完全平方公式知識講解

完全平方公式(提高)【學(xué)習目標】能運用完全平方公式把簡單的多項式進行因式分解會綜合運用提公因式法和公式法把多項式分解因式；發(fā)展綜合運用知識的能力和逆向思維的習慣.【要點梳理】要點一、公式法一一完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上(減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(差)的平方.-2ab+b2=(a-b匕即a2+-2ab+b2=(a-b匕形如a2+lab+b2,a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.要點詮釋(1)逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和(或差)的平方.完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點二、因式分解步驟如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解(以后會學(xué)到).要點三、因式分解注意事項因式分解的對象是多項式；最終把多項式化成乘積形式；結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.【典型例題】類型一、公式法一一完全平方公式1、分解因式：(1)-3ax2+6axy一3ay2； (2)a4-2a2b2+b4；(3)16x2y2一(x2+4y2)2； (4)a4-8a2b2+16b4.【答案與解析】解：(1)-3ax2+6axy-3ay2=-3a(x2-2xy+y2)=-3a(x-y)2.(2)a4-2a2b2+b4=(a2-b2)2=[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2.(3)16x2y2-(x2+4y2)2二(4xy)2-(x2+4y2)2二(4xy+x2+4y2)(4xy-x2-4y2)二(x+2y)2[-(x2-4xy+4y2)]二-(x+2y)2(x-2y)2.(4)a4一8a2b2+16b4=(a2一4b2)2=[(a+2b)(a一2b)]2=(a+2b)2(a一2b)2.【總結(jié)升華(1)提公因式法是因式分解的首選法.多項式中各項若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②運用公式法.(2)因式分解要分解到每一個因式不能再分解為止.舉一反三：【變式】分解因式：4(x+a)2+12(x+a)(x+b)+9(x+b)2.4(x+y)2-4(x2-y2)+(x-y)2.【答案】解:(1)原式二[2(x+a)]2+2-2(x+a)-3(x+b)+[3(x+b)]2=[2(x+a)+3(x+b)]2二(5x+2a+3b)2.(2)原式二[2(x+y)]2-2-2(x+y)-(x—y)+(x—y)2二[2(x+y)-(x—y)]2二(x+3y)2.2、(2016?大慶)已知a+b=3,ab=2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3.【思路點撥】先提公因式ab,再根據(jù)完全平方公式進行二次分解，然后帶入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.【答案與解析】解：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2將a+b=3，ab=2代入得，ab(a+b)2=2X32=18.故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18.【總結(jié)升華在因式分解中要注意整體思想的應(yīng)用,對于式子較復(fù)雜的題目不要輕易去括號.舉一反三：【變式】若x，y是整數(shù)，求證：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4是一個完全平方數(shù).【答案】解：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4=[(x+y)(x+4y)[(x+2y)(x+3y)+y4=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4

令x2+5xy+4y2=u上式u(u+2y2)+y4二(u+y2)2二(x2+5xy+5y2)2+y4=(x2+5xy+5y2)2即(x+y)(+y4=(x2+5xy+5y2)2類型二、配方法分解因式3、用配方法來解決一部分二次三項式因式分解的問題，如：x2-2x-8=C2-2x+1)-1-8=(x-1)2-9=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)那該添什么項就可以配成完全平方公式呢？我們先考慮二次項系數(shù)為1的情況：如x2+bx添上什么就可以成為完全平方式?x2+bx+(因此添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方.那么二次項系數(shù)不是1的呢？當然是轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1了?分解因式：3x2+5x-2.【思路點撥】提出二次項的系數(shù)3,轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.【答案與解析】( 5 2)解:女口3x2+5x一2=3x2+—x一一解:I 3 3丿(5)2<6丿49(5)2(7)2—一16丿16丿一57)57)x+—+——x+——66丿66丿636丿=33【總結(jié)升華】配方法，二次項系數(shù)為1的時候，添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方.二次項系數(shù)不是1的時候，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.類型三、完全平方公式的應(yīng)用a4、(2015春?婁底期末)先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式x2±2xy+y2二(x土y)2及(x±y)2的值恒為非負數(shù)的特點在數(shù)學(xué)學(xué)習中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項式2x2+12x-4的最大(小)值時，我們可以這樣處理：解：原式=2(x2+6x-2)=2(x2+6x+9-9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22因為無論x取什么數(shù)，都有(x+3)2的值為非負數(shù)所以(x+3)2的最小值為0,此時x=-3進而2(x+3)2_22的最小值是2X0-22=-22所以當x=-3時，原多項式的最小值是-22.解決問題：請根據(jù)上面的解題思路，探求多項式3x2-6x+12的最小值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值.【答案與解析】解：原式=3(x2-2x+4)=3(x2-2x+1-1+4)=3(x-1)2+9，???無論x取什么數(shù)，都有(x-1)2的值為非負數(shù)，/.(x-1)2的最小值為0,此時x=1，???3(x-1)2+9的最小值為：3X0+9=9,則當x=1時，原多項式的最小值是9.【總結(jié)升華】此題考查了完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】若厶ABC的三邊長分別為a、b、c，且滿足a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求證：a+c二2b.【答案】解:a2-16b2-c2+6ab+10bc=a2+6ab+9b2-(25b2-10bc+c2)=(a+3b匕-(5b-c匕所以(a+3b匕-(5b-c匕=0(a+3b)2=(5b-c)2所以a+3b=土(5b-c)所以a+c=2b或8b=c-a因為△ABC的三邊長分別為a、b、c,c—a<b,所以8b=c—a<b，矛盾，舍去.所以a+c=2b.【變式2】(2015春?蕭山區(qū)期中)若(2015-x)(2013-x)=2014,則(2015-x)