系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第6章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

主講張建華本章主要內(nèi)容：

1穩(wěn)定性的初步概念

2Routh穩(wěn)定判據(jù)

3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

4Bode穩(wěn)定判據(jù)6.1系統(tǒng)的穩(wěn)定性1系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生1）定義：所謂系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象是指系統(tǒng)發(fā)生振蕩，振幅越來(lái)越大，直至無(wú)窮。2）系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象：（1）振蕩發(fā)散。系統(tǒng)的振幅不斷增加，直至無(wú)窮。（2）系統(tǒng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，突然剎車(chē)，停止運(yùn)轉(zhuǎn)（3）正常運(yùn)轉(zhuǎn)的系統(tǒng)由于遇到干擾進(jìn)入混沌狀態(tài)。3)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生的原因：（1）與輸入無(wú)關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件。（2）由于反饋環(huán)節(jié)的存在導(dǎo)致不穩(wěn)定。（3）控制論中的穩(wěn)定性通常指自由震蕩下的穩(wěn)定性。2判別穩(wěn)定性的基本準(zhǔn)則1）定義：若系統(tǒng)在初態(tài)的影響下系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨時(shí)間衰減，并趨于零，則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。2）線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定條件：條件1

若線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

但是在討論系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，通常假設(shè)零輸入條件：Xi=0；必須考慮與初始條件有關(guān)的S多項(xiàng)式M(s)，研究零輸入響應(yīng)特征方程特征根：S=Si，i=1,2,3，……n系統(tǒng)響應(yīng)：（5,1.3）式中由（5.1.3）式可知，必須系統(tǒng)的所有特征根Si的實(shí)部均為負(fù)值，零輸入響應(yīng)x0(t)才能衰減為零，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：條件2。對(duì)線性系統(tǒng)在初態(tài)為零時(shí)，輸入，可得到輸出——單位脈沖W(t)，如果

則系統(tǒng)穩(wěn)定。3系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的全部特征根具有負(fù)實(shí)部。等價(jià)描述：即傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)位于S左半平面。4關(guān)于穩(wěn)定性的一些提法1）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性1882年李雅普諾夫指出考慮線性與非線性系統(tǒng)，若點(diǎn)0為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的初始偏差不超過(guò)域η；而由擾動(dòng)引起的輸出及其終態(tài)不超過(guò)預(yù)先給定的某值，則稱(chēng)系統(tǒng)在李雅普諾夫意義穩(wěn)定。2）漸進(jìn)穩(wěn)定性

由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零，稱(chēng)為漸進(jìn)穩(wěn)定性。3）“小偏差”穩(wěn)定性（1）“小偏差”穩(wěn)定性==“局部穩(wěn)定性”（2）“大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定”6.2Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，需解系統(tǒng)的全部特征根；但高次方程的求解十分困難，需另覓蹊徑。Routh穩(wěn)定判據(jù)是E.J.Routh于1877年提出的方法。1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程要使全部特征根s1,s2,---Sn均具有負(fù)實(shí)部，必須：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai(i=0,1,2,--,n)都不為零。（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai的符號(hào)都相同。上述條件等價(jià)于（5.2.5）（5.2.1）2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：（1）Routh

表

把特征方程（5.2.1）的系數(shù)排列成

Routh

表（2）Routh穩(wěn)定判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是Routh數(shù)列表中第一列各元素符號(hào)均為正，并且其值不為零。若系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列元素的符號(hào)必有改變；符號(hào)改變的次數(shù)=特征方程正實(shí)根的個(gè)數(shù)。例6-1P175—176Routh穩(wěn)定判據(jù)的簡(jiǎn)化形式：（1）對(duì)于2階系統(tǒng)，穩(wěn)定的充分必要條件是（2）對(duì)于3階系統(tǒng)，穩(wěn)定的充分必要條件是（5.2.6）（5.2.7）例6-2P176例6-3P176—1773

Routh判據(jù)的特殊情況（1）Routh數(shù)列表中某行的第一個(gè)元素為零，將導(dǎo)致下一行的第一個(gè)元素?zé)o窮大。處理辦法：用一個(gè)小正數(shù)ε代替第一列那個(gè)為零的元素，然后再計(jì)算其余各元素。例4P172

（2）Routh數(shù)列表中某行的所有元素均為零。處理辦法：利用該行的上一行的元素構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，用這個(gè)多項(xiàng)式方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh數(shù)列表中的下一行，然后在計(jì)算Routh數(shù)列表中其余個(gè)元素。

迷信偉人，不如相信自己例6-2P1764胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)6.3Nyquist

穩(wěn)定判據(jù)1基本原理（1）如右圖，為典型閉環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G(s)H(s)R(s)+C(s)-圖5.3.3典型閉環(huán)系統(tǒng)框圖（2）閉環(huán)特征方程、特征函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是方程的根全部在復(fù)平面的左半平面。為此有2種方法：①解方程——這種方法需解高次方程，很麻煩；②不求根的具體值，僅僅確定根的位置是否在復(fù)平面的左半平面。

