基于無(wú)單元galerkin法的超長(zhǎng)嵌巖灌注樁屈曲穩(wěn)定性分析

基于無(wú)單元galerkin法的超長(zhǎng)嵌巖灌注樁屈曲穩(wěn)定性分析

洞庭湖區(qū)的頂層很脆弱很深。為了滿足上部橋梁結(jié)構(gòu)對(duì)基本承受和變形的要求，主要采用樁基，通常是高承臺(tái)式的長(zhǎng)石樁。而這類樁基的承載力取決于樁頂容許變形及樁身壓屈穩(wěn)定性。事實(shí)上,當(dāng)樁周上覆土體軟弱或易振動(dòng)液化、樁頂自由長(zhǎng)度較大(高承臺(tái))及樁身較長(zhǎng)且嵌巖時(shí),樁身可能如細(xì)長(zhǎng)桿產(chǎn)生突發(fā)且后果嚴(yán)重的屈曲破壞。但直至20世紀(jì)20年代,有關(guān)樁的屈曲穩(wěn)定問(wèn)題才引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者重視,如Lee(1968)的室內(nèi)模型鋼鋁樁試驗(yàn)結(jié)果證明了軟土中樁身屈曲破壞的可能性,Reddy(1970)等提出的屈曲分析能量法解答。國(guó)內(nèi)70年代胡人禮等首先提出了一組樁身計(jì)算長(zhǎng)度經(jīng)驗(yàn)公式(現(xiàn)仍被采用)。至90年代,隨著超長(zhǎng)樁的逐漸使用,樁身壓屈問(wèn)題受到進(jìn)一步重視,不少學(xué)者開(kāi)展了更深入的研究,如趙明華提出的樁身穩(wěn)定長(zhǎng)度計(jì)算公式及所完成的室內(nèi)模型試驗(yàn)等。然而,已有方法幾乎無(wú)一例外是基于第一類穩(wěn)定問(wèn)題的特征值法:視樁身為理想軸壓桿,不考慮樁-土共同作用,將樁身失穩(wěn)臨界荷載歸結(jié)為穩(wěn)定特征方程的求解,所獲解答為第二類問(wèn)題(由于樁身初始缺陷、樁土接觸與材料非線性等,樁身屈曲穩(wěn)定應(yīng)屬第二類)的上限,用于工程偏于不安全,故有必要按第二類問(wèn)題采用數(shù)值法分析樁身屈曲穩(wěn)定性。作為數(shù)值分析的有力工具,有限元法已在工程領(lǐng)域取得巨大成就。但對(duì)于基樁屈曲分析中存在的剛度懸殊、滑移與開(kāi)裂等非變形協(xié)調(diào)問(wèn)題,網(wǎng)格的存在妨礙處理與原始網(wǎng)格線不一致的不連續(xù)性和大變形,需不斷進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu),導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果精度降低甚至不收斂,有必要尋求脫離于單元的數(shù)值法。20世紀(jì)70年代以來(lái)迅速發(fā)展的無(wú)單元法(meshlessmethod)就是在此需求下產(chǎn)生的,其共同點(diǎn)是:基于點(diǎn)近似,無(wú)需劃分單元,具有良好的動(dòng)態(tài)追蹤裂紋或不連續(xù)面擴(kuò)展的能力,其中尤以無(wú)單元伽遼金法(ElementFreeGalerkinMethod,EFGM)具有求解穩(wěn)定、精度高、并可消除體積閉鎖等優(yōu)點(diǎn)而應(yīng)用廣泛,故本文引入該法進(jìn)行樁身屈曲分析。1點(diǎn)x支持域+點(diǎn)x-1無(wú)單元法基于分析域上某一局部范圍內(nèi)的離散場(chǎng)點(diǎn)采用移動(dòng)最小二乘(MovingLeastSquare,MLS)法插值后得到近似場(chǎng)函數(shù)。設(shè)u(x)為分析域內(nèi)的位移場(chǎng)函數(shù),域內(nèi)某點(diǎn)x(對(duì)二維問(wèn)題,x=(x,y)T,u=(u,v)T)處的近似值uh(x)可由MLS法表示為:其中:a(x)為與坐標(biāo)x有關(guān)的系數(shù)向量;PT(x)為m階完備多項(xiàng)式基函數(shù)向量,對(duì)二維問(wèn)題表示為:系數(shù)向量a(x)(=(a1(x),a2(x),...,am(x))T)可由點(diǎn)x支持域(supportdomain)內(nèi)n個(gè)節(jié)點(diǎn)(x1,x2,...,xn)的場(chǎng)值求得。