)陰影部分選擇哪一個(gè)作為解題的模型都可以總陰影面積每塊陰影面積×3 一（大弓形一小弓形）×3 ，關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積【35】【提示】 陰影部分可以看做一個(gè)整體，那么大圓由四個(gè)陰影部分組成【解】（1）大圓的面積恰好是4 個(gè)這種特殊圖形，所以陰影面積：大圓面積1：4 . （2）設(shè)小圓半徑為x，則大圓半徑為2x,陰影周長(zhǎng)小圓周長(zhǎng)小圓周長(zhǎng)十小圓周長(zhǎng)大圓周長(zhǎng)小圓周長(zhǎng)