新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何加練課2空間角的計(jì)算學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE9加練課2空間角的計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解利用空間向量求空間角的方法與步驟.2.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角的計(jì)算問題.自主檢測·必備知識一、概念辨析，判斷正誤1.兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(×)2.直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(×)3.兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.(×)4.兩異面直線夾角的范圍是(0,π2]，直線與平面所成角的范圍是[0,二、夯實(shí)基礎(chǔ)，自我檢測5.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A.45°B.C.45°或135°答案：C解析：cos?m,∴兩平面所成的二面角為45°或1806.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°,M,NA.110B.25C.30答案：C解析：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直三棱柱的棱長為2，則∴BM∴cos7.已知空間四個(gè)點(diǎn)A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，則直線AD與平面ABC所成的角的大小為.答案：30解析：∵A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4)，∴AD設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)則n?AB→=-5x-y+z=0,n設(shè)直線AD與平面ABC所成的角為θ，則sinθ=又0°≤θ≤90°,∴θ=30°，∴互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一求異面直線所成的角精講精練例三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，A.33B.66C.3答案：B解析：設(shè)棱長為1，AA由題意得a?∵A∴A又|A|=b∴cos即異面直線AB1與BC解題感悟（1）求兩異面直線所成的角有兩種方法：基向量法和坐標(biāo)法；（2）兩異面直線所成角的范圍是θ∈(0,π2]，兩向量的夾角α遷移應(yīng)用1.（2020山西晉城高二期中）底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱錐．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為1，側(cè)棱長為2，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角的余弦值為()A.33B.63C.2答案：B解析：如圖所示，以正方形ABCD的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA方向?yàn)閤軸正方向，AB方向?yàn)閥軸正方向，OP方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(12,-則PO=P∴P(0,0,142)，∵E∴E(-1AP=(-BE=(-∴cos即異面直線PA與BE所成角的余弦值為63探究點(diǎn)二求直線與平面所成的角精講精練例（2021天津耀華中學(xué)期中）如圖所示的多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BP上一點(diǎn)，∠CDP=120（1）若F為BP的中點(diǎn)，證明：EF∥平面PDC；（2）若BF=13BP，求直線答案：（1）證明：取PC的中點(diǎn)為O，連接FO,DO，因?yàn)镕,O分別為BP,PC的中點(diǎn)，所以FO∥BC，且FO=1又四邊形ABCD為平行四邊形，所以ED∥BC，且ED=1所以ED∥FO，且FO=ED，即四邊形EFOD是平行四邊形，即EF∥OD，又EF?平面PDC，OD?平面PDC，所以EF∥平面PDC.（2）以D為原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，在平面PDC中過D作CD的垂線為y軸，DA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,23∴CB設(shè)點(diǎn)F(a,b,c)，∵BF∴(a-2,b,c-3)=1解得a=2∴F(2設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)則n取x=1，得n=(1,設(shè)直線AF與平面PBC所成的角為θ，則直線AF與平面PBC所成角的正弦值sinθ=解題感悟利用向量求線面角的方法：（1）通過平面的法向量來求解，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角；（2）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）.遷移應(yīng)用1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=CD=CB=2,∠ABC=60°，矩形ACFE中，（1）求證：BC⊥平面ACFE；（2）求直線BD與平面BEF所成角的正弦值.答案：（1）證明：由題意可知四邊形ABCD是等腰梯形，∠ADC=120∴∠DCA=∠DAC=30∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90∵矩形ACFE中，CF=AE=2，又有BF=22，CB=2，∴CB⊥CF又∵AC∩CF=C，AC,CF?平面ACFE，∴BC⊥平面ACFE.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則C(0,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),D(3∴EF設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)∴n?EF→=-23x=0,n?又BD=(3,-3,0)，設(shè)直線BD與平面BEF所成的角為θ∴直線BD與平面BEF所成角的正弦值是64探究點(diǎn)三求二面角精講精練例如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2，D，（1）求證：平面AEB⊥平面A1（2）求二面角D-BE-A答案：（1）證明：∵AB=BC=CA，D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，A∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴BD⊥平面AA1∵在正方形AA1C1C∴△A∵∠AEC+∠CAE=90°,∴∠又A1D∩BD=D，A1∴AE⊥平面A1BD，又AE?平面∴平面AEB⊥平面A1（2）取A1C1的中點(diǎn)F，連接DF，以D為原點(diǎn)，DF,DA,DB所在直線分別為x軸，y則D(0,0,0),E(1,-1,0),B(0,0,3則DB設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為m=(則DB→?令x1=1，則設(shè)平面BA1E則BA1→?n=0,E設(shè)二面角D-BE-A1的平面角為θ，觀察可知?jiǎng)t|cos<m,n解題感悟1.利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法：（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.（2）找與棱垂直的向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直，且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.2.利用法向量求二面角的兩個(gè)注意點(diǎn)：（1）對于某些平面的法向量可能在題中隱含著，不用單獨(dú)求.（2）注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行判斷，以防結(jié)論失誤.遷移應(yīng)用1.（2020廣州高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，AD⊥DC,PC⊥PD,PC=PD=AD=2，M為PA的中點(diǎn).（1）求證：平面ACP⊥平面MCD；（2）求二面角C-MD-P的余弦值.答案：（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PCD，且平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊥DC，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PC.又PC⊥PD,AD∩PD=D，所以PC⊥平面PAD.又MD?平面PAD，所以PC⊥MD.又因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，PD=AD，所以MD⊥AP，且AP∩PC=P所以MD⊥平面PAC，又MD平面MCD，所以平面ACP⊥平面MCD.（2）設(shè)CD的中點(diǎn)為O，作OE交AB于E，連接OP.由（1）知AD⊥平面PCD，所以EO⊥平面PCD，由PC⊥PD，且PC=PD，可得OP,OD,OE兩兩垂直，所以以O(shè)為原點(diǎn)，OP,OD,OE所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A(0,2所以DM=(設(shè)平面CMD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)由m?DM令x=2，得m易知平面PMD的一個(gè)法向量為CP=(所以cos?由圖可知，二面角C-MD-P為銳角，故其余弦值為33評價(jià)檢測·素養(yǎng)提升1.若平面α的一個(gè)法向量為n1=(3,2,1)，平