對(duì)于第二種方法，常用勞斯(Routh)判據(jù)和Nyquist

判據(jù)。勞斯(Routh)判據(jù)已如前所述。（2）

Nyquist方法的基本步驟①用分析法或?qū)嶒?yàn)法求得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性Gk(jω),即G(j

ω)H(j

ω）曲線。②分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）

Nyquist方法的優(yōu)點(diǎn)①使用方便②能判斷出系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；若不穩(wěn)定，還可知道具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。（4）

Nyquist方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幅角原理（Cauchy定理）——詳見(jiàn)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》（5）幅角原理:設(shè)有復(fù)變函數(shù)（5.3.1）jωσujvLFLs圖5.3.1幅角原理[S][F(s)]設(shè)【S】平面上的解析點(diǎn)S映射到【F(s)】平面上為點(diǎn)F(s)，則【S】平面上的一條封閉曲線Ls也必然映射到【F(s)】平面上，成為L(zhǎng)F，仍是一條封閉曲線。當(dāng)某個(gè)解析點(diǎn)S沿曲線Ls順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，與點(diǎn)S對(duì)應(yīng)的點(diǎn)F（s）以原點(diǎn)為中心順時(shí)針移動(dòng)N圈，這相當(dāng)于曲線LF順時(shí)針包圍原點(diǎn)N次。設(shè)Z是包圍在Ls內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)數(shù)，P是包圍在Ls內(nèi)的F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則

N=Z—P

（5.3.2）關(guān)于幅角原理的說(shuō)明一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+jy

可用復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。（5.3.1）中的S是復(fù)數(shù)，當(dāng)然也可用復(fù)平面[S]上的點(diǎn)來(lái)表示。設(shè)[S]上有一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

，它們的差仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，用幾何方法可表示成一個(gè)向量，如下圖所示；也可用代數(shù)式表示為指數(shù)形式，即··sziS—ziσjωZ1+Z2圖形

S—Zi

圖形

L是Ls若動(dòng)點(diǎn)S繞定點(diǎn)Zi移動(dòng)一周，動(dòng)點(diǎn)軌跡將是一條閉合曲線Ls.(5.3.1)式中Ｆ(s)有m個(gè)零點(diǎn)、n個(gè)極點(diǎn)，它們?cè)凇維]平面的分布如圖5.3.2所示。(5.3.1)式中的各個(gè)因式(s—zi)和(s—Pi),(i=1,2,---n)均可表示為圖中的向量，這些向量也可寫(xiě)成指數(shù)形式。○·○○z1z2z3p2p1p3S--z1S—z2S—z3S—p2S—p1S—p3Ls[S]A(s)ReIm0保角映射LF○零點(diǎn)極點(diǎn)圖5.3.2[S]平面到[F(s)]平面的映射【A(S)]把上兩式代入（5.3.1）式，且假設(shè)其中的m=n,可得

（5.3.3a)（5.3.3)當(dāng)自變量S沿閉曲線Ls順時(shí)針變化一周時(shí)，復(fù)變函數(shù)A(s)的模與幅角也隨之變化。圖中僅有零點(diǎn)z1被圍在閉曲線Ls內(nèi)，向量（S-Z1）復(fù)角的變化為其余各點(diǎn)Z2、Z3---，P1、P2---Pn都在閉曲線Ls之外，幅角的變化均為零，即若Ls內(nèi)有Z個(gè)零點(diǎn)、P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)S沿Ls順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，向量A(S)在【F(s)]平面上沿閉曲線LF變化。其復(fù)角的變化為——幅角原理F(S)繞原點(diǎn)順時(shí)轉(zhuǎn)的圈數(shù)Z、P分別是LS內(nèi)F(S)的零點(diǎn)數(shù)、極點(diǎn)數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）若將“順時(shí)針”改為“逆時(shí)針”，上式應(yīng)變?yōu)?/p>

N=P—Z（2）按照（5.3.2）式，N>0，表示順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)；N=0，表示F(s)不包圍原點(diǎn)；N<0，表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。

（6）Nyquist

穩(wěn)定判據(jù)：G(S）H(S）-Xi（s）X0（s）圖5.3.3閉環(huán)系統(tǒng)右圖所示閉環(huán)傳遞函數(shù)為（5.3.5）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（5.3.4）特征方程1+G(S)H(s)=0；特征函數(shù)

F(s)=G(S)H(s)（5.3.6）（1）推導(dǎo)3個(gè)初步結(jié)論設(shè)開(kāi)環(huán)傳函特征函數(shù)

由以上三式發(fā)現(xiàn)（1）特征函數(shù)F（S）的零點(diǎn)正是閉環(huán)傳函的極點(diǎn)；（2）F（S）的極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)函數(shù)的極點(diǎn)相同；（3）F（S）的極點(diǎn)數(shù)與其零點(diǎn)數(shù)相同，都等于于n.

