浙江省高考數(shù)學(xué)專題平面向量與解三角形平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

考點一

平面向量的數(shù)量積考點清單考向基礎(chǔ)1.向量的數(shù)量積的定義(1)向量a與b的夾角已知兩個非零向量a和b,過O點作

=a,

=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.當(dāng)θ=90°時,a與b垂直,記作a⊥b;當(dāng)θ=0°時,a與b同向;當(dāng)θ=180°時,a與b反

向.(2)a與b的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則把|a|·|b|·cosθ叫做a和b的數(shù)

第1頁/共16頁第一頁，共17頁。量積(或內(nèi)積),記作a·b=|a|·|b|·cosθ.(3)規(guī)定:0·a=0.(4)a·b的幾何意義a.一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)θ是非零向量a與b的夾角,則①|(zhì)a|cosθ

叫做a在b的方向上的投影,

②|b|cosθ

叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個實

數(shù),而不是向量.當(dāng)0°≤θ<90°時,它是正值;當(dāng)90°<θ≤180°時,它是負(fù)值;當(dāng)

θ=90°時,它是0.b.a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,θ是a與e的夾角,則第2頁/共16頁第二頁，共17頁。(3)當(dāng)a與b同(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.(2)a⊥b?③

a·b=0

.向時,a·b=|a||b|,當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a||b|,特別地,a·a=|a|2.(4)θ亦為a、b的夾角,且cosθ=④

.(5)|a·b|≤|a|·|b|.3.向量的數(shù)量積的運算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.第3頁/共16頁第三頁，共17頁。4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=

.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|

|=

,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?⑤

x1x2+y1y2=0

.5.向量中的重要不等式若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則-|a||b|≤a·b≤|a||b|?-

·

≤x1x2+y1y2≤

·

.第4頁/共16頁第四頁，共17頁?？键c二

向量的綜合應(yīng)用考向基礎(chǔ)1.向量的坐標(biāo)表示與運算可以大大簡化向量數(shù)量積的運算.由于有

關(guān)長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數(shù)量積來解決,因此我們可

以利用表示向量的直角坐標(biāo)求出向量的長度、平面內(nèi)兩點間的距離、

兩個向量的夾角,判斷兩向量是否垂直.2.用向量法證明幾何問題的基本思想:將問題中有關(guān)幾何量表示為向量,

然后根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點,應(yīng)用向量的運算法則,推出所要求證的結(jié)

論.要注意挖掘題目中,特別是幾何圖形中的隱含條件.3.證明直線平行、垂直,線段相等等問題的基本方法(1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化為證明

=

或|

|=|

|.(2)要證AB∥CD,只要證存在一實數(shù)λ≠0,使等式

=λ

成立即可.第5頁/共16頁第五頁，共17頁。(3)要證AB⊥CD,只需證

·

=0.【知識拓展】向量中常用的結(jié)論:在△ABC中,設(shè)∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c.(1)在

=λ

的條件下,存在λ,使得I為△ABC的內(nèi)心;a

+b

+c

=0?P為△ABC的內(nèi)心.(2)|

|=|

|=|

|?P為△ABC的外心.(3)

+

+

=0?G為△ABC的重心.(4)

·

=

·

=

·

?P為△ABC的垂心.第6頁/共16頁第六頁，共17頁?？枷蛲黄瓶枷蛞?/p>

利用數(shù)量積求長度問題例1

(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,7)已知A,B是半徑為

的☉O上的兩個點,

·

=1,☉O所在平面上有一點C滿足|

+

-

|=1,則|

|的取值范圍是

()A.[2

-1,2

+1]

B.

