一級(jí)倒立擺的LQR控制器設(shè)計(jì)

1、()44必噩IWMJgq w機(jī)藏盤(pán)1皿睫(權(quán)氽)甜KH編熾編s啪卅垃幅帥黑 黑探理強(qiáng)刑樸 690Z0Z0 寸 OOZ 咿 我 ZOZOZO寸0 掇 取 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 0.前言10.1倒立擺的背景及簡(jiǎn)介1 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 0.2 MATLAB簡(jiǎn)介及應(yīng)用1 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 一級(jí)倒立擺模型和線性二次最優(yōu)控制LQR基本理論41.1 一級(jí)倒立擺模型基本理論41.2線性二次最

2、優(yōu)控制LQR基本理論7 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 方案設(shè)計(jì)10 HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 軟件編程10 HYPERLINK l bookmark124 o Current Document 系統(tǒng)調(diào)試和結(jié)果分析12 HYPERLINK l bookmark134 o Current Document 結(jié)論及進(jìn)一步設(shè)想13 HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 參考文獻(xiàn)14 HYPERLINK l bookmark149 o Cur

3、rent Document 課設(shè)體會(huì)15直線一級(jí)倒立擺LQR控制器的設(shè)計(jì)（一）楊賀沈陽(yáng)航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院摘要：倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué) 及開(kāi)展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)倒立擺的控制可以用拉格朗日方法建模，設(shè) 計(jì)倒立擺二次型最優(yōu)LQR控制器，通過(guò)MATLAB仿真和實(shí)際系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立 擺的穩(wěn)定控制。建立模型，確定參數(shù)，進(jìn)行控制算法設(shè)計(jì)、系統(tǒng)調(diào)試和分析等步驟實(shí) 現(xiàn)。關(guān)鍵詞：倒立擺；狀態(tài)反饋；MATLAB仿真0.前言0.1倒立擺的背景及簡(jiǎn)介倒立擺的最初研究開(kāi)始于20世紀(jì)50年代，由美國(guó)麻省理工學(xué)院的控制論專(zhuān)家根 據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)，倒立擺

4、系統(tǒng)是一個(gè)經(jīng)典的快速、多變量、非線性、絕對(duì) 不穩(wěn)定系統(tǒng)，是用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的經(jīng)典方案。倒立擺控制理論產(chǎn)生的方 法和技術(shù)在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)和航空器對(duì)接控 制技術(shù)等方面具有廣闊的開(kāi)發(fā)利用前景。因此研究倒立擺系統(tǒng)具有重要的實(shí)踐意義， 一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。倒立擺的種類(lèi)很多，有懸掛式倒立擺、平行倒立擺、 環(huán)形倒立擺、平面倒立擺；倒立擺的級(jí)數(shù)可以是一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)乃至多級(jí)； 倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，還可以是傾斜的，控制電機(jī)可以是單電機(jī)，也可以 是多級(jí)電機(jī)。倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué)及 開(kāi)展各種控制實(shí)

5、驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多 典型問(wèn)題：如非線性問(wèn)題、魯棒性問(wèn)題、鎮(zhèn)定問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題等。對(duì)倒 立擺這樣的一個(gè)典型被控對(duì)象進(jìn)行研究，無(wú)論在理論上和方法上都具有重要意義。不 僅由于其級(jí)數(shù)增加而產(chǎn)生的控制難度是對(duì)人類(lèi)控制能力的有力挑戰(zhàn)，更重要的是實(shí)現(xiàn) 其控制穩(wěn)定的過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)新的控制方法，探索新的控制理論，并進(jìn)而將新的控制 方法應(yīng)用到更廣泛的受控對(duì)象中。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實(shí)踐， 并且可以促成相互間的有機(jī)結(jié)合。0.2 MATLAB簡(jiǎn)介及應(yīng)用對(duì)于倒立擺的研究，用到的最多的軟件就是MATLAB，這次課設(shè)也不例外，所 以在這里，對(duì)MATLAB

