九年級數(shù)學(xué)第二十八章銳角三角函數(shù)綜合習(xí)題大全(含答案)(79)

1、九年級數(shù)學(xué)第二十八章銳角三角函數(shù)綜合習(xí)題大全（含答案）小芳想測樹高.她將一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的別一端系一個小重物，制成了一個簡單的測角儀（如圖1）;將此測角儀拿在眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達樹的最高點（如圖3 ）;測得046c=60。，小芳眼睛離地L5米，量得小芳到樹根的距離是5米，則樹高多少？（圖1）（圖2）圖3）【答案】樹高為沔+1.51米【解析】分析：首先根據(jù)tan60。以及AC的長度，從而得出BC的長度，最后根據(jù)h=BC+1.5得出答案.詳解：國tan60° =告:.團8c = 丁之=：=：6.團 BCtan 603h = BC + 1.5 = -y

2、/3 + 1.5.3國樹高為米.點睛：本題主要考查的是三角函數(shù)的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.明白特殊角 的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.82 .已知：在團26C中，AB= AC,點D為6c邊的中點，點尸是46邊上一點，點£在線段。尸的延長線上，回以£= BDF,點M在線段。尸上， ABE=DBM.(1)如圖 1 ,當團460=45。時，求證:A£= V2 MD-,(2 )如圖2 ,當團46G 60。時，直接寫出線段左艮初。之間的數(shù)量關(guān)系； Q 延長6M到P,使MP= BM,連接CP,若46=7,4£= 2",探求 sin團PC6的值.【答案】(1)見解析

3、；(2 )2£二2。例，理由見解析；W【分析】(1)由題意知回班£二國8。例，團28£二團。故有回28比回。8例,從而彳導(dǎo) 到 AE DM= AB BD ABC= 45° ,再得到 AB=近 BD，則有 AE=應(yīng) MD;(2 )由于團28£而。8",相似比為2 ,故有EB=2BM,進而確定出AE 與。例的關(guān)系；由題意知得08。為等邊三角形，有EKBP,團8/W。二回2£8=90° ,在中求得工£ 28、tanl2£48的值，由。為8c中點，M為妙中點，得 DMHPC,求得tan團PC8的值，在R

4、t國28。和RtE/V£?C中，由銳角三角函數(shù)的 定義求得22 /V。的值，進而求得tan回PC8的值.【詳解】(1)證明：如圖1,連接2。.ABDC圖1AB=AC, BD=CD,ACBC.又皿8c =45° ,BD- AB*cosABC, BD AB- >/2 BD .BAE= BDM, ABE=田DBM,物ABMDBM.AE AB 回二二 yj2 ,DM DB 7 '團2£二 72 MD .(2 )如圖2 ,連接2。，EP,過/V作NHAC.匚/DC圖2AB=AC, ABC= 60° z國28c是等邊三角形，又團。為灰;的中點，BCDA

5、C.BD=DCAB,垂足為H,連接/V",西班E二 0BDM z ABE=®DBM,物ABMDBM zAE BE AB= = - =2, AEBDMB t 即 AE=2DMDM BM DB叵回28囪H£?8/W,AE BE AB c團_ 2DM BM DB 'EB=2BM,又因 8/V7= MP,aEB二 BP i勵EBM; EBA+ABM= MBDABM= ABC= 60° ,歪8£P為等邊三角形，歪8例。=90° ,亞2砥=90° ,在 Rtg中,AE=2y/l , AB=7 ,團be= Vab2 -ae2 =

6、6 .0tan回£48二空二色， AE 2團。為此'中點，M為妙中點，DMPC,EAB=PCB,0tan 因 PC8 二 2【點睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的 性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，明確線段與線段的關(guān) 系.83 .如圖，點A (t, 4 )在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a , sina=【答案】26【解析】【分析】過A作AB取軸于B ,根據(jù)正弦的定義和點A的坐標求出AB、0A的長, 根據(jù)勾股定理計算即可.【詳解】解：過A作AB取軸于B.c AB團sina = OA.2團 sina = 一,3 JAB 2