所謂點(diǎn)x的支持域,即局部范圍內(nèi)用來(lái)求得該點(diǎn)近似函數(shù)值的若干節(jié)點(diǎn)數(shù),常用的形式有圓形與矩形等,如圖1所示。設(shè)點(diǎn)x的支持域內(nèi)有n個(gè)節(jié)點(diǎn),其位移分別為u1,u2,...,un,則可由MLS法即式(1)得該節(jié)點(diǎn)的局部近似函數(shù)值為:為確定a(x),先構(gòu)建帶權(quán)重的L2范數(shù)J(x):式中,w(x-xI)為非負(fù)的具有緊支性的連續(xù)可導(dǎo)型權(quán)函數(shù),即支持域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的權(quán)函數(shù)在點(diǎn)x處的權(quán)值,常用形式有指數(shù)型、樣條型等。然后,系數(shù)向量a(x)可由式(4)的加權(quán)殘量最小原則求解,即由?J/?a=0可得:將式(5)代入式(1),并整理后可得:式中,φI(x)、ΦT(x)分別為形函數(shù)和形函數(shù)矩陣。采用隨空間坐標(biāo)變化的移動(dòng)權(quán)函數(shù)w(x)及系數(shù)向量a(x),是MLS區(qū)別于其他最小二乘法的關(guān)鍵所在。若所有權(quán)函數(shù)所給權(quán)值為常量,則式(1)即為標(biāo)準(zhǔn)的非移動(dòng)最小二乘近似,且a(x)也成為常系數(shù)向量。但MLS近似不一定精確通過(guò)插值節(jié)點(diǎn),構(gòu)造的形函數(shù)不具備Kroneckerδ函數(shù)性質(zhì),導(dǎo)致邊界條件(essentialboundaryconditions)的施加不如有限元法直接方便,需采用其他輔助法實(shí)現(xiàn)。2樁底板的非變形協(xié)調(diào)材料的不連續(xù)處理2.1適用條件分析目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不少接觸面本構(gòu)模型[11―12],各有其特點(diǎn)與適用性,且更多的是剪應(yīng)力τs與剪切位移s間的關(guān)系。經(jīng)綜合考慮,本文采用非線性彈性-理想塑性的樁土接觸面本構(gòu)關(guān)系,如圖2所示。2.2節(jié)點(diǎn)位移向量考慮一般情況,建立樁土位移不連續(xù)界面元局部坐標(biāo)系及其方向如圖3所示,其中s軸與整體坐標(biāo)系x軸夾角為θ,以u(píng)′,v′和u,v分別表示局部與整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)的位移,并規(guī)定法向應(yīng)力σn以拉為正,切向應(yīng)力τs以逆時(shí)針為正,而其大小與變形成的關(guān)系為(不考慮變形耦合效應(yīng)):式中,ks、kn分別為切向和法向剛度系數(shù),可分別近似取λ+2G、G,其中λ、G分別為拉梅常數(shù)、剪切模量,并按較強(qiáng)一面取值。相對(duì)位移可由整體坐標(biāo)系下不連續(xù)界面兩側(cè)樁和土節(jié)點(diǎn)單元的位移差并經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后求得:式中:T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣;up、vp為整體坐標(biāo)系下樁域節(jié)點(diǎn)x向、y向位移;us、vs為整體坐標(biāo)系下土域節(jié)點(diǎn)x向、y向位移。由式(6)可將樁域或土域中某一節(jié)點(diǎn)的位移向量up、us表示如下:式中:ΦpT(x)、ΦsT(x)分別樁域和土域中節(jié)點(diǎn)形函數(shù);u為支持域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)位移所組成的向量。