6、進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的介紹。在20世紀(jì)70年代中期，Cleve Moler博士和其同事在美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金的資助下 開(kāi)發(fā)了調(diào)用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序庫(kù)。EISPACK是特征值求解的FORTRAN程序庫(kù)，LINPACK是解線性方程的程序庫(kù)。在當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)程序庫(kù)代 表矩陣運(yùn)算的最高水平。到20世紀(jì)70年代后期，身為美國(guó)New Mexico大學(xué)計(jì)算機(jī)系系主任的Clev e Moler，在給學(xué)生講授線性代數(shù)課程時(shí)，想教學(xué)生使用EISPACK和LINPACK程序庫(kù)， 但他發(fā)現(xiàn)學(xué)生用FORTRAN編寫(xiě)接口程序很費(fèi)時(shí)間，于是他開(kāi)始自己動(dòng)手，利用業(yè)余 時(shí)間為學(xué)生編寫(xiě)EISPACK和LINP

7、ACK的接口程序。Cleve Moler給這個(gè)接口程序取 名為MATLAB，該名為矩陣(matrix)和實(shí)驗(yàn)室(laboratory)兩個(gè)英文單詞的前三個(gè) 字母的組合。在以后的數(shù)年里，MATLAB在多所大學(xué)里作為教學(xué)輔助軟件使用，并 作為面向大眾的免費(fèi)軟件廣為流傳。1983年春天，Cleve Moler到Stanford大學(xué)講學(xué)，MATLAB深深地吸引了工程師John Little。John Little敏銳地覺(jué)察到MATLAB在工程領(lǐng)域的廣闊前景。同年，他和Cleve Moler、Sieve Bangert一起，用C語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了第二代專(zhuān)業(yè)版。這一代的MATLAB語(yǔ)言同 時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖

8、示化的功能。1984年，Cleve Moler和 John Lithe成立了MathWorks公司，正式把MATLAB推向 市場(chǎng)，并繼續(xù)進(jìn)行MATLAB的研究和開(kāi)發(fā)。在當(dāng)今30多個(gè)數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件中，就軟件數(shù)學(xué)處理的原始內(nèi)核而言，可分為 兩大類(lèi)。一類(lèi)是數(shù)值計(jì)算型軟件，如MATLAB、Xmath、Gauss等，這類(lèi)軟件長(zhǎng)于數(shù) 值計(jì)算，對(duì)處理大批數(shù)據(jù)效率高；另一類(lèi)是數(shù)學(xué)分析型軟件，如Mathematica、Maple 等，這類(lèi)軟件以符號(hào)計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)，能給出解析解和任意精度解，其缺點(diǎn)是處理大量數(shù)據(jù) 時(shí)效率較低。MathWorks公司順應(yīng)多功能需求之潮流，在其卓越數(shù)值計(jì)算和圖示能力 的基礎(chǔ)上，又率先在專(zhuān)

9、業(yè)水平上開(kāi)拓了其符號(hào)計(jì)算、文字處理、可視化建模和實(shí)時(shí)控 制能力，開(kāi)發(fā)了適合多學(xué)科、多部門(mén)要求的新一代科技應(yīng)用軟件MATLAB。經(jīng)過(guò)多 年的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)，MATLAB已經(jīng)占據(jù)了數(shù)值型軟件市場(chǎng)的主導(dǎo)地位。在MATLAB進(jìn)入市場(chǎng)前，國(guó)際上的許多應(yīng)用軟件包都是直接以FORTRAN和C 語(yǔ)言等編程語(yǔ)言開(kāi)發(fā)的。這種軟件的缺點(diǎn)是使用面窄、接口簡(jiǎn)陋、程序結(jié)構(gòu)不開(kāi)放以 及沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的基庫(kù)，很難適應(yīng)各學(xué)科的最新發(fā)展，因而很難推廣。MATLAB的出現(xiàn)， 為各國(guó)科學(xué)家開(kāi)發(fā)學(xué)科軟件提供了新的基礎(chǔ)。在MATLAB問(wèn)世不久的20世紀(jì)80年 代中期，原先控制領(lǐng)域里的一些軟件包紛紛被淘汰或在MATLAB上重建。時(shí)至今日，經(jīng)過(guò)Math