C.[

-1,

+1]

D.[

-1,

+1]第7頁/共16頁第七頁，共17頁。解析以O(shè)為原點,OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,由

·

=1,得∠AOB=

,于是A(

,0),B

,設(shè)C(x,y),則

+

=1.問題轉(zhuǎn)化為求圓

+

=1上一點到原點的距離的取值范圍.因為原點到圓心

的距離為

,且圓的半徑為1,所以|

|的取值范圍為[

-1,

+1].答案

C第8頁/共16頁第八頁，共17頁。考向二

用數(shù)量積求角度問題例2

(2018浙江嵊州第一學(xué)期期末質(zhì)檢,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=|2

b-a|,則|b|的最大值為

,a與b的夾角的取值范圍為

.解析因為|2|b|-|a||≤|2b-a|≤2|b|+|a|,即|2|b|-|a||≤|b|≤2|b|+|a|,所以-|b|≤2|b|-|a|≤|b|,從而

≤|b|≤|a|,即

≤|b|≤1.對|b|=|2b-a|兩邊平方,可得b2=4b2-4a·b+a2,從而cos<a,b>=

=

=

·(3|b|+

)≥

,當(dāng)且僅當(dāng)|b|=

時等號成立.所以a與b的夾角的取值范圍為

.答案1;

第9頁/共16頁第九頁，共17頁。方法1

利用數(shù)量積求長度和夾角的方法一、求夾角的方法1.定義法:利用向量數(shù)量積的定義知,cosθ=

,其中兩個向量的夾角θ∈[0,π],求解時應(yīng)求出三個量:a·b,|a|,|b|或找出這三個量之間的關(guān)系.2.坐標(biāo)法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a,b的夾角,則cosθ=

.3.三角函數(shù)法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中,利用正、余弦定

理和三角形的面積公式進(jìn)行求解.方法技巧第10頁/共16頁第十頁，共17頁。二、求長度的方法1.|a|=

=

;2.|a±b|=

;3.若a=(x,y),則|a|=

.例1

(2018浙江嘉興教學(xué)測試(4月),16)已知|c|=2,向量b滿足2|b-c|=b·c,

當(dāng)b,c的夾角最大時,|b|=

.解題導(dǎo)引

第11頁/共16頁第十一頁，共17頁。解析設(shè)向量b,c的夾角為θ,因為b·c=2|b-c|≥0,所以θ∈

,由2|b-c|=b·c知,2

=|b||c|cosθ,兩邊平方可知,4+|b|2-4|b|cosθ=|b|2cos2θ,即sin2θ|b|2-4|b|cosθ+4=0,所以關(guān)于|b|的方程有解,此時Δ=16cos2θ-16sin2θ≥0,要使夾角最大,僅需

考慮sinθ>0,所以tanθ≤1,即θ≤

,所以θ的最大值為

,此時|b|=2

.答案2

第12頁/共16頁第十二頁，共17頁。方法2

利用向量解決幾何問題的方法1.用向量法解決平面幾何問題的基本步驟:①建立平面幾何與向量的聯(lián)

系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的

問題;②通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;

③把運算結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系.2.用向量法解平面幾何問題,主要是通過建立平面直角坐標(biāo)系將問題坐

標(biāo)化,然后利用平面向量的坐標(biāo)運算求解有關(guān)問題,這樣可以避免繁雜

的邏輯推理,同時加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.第13頁/共16頁第十三頁，共17頁。例2

(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,15)已知△ABC的外心為O,a,b,c

分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且

+

+

=0,則a,b,c的關(guān)系為

,cosB的取值范圍為

.解題導(dǎo)引

第14頁/共16頁第十四頁，共17頁。解析設(shè)AC邊上的中點為D,則OD⊥AC,從而有

·

=(

+

)·

=

·

+

·

=

·

+0=

b2,同理有

·

=

c2,∴

·

=

·(

-

)=

b2-

c2.同理有

·

=

c2-

a2,

·

=

a2-

b2,∴由

+

+

=0,得a2+2c2=3b2.∵cosB=

=

=

≥

=

(當(dāng)且僅當(dāng)

a=c時取等號),cosB<1,∴

≤cosB<1.答案

a2+2c2=3b2;