由式(7)―式(9),采用變分原理可得界面元對(duì)總剛度矩陣的貢獻(xiàn)為(對(duì)荷載列陣貢獻(xiàn)為0):將式(10)展開(kāi)并采用高斯積分整理后疊加至系統(tǒng)整體平衡方程,可近似考慮非變形協(xié)調(diào)的樁土接觸分析,具體分析可參見(jiàn)圖4所示的接觸算法。3樁身失穩(wěn)臨界荷載的無(wú)單元分析模型及求解基于上述處理方法編制了基樁非線性屈曲分析無(wú)單元伽遼金法程序(ProgramforBucklingAnalysisofPilesbyEFGM),主要步驟為:1)在樁土分析域Ω內(nèi)及邊界Γ上分布若干節(jié)點(diǎn)(即場(chǎng)點(diǎn),可均勻或不均勻分布,位移變化梯度大或應(yīng)力集中處可加密節(jié)點(diǎn)分布),構(gòu)成無(wú)單元分析模型,并在該模型上給定荷載與邊界條件。2)選擇合適基函數(shù)、權(quán)函數(shù)及影響域等,并基于上述場(chǎng)點(diǎn)分布,用移動(dòng)最小二乘法(MLS)獲得位移插值函數(shù)或形函數(shù),由此構(gòu)造近似場(chǎng)函數(shù)。3)根據(jù)系統(tǒng)控制微分方程及邊界條件,用步驟2)得到的形函數(shù)及系統(tǒng)控制微分方程的強(qiáng)或弱積分形式,建立基于整體坐標(biāo)系下的離散方程組。4)由系統(tǒng)方程組求解樁身失穩(wěn)臨界荷載。求解時(shí)采用基于Crisfield-修正Riks-Ramm弧長(zhǎng)法的非線性屈曲分析。為更準(zhǔn)確預(yù)測(cè)樁身失穩(wěn)極限荷載,初始載荷比例系數(shù)不能設(shè)太大,最大弧長(zhǎng)放大系數(shù)也應(yīng)有所限制,否則后續(xù)加載步長(zhǎng)太大而對(duì)極限荷載分析不利;但也不能太小,避免過(guò)大增加總增量步,浪費(fèi)計(jì)算時(shí)間。因此,應(yīng)經(jīng)試算或按經(jīng)驗(yàn)合理取值,使得失穩(wěn)前后增量步弧長(zhǎng)足夠小而其他加載階段的弧長(zhǎng)則可適當(dāng)放大。本文采用的辦法是:由樁身線性屈曲分析結(jié)果估計(jì)樁身失穩(wěn)發(fā)生的大致載荷區(qū)間,并以此為界將加載過(guò)程定義為若干個(gè)歷程,合理設(shè)置各歷程中的控制參數(shù)。4工程應(yīng)用4.1樁身結(jié)構(gòu)及試驗(yàn)方案茅草街大橋位于湘北洞庭湖軟土地區(qū),主橋?yàn)槿邕B續(xù)自錨中承式鋼管混凝土拱橋,采用超長(zhǎng)鉆孔嵌巖灌注樁基礎(chǔ)。為探討這類樁的承載特性,在主墩附近對(duì)一試樁進(jìn)行了豎向和水平載荷試驗(yàn)。場(chǎng)地內(nèi)的巖土層分布及其力學(xué)指標(biāo),如表1所示。試樁混凝土為C30,直徑1.0m,長(zhǎng)61.5m,入土深60.0m,地面上長(zhǎng)1.5m部分為加載所需樁頭,樁端進(jìn)入弱風(fēng)化泥質(zhì)砂巖,正反循環(huán)旋轉(zhuǎn)鉆成孔,泥漿護(hù)壁,為防塌孔上部設(shè)鋼護(hù)筒(外徑1.3m,壁厚7mm,埋深10m)。成孔后至鋼筋籠下放前鉆機(jī)不停,壓漿清理沉渣,混凝土澆注前實(shí)測(cè)沉渣厚約50mm。樁身內(nèi)共埋設(shè)了19組、38個(gè)鋼筋應(yīng)變計(jì)和34組、136個(gè)混凝土應(yīng)變計(jì)。待樁身混凝土強(qiáng)度達(dá)設(shè)計(jì)要求(樁身下、樁身中、樁身上三部位試塊平均抗壓強(qiáng)度分別為31.5MPa、27.2MPa和40.6MPa)后,先后進(jìn)行了豎向和水平載荷試驗(yàn)。其中,豎向載荷試驗(yàn)采用錨樁-反力梁加載,錨樁直徑1.8m,反力橫梁寬1.7m、高2.7m,兩端通過(guò)圓立柱與錨樁相連。采用行程60cm的9個(gè)250t千斤頂聯(lián)動(dòng)加載。