10、 Works公司的不斷完善，MATLAB已經(jīng)發(fā)展成為適合多學(xué) 科、多種工作平臺(tái)的功能強(qiáng)勁的大型軟件。在國(guó)外，MATLAB已經(jīng)經(jīng)受了多年考驗(yàn)。 在歐美等高校，MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào) 處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等高級(jí)課程的基本教學(xué)工具；成為攻讀學(xué)位的大 學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的基本技能。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)部門(mén)，MATLAB 被廣泛用于科學(xué)研究和解決各種具體問(wèn)題。MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶(hù)使用MATLAB的函數(shù)和文件， 其中許多工具采用的是圖形用戶(hù)界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗 -完整版學(xué)習(xí)資料分享-口、編輯

11、器和調(diào)試器、路徑搜索和用于用戶(hù)瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨 著MATLAB的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級(jí)，MATLAB的用戶(hù)界面也越來(lái)越精 致，更加接近Windows的標(biāo)準(zhǔn)界面，人機(jī)交互性更強(qiáng)，操作更簡(jiǎn)單。而且新版本的 MATLAB提供了完整的聯(lián)機(jī)查詢(xún)、幫助系統(tǒng)，極大的方便了用戶(hù)的使用。簡(jiǎn)單的編 程環(huán)境提供了比較完備的調(diào)試系統(tǒng)，程序不必經(jīng)過(guò)編譯就可以直接運(yùn)行，而且能夠及 時(shí)地報(bào)告出現(xiàn)的錯(cuò)誤及進(jìn)行出錯(cuò)原因分析。MATLAB是一個(gè)高級(jí)的矩陣/陣列語(yǔ)言，它包含控制語(yǔ)句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸 入和輸出和面向?qū)ο缶幊烫攸c(diǎn)。用戶(hù)可以在命令窗口中將輸入語(yǔ)句與執(zhí)行命令同步， 也可以先編寫(xiě)好一個(gè)較大的復(fù)雜

12、的應(yīng)用程序（M文件）后再一起運(yùn)行。新版本的 MATLAB語(yǔ)言是基于最為流行的C+語(yǔ)言基礎(chǔ)上的，因此語(yǔ)法特征與C+語(yǔ)言極為 相似，而且更加簡(jiǎn)單，更加符合科技人員對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式的書(shū)寫(xiě)格式。使之更利于非計(jì) 算機(jī)專(zhuān)業(yè)的科技人員使用。而且這種語(yǔ)言可移植性好、可拓展性極強(qiáng)，這也是MATLAB 能夠深入到科學(xué)研究及工程計(jì)算各個(gè)領(lǐng)域的重要原因。MATLAB自產(chǎn)生之時(shí)起就具 有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，以將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來(lái)，并且可以對(duì)圖形進(jìn)行標(biāo) 注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動(dòng)畫(huà)和表達(dá)式作圖。 可用于科學(xué)計(jì)算和工程繪圖。新版本的MATLAB對(duì)整個(gè)圖形處理功能作了很大的改 進(jìn)和完善，使

13、它不僅在一般數(shù)據(jù)可視化軟件都具有的功能（例如二維曲線和三維曲面 的繪制和處理等）方面更加完善，而且對(duì)于一些其他軟件所沒(méi)有的功能（例如圖形的 光照處理、色度處理以及四維數(shù)據(jù)的表現(xiàn)等），MATLAB同樣表現(xiàn)了出色的處理能 力。同時(shí)對(duì)一些特殊的可視化要求，例如圖形對(duì)話等，MATLAB也有相應(yīng)的功能函 數(shù)，保證了用戶(hù)不同層次的要求。另外新版本的MATLAB還著重在圖形用戶(hù)界面 （GUI）的制作上作了很大的改善，對(duì)這方面有特殊要求的用戶(hù)也可以得到滿(mǎn)足。MATLAB對(duì)許多專(zhuān)門(mén)的領(lǐng)域都開(kāi)發(fā)了功能強(qiáng)大的模塊集和工具箱。一般來(lái)說(shuō)， 它們都是由特定領(lǐng)域的專(zhuān)家開(kāi)發(fā)的，用戶(hù)可以直接使用工具箱學(xué)習(xí)、應(yīng)用和評(píng)估不同 的方