因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳函及其極點(diǎn)已知，故可通過(guò)對(duì)開(kāi)環(huán)傳函GH和特征函數(shù)A（S）的頻率特性和分析，確定特征函數(shù)F（S）的零點(diǎn)分布，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）[GH]平面為研究F(S)在【S]右半平面有無(wú)零點(diǎn)，可做一條閉曲線Ls,它包圍整個(gè)右半平面：ω

L1:ω=-∞→ω=+∞Ls=L1+L2ωL1:R+∞的半圓弧L2L1R[S]-j+j圖5.3.4【S]右半平面由F(s)=1+GH得，GH=F(s)—1.故把【F(s)】平面的虛軸右移一個(gè)單位，可得到【GH】平面。兩個(gè)平面的關(guān)系為：

（1）【F(s)]平面坐標(biāo)原點(diǎn)【GH】平面的（-1，j0)點(diǎn)；（2）F(s)的映射曲線Ls包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N=Z-P等于GH的映射曲線Lf包圍點(diǎn)（—1，j0)的圈數(shù).ReReImIm[F(s)][GH·]···(-1,j0)001LfLGH圖5.3.5【F]平面與【GH】平面2開(kāi)環(huán)最小相位系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件在【S\]右半平面的極點(diǎn)數(shù)P=0，

IF曲線比對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線先交予橫軸，即ωc<ωg,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

IF曲線比對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線后交予橫軸，即ωc>ωg,則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

IFωc=ωg，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3用Bode圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性方法的優(yōu)點(diǎn)（1）Bode圖可用其漸近線近似，簡(jiǎn)便易行。（2）由Bode圖的漸近線可大致判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）由Bode圖可分別作出所有環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻特性曲線，以便明確哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定的因素，從而合理選取參數(shù)，進(jìn)行校正。（4）調(diào)整開(kāi)環(huán)增益時(shí)只需上下平移對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。6.4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性概述：兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)若都是穩(wěn)定的，哪個(gè)更穩(wěn)定呢？其開(kāi)環(huán)頻率特性的Nyquist軌跡到達(dá)標(biāo)志點(diǎn)(-1，j0)距離越近的，穩(wěn)定性越差。1相位裕度（1）定義：在ω=ωc時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的相頻特性∠GH距-180°線的相位差γ

叫做相位裕度。穩(wěn)定系統(tǒng)：

γ在Bode圖橫軸以上——正相位裕度不穩(wěn)定系統(tǒng)：γ在Bode圖橫軸以下——負(fù)相位裕度（2）圖示：P187。圖5.5.1.開(kāi)環(huán)頻率特性的Nyquist圖中（1）穩(wěn)定系統(tǒng)，γ角必在Nyquist圖負(fù)實(shí)軸以下。（2）不穩(wěn)定系統(tǒng)，γ角必在Nyquist圖負(fù)實(shí)軸以上。

圖形5.5.1相位裕度、幅值裕度γ1-j+jImReΦ(ωc)G(jω)H(j

ω)(-1,j0)ω=0[GH]ωgγ1-j+jReΦ(ωc)G(jω)H(j

ω)(-1,j0)ω=0ωgωcγωc20Lg?GH?20Lg?GH?Lg

ωLg

ω00-180ωgKg(dB)>0γωgωc-180（a)相位裕度、幅值裕度均為正(b)相位裕度<0、幅值裕度<0（c)（d)相位裕度、幅值裕度均為正相位裕度<0、幅值裕度<02幅值裕度1定義：當(dāng)頻率ω為相位穿越頻率ωg時(shí)，即開(kāi)環(huán)頻率特性的倒數(shù)叫做系統(tǒng)的幅值裕度，即2在Bode圖上，幅值裕度用dB表示為對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)在0dB線以下，Kg(dB)>0,叫做正幅值裕度。如圖5.5.1（C）所示。對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)在0dB線以上，Kg(dB)>0,叫做負(fù)幅值裕度。如圖5.5.1（d）所示。3在Nyquist圖中

故開(kāi)環(huán)尼奎斯特軌跡與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為1/Kg,它表示ω=ωg時(shí)的對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)結(jié)論：P=0的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，γ>0,1/Kg<1.系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)具有較好的相對(duì)穩(wěn)定性，一般要求：例1，P188--189例2P189---200

重點(diǎn)講解本章總結(jié)1系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念2系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)（1）代數(shù)判據(jù)：Routh判據(jù)–Routh數(shù)表（2）幾何判據(jù)3系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