4.2樁身荷載變化限于篇幅,這里僅給出樁身軸力和側(cè)阻與樁土相對(duì)位移關(guān)系曲線(圖5和圖6)。加載至16200kN時(shí)樁頂沉降達(dá)32.38mm且能穩(wěn)定;因此時(shí)加載量已超過(guò)預(yù)估極限承載力,故將原定加載步減半,但加至16720kN時(shí),荷載只能勉強(qiáng)維持且沉降出現(xiàn)增大趨勢(shì);繼續(xù)加荷至17280kN并維持約5min后,沉降增加速率明顯減小,并隨之從地下發(fā)出一聲很悶的巨響,試樁隨即偏位,地面出現(xiàn)裂縫,沉降無(wú)法穩(wěn)定,千斤頂油壓也驟降至11880kN后才勉強(qiáng)穩(wěn)定。與此同時(shí),離樁底約15.0m范圍內(nèi)的混凝土應(yīng)變計(jì)讀數(shù)也從有到無(wú)。所有這些表明,樁身產(chǎn)生了壓屈破壞,失穩(wěn)極限荷載可取為16720kN。4.3in法數(shù)值分析先按規(guī)范查表法進(jìn)行計(jì)算。由水平載荷試驗(yàn)結(jié)果(Hcr=175kN,Hu=325kN)反算出樁側(cè)地基土當(dāng)量m值約為4.0MN/m4,由此按m法求出樁土變形系數(shù)α=0.3739m-1。然后,由樁身無(wú)量綱長(zhǎng)度αh及樁端嵌固查表計(jì)算樁身穩(wěn)定計(jì)算長(zhǎng)度lp=8.54m,進(jìn)而求得Pcr=133150kN。顯然,這一結(jié)果遠(yuǎn)大于實(shí)測(cè)值,主要原因在于難以從樁土復(fù)雜作用體系中取定準(zhǔn)確而又簡(jiǎn)單的參數(shù)。為此,采用本文建議的Galerkin法進(jìn)行數(shù)值分析,并先假定樁土接觸面為彈性小變形下的變形協(xié)調(diào),按第一類穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行分析。如圖7所示,計(jì)算域取徑向和樁端以下土域范圍均為10倍樁徑,邊界條件取為簡(jiǎn)支;樁域和土域分別采用375個(gè)和5740個(gè)“點(diǎn)單元”進(jìn)行離散,接觸面上共布置245個(gè)“接觸點(diǎn)對(duì)”,且土域內(nèi)的點(diǎn)單元呈內(nèi)密外疏分布。樁周土體的參數(shù)參按表1取值,而樁身混凝土計(jì)算參數(shù)則按表2取值。然后,進(jìn)行了線性與非線性增量屈曲分析,求得Pcr分別為22910kN、19300kN,其與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差分別為37.0%和15.4%,誤差較大的原因在于:彈性分析無(wú)法反映實(shí)際樁土體系彈塑性破壞結(jié)果;其次是計(jì)算時(shí)沒(méi)有考慮樁土材料非線性及接觸面上的滑移、開(kāi)裂等非變形協(xié)調(diào)。因此,繼續(xù)考慮樁土材料與接觸非線性,采用圖4非線性迭代算法進(jìn)行分析。計(jì)算時(shí)樁土參數(shù)分別按表2與表1取值。為簡(jiǎn)化計(jì)算,樁土接觸面摩阻系數(shù)統(tǒng)一取加權(quán)近似值0.5。然后,以非線性屈曲分析獲得的19000kN為擬施加最大荷載,并經(jīng)試算設(shè)定初始增量步荷載與總荷載比為0.01,最大增量步荷載與總荷載比為0.5。計(jì)算表明,當(dāng)加荷至17650kN后,樁頂計(jì)算沉降量增幅較大(如圖8),且反復(fù)迭代計(jì)算難以收斂,由此可判定樁頂荷載已達(dá)一最小穩(wěn)定極限,并可認(rèn)為該值即為樁身失穩(wěn)荷載。盡管樁身失穩(wěn)荷載計(jì)算與實(shí)測(cè)值誤差較小(相對(duì)誤差5.6%)。但圖8所示計(jì)算與實(shí)測(cè)荷載-沉降曲線仍存在一定差別,這可能是由于沒(méi)有考慮加載偏心及樁身可能初始缺陷等因素。5樁土接觸分析(1)基于第二類穩(wěn)定問(wèn)題引入新型無(wú)單元伽遼金法建立的高承臺(tái)嵌巖灌注樁屈曲分析數(shù)值模型更便于考慮樁土共同工作中的材料非線性