14、法而不需要自己編寫(xiě)代碼。領(lǐng)域，諸如數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)庫(kù)接口、概率統(tǒng)計(jì)、樣條 擬合、優(yōu)化算法、偏微分方程求解、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析、信號(hào)處理、圖像處理、系 統(tǒng)辨識(shí)、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、LMI控制、魯棒控制、模型預(yù)測(cè)、模糊邏輯、金融分析、地 圖工具、非線性控制設(shè)計(jì)、實(shí)時(shí)快速原型及半物理仿真、嵌入式系統(tǒng)開(kāi)發(fā)、定點(diǎn)仿真、 DSP與通訊、電力系統(tǒng)仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。1. 一級(jí)倒立擺模型和線性二次最優(yōu)控制LQR基本理論1.1 一級(jí)倒立擺模型基本理論直線一級(jí)倒立擺建模：小車(chē)由電機(jī)通過(guò)同步帶驅(qū)動(dòng)在滑桿上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿 平衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)卡反饋小車(chē)和擺桿位置（線位

15、移和角位移）。導(dǎo) 軌截面成H型，小車(chē)在軌道上可以自由滑動(dòng)，其在軌道上的有效運(yùn)行長(zhǎng)度為1米。軌-完整版學(xué)習(xí)資料分享-立擺系統(tǒng)定倒立的參數(shù)道兩端裝有電氣限位開(kāi)關(guān)，以防止因意外失控而撞壞機(jī)構(gòu)。倒立擺系統(tǒng)由水平移動(dòng)的 小車(chē)及由其支撐的單節(jié)倒立擺構(gòu)成?？刂戚斎霝轵?qū)動(dòng)力尸（N），是由拖動(dòng)小車(chē)的直流 伺服電機(jī)提供的；被控制量是擺桿與垂直位置方向夾角（rad）和小車(chē)的位移x（m）o圖1倒假 擺系統(tǒng) 如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g；擺桿的長(zhǎng)度：2l=1m；小車(chē)的質(zhì)量：M=1kg；重力加速度：g=10/s2；擺桿慣量：I=0.003kgm2；擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下的方程:

16、Mx = F - bx- N（1）由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面的等式:N = m（x +1sin9 ）dt 2(2)將此等式代入上述等式中，可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： Cg 2 c(M + m) x + bx + ml G cos0 - ml 0 sin 0= F(3)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面的方程：d 2P - mg = -m - (l cos 0 )(4)力矩平衡方程如下：一Pl sin 0 一 Nl cos 0 = IG(5)合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：(I + ml 2) 0+ mgl sin 0

17、 = 一 ml X cos 0(6)微分方程模型：設(shè)。二兀+ 6，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角6與1(單位是 孤度)相比很小時(shí)，即O 1時(shí)，則可以進(jìn)行如下近似處理：cos 0 = -1sin 0 = -(半)2= 0dt(7)線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式：,、，】，(I + ml 2)。一 mgl = ml x|( M + m) X+ bX- ml。= u(8)傳遞函數(shù)模型：對(duì)上述方程組進(jìn)行拉氏變換后得到：(I + ml2) (s)s2 - mgl (s) = mlX (s)s2(M + m) X (s) s 2 + bX (s) - ml (s) s 2 = U (s)(9)

18、解上述方程可得輸入量為加速度，輸出量為擺桿擺角的傳遞函數(shù)：-完整版學(xué)習(xí)資料分享-4 (s) _mlV(s) (I + ml2)s2 -mgl(10)輸入量為力，輸出量為擺角的傳遞函數(shù)：mlS24(s) _qU (s)b( I + ml 2)(M + m)mglbmgls4 +s3 s2 sqq q(11)q=(M+m)(I+ml) - (ml)2(12)狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫(xiě)成如下形式：X = AX + BuY = CX + Du(13)解代數(shù)方程可得如下解：%-(I + ml 2)bm 2 gl 2人(I + ml 2) TOC o 1-5 h z x =:% +:，4