7、 回=OA 3團AB=4 z團0A=6 z【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、坐標與圖形的性質(zhì)，掌握在直角三角形 中，銳角的正弦為對邊比斜邊是解題的關(guān)鍵.84 .如圖所示，在團46。中，6c為4。邊上的高線，tan國1,在 6c上截取UG= CD，連結(jié)4G,將團4UG繞點U旋轉(zhuǎn)，使點G落在6。邊上的 產(chǎn)處，4落在£處，連結(jié)BE,若4。=4 , tanZ?= 3 ,則國CR和國£3的面積 比為；酎長為一.1)1:5,【分析】彳乍CM0DF于M ,則國CMD=90°,由已知彳導(dǎo)出團BCD二回ACB=90°, AC二BC ,BC = 3CD 求出 CD =

8、 1 AC = BC = 3，證明回CDM國BDC ,2=3 =%S得出 產(chǎn)L =,證明回AGC國BDC ,得出國CAG二團CBD ,回AGC的面積=叵BDC的面積且CAG =國CBD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF = CD ,EC = AC = BC gCEF =回CAG z 團BCF二團ACN，得出國CDF的面積=2團CDM的面積,求出國CFD的面積：團ECF 的面積=1 :5 ;證明回ACN回回BCF ,彳導(dǎo)出 AN = BF ZCN = CF = CD = CG = 1 ,GN=DF ,證明回CGN豳CBE，得出絲=* ,在R的DCM中，求出DM二叵 BE BC10得出DF = 2DM=半，代入

9、計算即可.【詳解】作673。尸于M,如圖所示：叫£回28。中，BC為2。邊上的高線，tan回。4。= 1 ,西88=回2c8=90° , AC= BC tBc在 Rt回8C。中，回tan。= 3 =回BC=3CD,團工。= AC+ CD= BC+ CD= 4 1回8=1 , AC= BC=3 ,物CMD=eBCD z團。二團。，cd 1 JToCDMBDC t = -= = ,BD 回 10qi廠 °aCDM _ 1Es10 '乙 BDC 1UAC = BC在回ZGC和國80c中,pACG = ZBCD , CG=CD西2GS08OC( S4S),西c4G

10、=回）。，胤4GC的面積=團8。0的面積，CAG=CBD ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CF= CD, EC= AC= BCt CEF=團C4G,團8c尸二 ACN,歪。尸的面積=20CO/V/的面積，國CQ的面積：回氏尸的面積=1 : 5 ;a CG=CD,團 CG=CF,ZACN = ZBCF在回2C7V和國8c5中,MC = BCZCAN = ZCBFACNBCF(ASA),團2/V= BFt CN= CF= CD= CG= 1 ,回G/V=。尸，BC CG=CE： CNt物 GCN=®BCE,CGNCBE tGN CG 回=BE BC在 Rt叵。C/V7中，tan。= 3 z CD= 1

11、 ,©CD= CF. CMWF.團DF=2DM=巫, 5國G/V二孚M iS 5 二一-3BE解得:BE=羋;故答案為1:5 , 占更【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的，性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性 質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證 明三角形全等和三角形相似是解題關(guān)鍵.85 .如圖，團ABC內(nèi)接取。，BC是團0的直徑，0E團AC ,垂足為E ,過點A愜。的切線與BC的延長線交于點D , sinD=5,OD=20 .(1)雍ABC的度數(shù)；(2 )連接BE ,求線段BE的長【答案】(l)3(r(2)BE=5g【分析】(1連接0A，由AD為O切線 得OAD=90。,而sinD=易知0=30°, 可分AOC=60。，再利用外角的性質(zhì)可求叵ABC ;(2 )由(1)知國D=30。，OD=20 z易證團AOC是等邊三角形，得AC=10 , 在RtEABC中，利用回ABC是正切可求AB ,再在RWABE中，利用勾股定理可求出BE.【詳解】(1)連接0人，0AD為團O切線，西OAD=90° ,團sinD=：, 乙甌D=30°,西AOC=60° z國 ABC二；MOC = 30。(2 )在 RWOAD 中，回D=30° , OD=20 ,亞AOD=60° ,又團O