2018第一輪復習 放縮法技巧全總結(jié)

1、不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途僅供個人參考Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse放縮法在數(shù)列不等式中的應(yīng)用數(shù)列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要體現(xiàn)，在高考試題中占有重要地位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)學生在用放縮法處理此類問題時，普遍感到困難，找不到解題思路?，F(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應(yīng)用類型總結(jié)如下。直接放縮，消項求解例1在數(shù)列a,b中，a=2,b=4,且a,b,a成等差數(shù)

2、列，b,a,b成等比數(shù)列nn11nnn+1nn+1n+1ngN*,(I)求a,a,a及b,b,b,由此猜測a,b的通項公式，并證明你的結(jié)論；15+a+b12nn215+2(n+1)nI)a+b612nn11故1+a+b故1+a+ba+b1122+111V+6212x33x4a+bnn+n(n+1)丿11r1=+11r1=+6212綜上，原不等式成立V+=-,6412點評：數(shù)列和式不等式中，若數(shù)列的通項為分式型，可考慮對其分母進行放縮，構(gòu)造等差型因式之積。再用裂項的方法求解。1n(n-1n(n-1)1-1n-1n如：-(k=1,2,n),-V-1-2nn+kn+1nn+1n(n+1)n2例2設(shè)數(shù)

3、列a滿足a=1,a=ca3+1-c,cgN*其中c為實數(shù)n1n+1n(I)證明：ag0,1對任意ngN*成立的充分必要條件是cg0,1；n(II)設(shè)0c1-(3c)n-i,neN*；3n分析：(I)數(shù)學歸納法證明(II)結(jié)論可變形為1-a(3c)n-i，即不等式右邊為一等比數(shù)n列通項形式，化歸思路為對i-a用放縮法構(gòu)造等比型遞推數(shù)列，n即1a=c(1a)(1+a+a2)3c(1a)nn-in-in-in-i解：(I)解略。(II)設(shè)0c2時，310c03n-1n-1n-1n-1點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數(shù)列，再逐項遞推得到結(jié)論。通過放縮得到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式的另一

4、個重要的類型。利用基本不等式放縮例3已知數(shù)列L,a0,a=0,a2+a一1=a2(neN)，記S=a+aHFa,TOC o 1-5 h znn1n+1n+1nn12n111+.+1+a(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)11212n求證：當neN時，(I)an-2；(IU)T0的條件下，aa的等價形式為a2a2，要證a20,即證a1，可用數(shù)學歸納法證明n+1nn+1n由a2a2=1a累加及a1可得n+1nn+1n和式通項的分母由1+a累乘得到的，條件中可有a(1+a)=1+a2得到，但nk+1k+1k(1+a)=土二的分子分母次數(shù)不同，可用基本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列k+1a

5、k+1解略。解略。證明：由a2+a得k+1k+1kk所以1W(a三3),(1+a)(1+a)(1+a)2n-2a34n2于是1Wa=丄三3),(1+a)(1+a)(1+a)2n-2(a2+a)2n-22n-223n22故當n23時，T1+1+1+丄3，又因為TTT，所以T3n22n-2123n點評：本題第三問，基本不等式的應(yīng)用使構(gòu)造等比型遞推數(shù)列成為可能，在公比q0，工a1,k=1,2,nkk+1k+2ii=12求證：0a一a一（k=1,2,.）.kk+1k2分析：有時數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調(diào)性的前提下進行放縮。證明：若有某個aa，則aa-a+aa，從而從a起，數(shù)列a單調(diào)遞增，TOC o

6、 1-5 h zkk+1k+1kk+1k+2k+2kn和S=a+a+a會隨n的增大而趨向于無窮，與工a0，令b=a-a,k=1,2,kk+1nkk+1由a-2a+a0得a-aa-a，即bb,k=1,2,由于1a+a+akk+1k+2kk+1k+1k+2kk+112k2k(k+1)點評：本題考慮了數(shù)列a，b的單調(diào)性，然后利用放縮法進行證明。nn/a/a0,(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)n-1，2Tn1+a1Tn1+a1+(1+a)2(1+a)n-12nl-(_)n1+a21-1+a21，要證T3,1-丄n1+a2只要證1-1+a22而a2=畔2所以問題得證放縮法在數(shù)學歸納法的應(yīng)用數(shù)列不

7、等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法。應(yīng)用數(shù)學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，才能實現(xiàn)由n=k時成立到n=k+1時也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列不等式的求解過程中，通過放縮法的應(yīng)用，主要使數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化為以下兩種類型：（1）可直接裂項的形式，再求和證明求解。（等差型）不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途僅供個人參考（2）等比型遞推數(shù)列，q1時，數(shù)列前n項和有界。（等比型）數(shù)列不等式是一類綜合性較強的問題，我們可以利用上述思路對數(shù)列不等式進行分析、求解。在解題過程中要充分挖掘題設(shè)條件信息，把條件合理的轉(zhuǎn)化、加強、放縮，同時結(jié)合問題的結(jié)構(gòu)、形式等特征，使條件與結(jié)論建立聯(lián)系，從而使解題思路通暢。其中合理、適當?shù)姆趴s是能否順利解題的關(guān)鍵。僅供個人參考僅供個人參考不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfurdenpersdnlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementadesfinspersonnelles;pasa