19、+:, uI (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 24=4乘 -mlb mgl (M + m) ,ml4 =x + 4 +u、I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2(14)整理后可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程:xx001-(I + ml 2)bI (M + m) + Mml 20m 2 gl 2I (M + m) + Mml 200 x x+0I + ml 2I (M + m) + Mml 24=0001400-mlbmgl (M + m)04ml4I (M + m) + Mml

20、 2I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml 2(15)01(16)對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:I = ml 23(17)代入微分方程模型中得:(3 ml 2 + ml 2)一 mgl4 = ml X(18)化簡(jiǎn)后可得：朋 3g入 3.4=二4+x4l4l(19)設(shè) x = x X 4 4t,u = X 則有：x0100 x=004000L0 001（20）課程設(shè)計(jì)要求：熟悉倒立擺實(shí)際控制系統(tǒng)；對(duì)倒立擺系統(tǒng)建模；進(jìn)行控制算法設(shè) 計(jì)；進(jìn)行系統(tǒng)調(diào)試和分析；利用MATLAB高級(jí)語(yǔ)言編程，實(shí)現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定控制；實(shí) 時(shí)輸出波形，得出結(jié)論。1.2線性二次最優(yōu)控制LQR基本理

21、論最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展和整個(gè)現(xiàn)代自動(dòng)控制理論的形成和發(fā)展十分不開(kāi)的。 在20世紀(jì)50年代初期，就有人開(kāi)始發(fā)表從工程觀點(diǎn)研究最短時(shí)間控制問(wèn)題的文章， 盡管其最優(yōu)性的證明多半借助于幾何圖形，僅帶有啟發(fā)性質(zhì)，但畢竟為發(fā)展現(xiàn)代控制 理論提供了第一批實(shí)際模型。由于最優(yōu)控制問(wèn)題引人注目的嚴(yán)格表述形式，特別是空 間技術(shù)的迫切需求，從而吸引了大批科學(xué)家的密切注意。經(jīng)典變分理論只能解決一類(lèi) 簡(jiǎn)單的最優(yōu)控制問(wèn)題，因?yàn)樗粚?duì)無(wú)約束或開(kāi)集性約束是有效的。而實(shí)際上碰到的更 多的是容許控制屬于閉集的一類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題，這就要求人們?nèi)ヌ剿鳌⑶蠼庾顑?yōu)控制 問(wèn)題的新途徑。在種種新方法中，有倆種方法最富成效：一種是蘇聯(lián)學(xué)者龐特

22、里亞金 的“極大值原理”；另一類(lèi)是美國(guó)學(xué)者貝爾曼的“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”。受力學(xué)中哈密頓原理的 啟發(fā)，龐特里亞金等人把“極大值原理”作為一種推測(cè)首先推測(cè)出來(lái)，隨后不久又提 供了一種嚴(yán)格的證明，并于1958年在愛(ài)丁堡召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上首先宣讀?！皠?dòng)態(tài) 規(guī)劃”是貝爾曼在1953-1957年逐步創(chuàng)立的，他依舊最優(yōu)性原理發(fā)展了變分學(xué)中的哈 密頓一雅可比理論，構(gòu)成了 “動(dòng)態(tài)規(guī)劃”。它是一種適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算，處理問(wèn)題范 圍更廣的方法。在現(xiàn)代控制理論的形成和發(fā)展中，極大值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和卡爾曼的 最優(yōu)估計(jì)理論都起過(guò)重要的推動(dòng)作用?，F(xiàn)代控制理論的形成和發(fā)展和數(shù)字計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣約應(yīng)用密不可分。由于 計(jì)算機(jī)的“在線