–Nyquist圖Bode穩(wěn)定判據(jù)–Bode圖（1）幅值穿越頻率ωc

與相位穿越頻率ωg（2）相位裕度γ。Γ=180+φ（ωc

）與幅值裕度Kg作業(yè)：P196---1985.2,5.3,5.4,5.6（2），5.8,5.10,5.11，

5.13,5.15,5.17,5.18,5.20第7章

系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正

主編楊叔子主講張建華本章要點(diǎn)：（1）系統(tǒng)的性能指標(biāo)（2）系統(tǒng)的校正：串聯(lián)校正、PID校正、反饋校正、順饋校正概述

1系統(tǒng)正常正常工作的充要條件：系統(tǒng)既要穩(wěn)定，又要能按給定的性能指標(biāo)工作。

2系統(tǒng)的綜合與校正：如果系統(tǒng)不能滿足所要求的性能指標(biāo)，可以對(duì)原選定的系統(tǒng)增加一些必要的元件或環(huán)節(jié)，從而使系統(tǒng)全面滿足所要求的性能指標(biāo)。

6.1系統(tǒng)的性能指標(biāo)性能指時(shí)域性能指標(biāo)頻域性能指標(biāo)瞬態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)延遲時(shí)間、上升時(shí)間峰值時(shí)間、最大超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間。穩(wěn)態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)偏差。相位裕度、幅值裕度；復(fù)現(xiàn)頻率、復(fù)現(xiàn)帶寬；諧振頻率、諧振峰值；截止頻率、截止帶寬；幅值穿越頻率、相位穿越頻率。綜合性能指標(biāo)誤差積分性能指標(biāo)誤差平方積分性能指標(biāo)廣義誤差積分性能指標(biāo)例1P201例2P2026.2系統(tǒng)的校正系統(tǒng)的性能指標(biāo)很多。幾個(gè)性能指標(biāo)的要求往往互相矛盾、顧此失彼。例如，減小了穩(wěn)態(tài)誤差，可能會(huì)降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。此時(shí)，首先考慮主要性能，然后兼顧其他。6.2.1校正的概念

在系統(tǒng)中增加新環(huán)節(jié)，以改善系統(tǒng)性能的方法叫校正或稱(chēng)補(bǔ)償。例1看楊叔子視頻例2看楊叔子視頻6.2.2校正的分類(lèi)：串聯(lián)校正反饋校正順饋校正圖6-24反饋校正G1（s）G2（s）Gc（s）Xi(s)X0(s)++--圖6-24反饋校正Gc（s）G（s）Xi(s)+X0(s)圖6-243串聯(lián)校正G（s）Gc（s）圖6-25順饋校正Xi(s)X0(s)+-++6.3串聯(lián)校正1定義：校正環(huán)節(jié)Gc(s)串聯(lián)在原傳遞函數(shù)方框圖的前向通道中的校正方法叫做串聯(lián)校正。

通常把校正環(huán)節(jié)Gc(s)串聯(lián)在前向通道的前端。2分類(lèi)：①增益調(diào)整R(s)C(s)②相位超前校正③相位滯后校正-④相位滯后--超前校正例題用圖3控制系統(tǒng)的增益調(diào)整

增益調(diào)整是改進(jìn)控制系統(tǒng)的性能使其滿足相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)精度的有效方法。例題:右圖為具有單位負(fù)反饋環(huán)節(jié)的位置控制系統(tǒng)的框圖，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Gp(s)：要求改變?cè)鲆?，使其具?5°的相位裕量解：1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性、對(duì)數(shù)相頻特性分別是繪制漸近Bode圖如圖7-8所示。2由圖7-8知，校正前，幅值穿越頻率---幅值曲線①與0分貝線交點(diǎn)出的頻率ωc≈50rad/s,系統(tǒng)的相位裕量γ≈11°①②L(ω)/dBω60200-20400.1101001圖7-8增益調(diào)整Bode圖

證明：由定義，令3

現(xiàn)在要通過(guò)調(diào)整增益使系統(tǒng)滿足這一要求。為此，令這時(shí)，系統(tǒng)的相位角為系統(tǒng)的幅值為這相當(dāng)于將原增益縮小為1/25,就可以滿足相位裕量達(dá)到45°的要求。所以校正后的傳遞函數(shù)為6.3.1相位超前校正相位超前校正的必要性：增加系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但是同時(shí)會(huì)使相位裕度減小，造成系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。為解決這一矛盾，可采用相位超前校正。1校正原理及其頻率特性。C例以高通濾波器為例，傳遞函數(shù)為圖6.3.1相位超前環(huán)節(jié)(6.3.1)該系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成（6.3.1）的證明：微分方程:拉氏變換：由后三式得：#頻率特性相頻特性幅頻特性

這是一個(gè)過(guò)點(diǎn)（1，j0）、半徑為（1-α)/2、圓