全等三角形中輔助線的添加

1/291/29全等三角形中輔助線的添加內容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質的掌握及熟練應用。1、添加輔助線的方法和語言表述(1)作線段：連接……；(2)作平行線：過點……作……∥……；(3)作垂線(作高)：過點……作……⊥……，垂足為……；(4)作中線：取……中點……，連接……；(5)延長并截取線段：延長……使……等于……；(6)截取等長線段：在……上截取……，使……等于……；(7)作角平分線：作……平分……；作角……等于已知角……；(8)作一個角等于已知角：作角……等于……。2、全等三角形中的基本圖形的構造與運用(1)倍長中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點有關的線段)，通?？紤]倍長中線或類中 (2)截長補短法：若遇到證明線段的和差倍分關系時，通?？紤]截長補短法，構造全等三角形。①截長：在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；②補短：將一條較短線段延長，延長部段。 (3)一線三等角問題(“K”字圖、弦圖、三垂圖)：兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三角形的(4)角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對稱軸利用”軸對稱性“構造全等三角形。 (5)角含半角、等腰三角形的(繞頂點、繞斜邊中點)旋轉重合法：用旋轉構造三角形全等。 (6)構造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、對稱和弦圖也可以構造)和等邊三角形的特殊三角形來構造全等三角形。三、基本模型：(1)ABCDABCDE2/292/29AFBDCBDEAMDCN(2)BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分線，分兩邊，對稱全等要記全角分線+垂線，等腰三角形必呈現(三線合一)(4)3/293/29M(5)手拉手模型結論：(1)△ABF≌△AEC；(2)∠B0E=∠BAE=60°(“八字型”模型證明)；(3)OA平分∠EOF4/294/29(4)、PQ∥AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分∠AOE(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD((7)，(8)需構造等邊三角形證明)③ABEF和ACHD均為正方形S=S求證：①T為FD的中點.②ABCADF.EHPEHPDABGFCIIIHGP1ADKEBFCJ2考點一：倍長中線(或類中線)法：ABDC5/295/29AEF6/296/29ABDECBDCBDADBCFEAF7/297/29EF8/298/29AFFBDEC(1)如圖①當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數量關系是；(2)將圖①中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉9。(0<9<90)后，如圖②所示，(1)問中得到的兩個結．(2)將圖1中的△ADE繞點A旋轉到圖2的位置時，判斷(1)中的結論是否仍然成立，并說明理由．BEMDBAMEDEC(2)如果將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角，如圖②，那么(1)中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．BEEMADAEBBDMAC(2)如圖②，點D不在AB上，(1)中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由.BBEMCAEDABMCEC (1)如圖24-1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關系及的值；(2)將圖24-1中的BEF繞點B順時針旋轉至圖24-2所示位置，請問(1)中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；9/299/29點共線時，求DF的長及∠ABF的度數。ADAGFEBCEEADAGFBCABD核心母題如圖，AD∥BC，EA，EB分別平分∠DAB，∠CBA，CD過點E，求證：AB=AD+BC．FBACFA1010/2910/29B11/2911/29ABDC的對角線BD上一點，且ADPBCAEOBCD12/2912/2912考點三：一線三等角問題(“K”字圖)13/2913/292、兩個全等2、兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直14/2914/29E。E(1)當直線MN繞點C旋轉到圖(1)的位置時，求證：DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖(2)的位置時，求證：DE=AD—BE；(3)當直線MN繞點C旋轉到圖(3)的位置時，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關系？請寫出等量關系，并MADCENBMCDBEABENMCEBDN4、4、如圖所示，AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直線上，如按照圖中所標注的數據及符號，則圖中實線所圍成的圖形面積是？1231223ll2l3llAEll1D2l3Bl315/2915/29旋轉的方法構造全等三角形解決問題．具體作法如圖2所示：在直線l任取一點A，作AD⊥l于點D，作∠DAH=90°，12在AH上截取AE=AD，過點E作EB⊥AE交l于點B，連接AB，作∠BAC=90°，交直線l于點C，連接BC，即可得參考小雨同學的方法，解決下列問題：lll2l3l2l37、如圖，在平面直角坐標系中，將直角三角形的直角頂點放在P(5,5)處，兩條直角邊與坐標軸分別交于點A9、9、已知：在平面直角坐標系中，等腰直角△ABC頂點A、C分別在y軸、x軸上，且∠ACB=90°，AC=BC．(2)如圖2，當點C在x軸正半軸上運動，點A(0，a)在y軸正半軸上運動，點B(m，n)在第16/2916/29考點四：角平分線、中垂線法核心母題APPBDC22、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊．∠B的角平分線交AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E，求證：BD=2CE．17/2917/29BE-AC=AEAPPBCD(2)若BD=8cm，DE=3cm，求CE的長．18/2918/29(1)AC-BE=AE；(2)AC=2BD．AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF=CG．FAGBEDC19/2919/2920/2920/29ADBD＝BCADBCAECBD(1)當直線l經過點C時(如圖2)，證明：BN=CD；(2)當M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關系，并加以證明；(3)請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關系．21/2921/29A221EBCABDBM1變式一：如圖∠1=∠2，B為AC中點，CM⊥FB于M，AN⊥FB于N，求證：①EF=2BM；②FB=(FM+FN)222/2922/291F，求證：MF=(ACAB)。2ABDFMC考點五：角含半角、等腰三角形的(繞頂點)旋轉重合法習23/2923/2924/2924/29猜想，并加以證明；寫出你的猜想．(1)求證：EF=BE+FD(2)如果E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，其他條件不變，結論是否仍然成立？說明理由。25/2925/296、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDE的面積．(1)求證：EF=BE+DF；CCD2所示，試探究EF、BE、DF之間的數量關系．26/2926/29的度數考考點六：構造特殊三角形27/2927/292、如圖，在正方形網格圖中，求∠1＋∠2＋∠3的度數和。28/2928/29D(2)當∠ADB變化，且其它條件不變時，求CD的最