23、”參與控制，這樣，既不要求把控制器歸結(jié)為簡(jiǎn)單的校正網(wǎng)絡(luò)，也不 一定要求有封閉形式的解析解，因此，使得最優(yōu)控制的工程實(shí)現(xiàn)了可能。反過(guò)來(lái)又提 出了許多新的理論問(wèn)題，導(dǎo)致最優(yōu)控制的直接和間接計(jì)算方法的大批研究成果的出 現(xiàn)，進(jìn)一步推動(dòng)了控制理論的發(fā)展?，F(xiàn)代控制理論的形成和發(fā)展和數(shù)字計(jì)算機(jī)的飛速 發(fā)展和廣約應(yīng)用密不可分。由于計(jì)算機(jī)的“在線”參與控制，這樣，既不要求把控制 器歸結(jié)為簡(jiǎn)單的校正網(wǎng)絡(luò)，也不一定要求有封閉形式的解析解，因此，使得最優(yōu)控制 的工程實(shí)現(xiàn)了可能。反過(guò)來(lái)又提出了許多新的理論問(wèn)題，導(dǎo)致最優(yōu)控制的直接和間接 計(jì)算方法的大批研究成果的出現(xiàn)，進(jìn)一步推動(dòng)了控制理論的發(fā)展。最優(yōu)控制的含義就是將通常的

24、最優(yōu)控制問(wèn)題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且用數(shù)學(xué)語(yǔ) 言嚴(yán)格的表示出來(lái)，最優(yōu)控制可分為靜態(tài)最有和動(dòng)態(tài)最有兩類(lèi)。靜態(tài)最優(yōu)是指在穩(wěn)定 情況下實(shí)現(xiàn)最優(yōu)，它反映系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的靜態(tài)關(guān)系。系統(tǒng)中的各變量不隨時(shí)間變化， 而只表示對(duì)象在穩(wěn)定情況下各參數(shù)之間的關(guān)系，其特性用代數(shù)方程來(lái)描述。大多數(shù)的 生產(chǎn)過(guò)程受控對(duì)象可以用靜態(tài)最優(yōu)控制來(lái)處。LQR (linear quadratic regulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器，其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以 狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。 LQR最優(yōu)設(shè)計(jì)是指設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J取最小值，而K 由權(quán)矩陣Q與R唯一決定

25、，故此Q、R的選擇尤為重要。LQR理論是現(xiàn)代控制理 論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。特別可貴的是,LQR可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且MATLAB的應(yīng)用為L(zhǎng)QR理 論仿真提供了條件，更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了方便。對(duì)于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和(或)控制變量的 二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題稱(chēng)為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最 優(yōu)控制問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題或線性二次問(wèn)題。線性二次型問(wèn)題的最 優(yōu)解可以寫(xiě)成統(tǒng)一的解析表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)求解過(guò)程的規(guī)范化，并可簡(jiǎn)單地采用狀態(tài)線性 反饋控制律構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)

26、，能夠兼顧多項(xiàng)性能指標(biāo)，因此得到特別的重視， 為現(xiàn)代控制理論中發(fā)展較為成熟的一部分。LQR最優(yōu)控制利用廉價(jià)成本可以使原系統(tǒng)達(dá)到較好的性能指標(biāo)(事實(shí)也可以對(duì)不 穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)行整定)，而且方法簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)利用MATLAB強(qiáng)大的功能體系 容易對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)仿真。LQR控制器是應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制原理設(shè)計(jì)的控制器。它的任務(wù)在于，當(dāng)系 統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時(shí)，能在不消耗過(guò)多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀 態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或可線性化 的，并且性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。本實(shí)驗(yàn)的主要內(nèi)容是 讓實(shí)驗(yàn)者了解并掌握線性二次最優(yōu)控制LQR控

27、制的原理和方法，并對(duì)直線一級(jí)倒立 擺進(jìn)行控制實(shí)驗(yàn)。線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理為，由系統(tǒng)方程：X=AX+Bu確定下列最佳控制向量的矩陣K：u (t)=- K*x (t)使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值:J = j8(x*QX + u*Ru )dt0式中Q一正定(或正半定)厄米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣R一為正定厄下面是最優(yōu)控制米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣LQR控制原理圖:圖2最優(yōu)控制LQR控制原理圖方程右端第二項(xiàng)是是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的，矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性。并且假設(shè)控制向量u(t)是無(wú)約束的。對(duì)線性系統(tǒng)：X = AX + BuY = CX根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以

28、得到反饋矩陣K 的值。K=lqr(A,B,Q,R)改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q值越大(在一定范圍之內(nèi))，系 統(tǒng)抵抗干擾的的能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。但是Q不能過(guò)大，其影響將在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中 闡釋。因此，在本題目中，對(duì)于Q與R的選擇很重要，只有選擇好合適的Q與R 才能得到MATLAB仿真的到正確的結(jié)果。本題目的重點(diǎn)就是選擇合適的Q與R。這需要通過(guò)反復(fù)的實(shí)驗(yàn)得出相對(duì)比較理想 的Q與R。得到滿(mǎn)足課設(shè)要求的結(jié)果。方案設(shè)計(jì)LQR控制電路的原理框圖倒立擺模型* LQR控制器設(shè)* MATLAB 仿圖3 LQR控制電路的原理框圖直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程：x.010.x0000.=0000002

29、9.40010 x 1000y =0=0010_|L0四個(gè)狀態(tài)量x，x，0，0分別代表小車(chē)位移、小車(chē)速度、擺桿角度和擺桿角速 度，輸出y = L,0包括小車(chē)位置和擺桿角度。設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍 輸入時(shí)，擺桿會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到垂直位置，小車(chē)可以到達(dá)新的指定位置。假定全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)(4個(gè)狀態(tài)量都可測(cè))，找出確定反饋控制規(guī)律的向量K,用MATLAB中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。Lqr函數(shù)允許選擇兩個(gè) 參數(shù)R和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。假定R=1,Q=C*C.其中Q1,1 代表小車(chē)位置權(quán)重，而Q33是擺桿角度的權(quán)重。當(dāng)然，也可以通過(guò)改變Q矩陣中的非

30、零元素來(lái)調(diào)節(jié)控制器已彳得到期望的響應(yīng)。軟件編程編程思路：在MATLAB中輸入倒立擺模型中A陣、B陣、C陣以及自己選定Q 陣與R陣，通過(guò)MATLAB中的LQR算法算出K陣。最后通過(guò)響應(yīng)的畫(huà)圖程序仿真 出響應(yīng)的倒立擺階躍響應(yīng)曲線。本次課設(shè)主要用到的是MATLAB進(jìn)行仿真，程序如下:clear;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ;Q11=1000; Q33=200;Q=Q11 0 0 0;0 0 0 0;0 0 Q33 0;0 0 0 0;R = 1;K = lqr(A,B,Q,R)A

31、c = (A-B*K); Bc = B; Cc = C; Dc = D;T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T);Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,X(:,1),-);hold on;plot(T,X(:,2),-.);hold on;plot(T,X(:,3),.);hold on;plot(T,X(:,4),-)%輸入矩陣A%輸入矩陣B%輸入矩陣C%輸入矩陣D%確定Q11與Q33%確定矩陣Q%確定R值%算出K陣%確定T值%確定U值%得到相應(yīng)%繪制響應(yīng)曲線%圖例legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)

32、運(yùn)行程序即可得到K值。系統(tǒng)設(shè)計(jì)和結(jié)果分析根據(jù)LQR的基本理論和方案的設(shè)計(jì)以及MATLAB程序，在MATLAB中進(jìn)行仿 真，得到結(jié)果。取 Q =1，Q =1 時(shí)，可得 K = -1 -1.7855 25.422 4.6849。此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如下圖：圖4系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線1從圖中可以看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，小車(chē)的位置沒(méi)有跟蹤輸入，而是反方向移動(dòng)。當(dāng)縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間，可以發(fā)現(xiàn)：在Q矩陣 中，增加Q”使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短，并且使擺桿的角度變化減小。顯然這個(gè)結(jié) 果是不符合要求的，不能實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。所以要改變Q與R，經(jīng)過(guò)反復(fù)的調(diào)試， 得出比較合理的數(shù)值。這里取Qu=4500，Q33=150，可得 K =-67.0820 -36.6380 107.851019.7621,系統(tǒng)響應(yīng)曲線如下：0.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.0150.511.522.533.544.5CartPosCartSpd, PendAngP