滬科版九年級數(shù)學(xué)重難點專項突破：相似三角形中的“8”字模型（3種題）（原卷版）

重難點專項突破06相似三角形中的“8”字模型(3種題)

?【題型細目表】

題型一：8字-平行型

(1)直接利用"8"字型解題

(2)添加輔助線構(gòu)造“8”字模型解題

題型二：8字-不平行型

W【知識梳理】

8字一平行型

條件：CDWAB,

結(jié)論：△以6?(上下相似)；

左右不一定相似，不一定全等，但面積相等;

四邊形為一般梯形.

A------------------------------------'B

條件：CD"AB,PD=PC.

結(jié)論:△以8?APC。?上下相似）

△PAgNPBC左右全等;

四邊形26。為等腰梯形；

8字一不平行型

條件：乙CDP;乙BAP.

結(jié)論:A/Q8?AOQC（上下相似）;

A4/7。?△6。。左右相似）；

【考點剖析】

題型一：8字-平行型

（1）直接利用"8"字型解題

例1.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，若DE:EC=1:2,則防:比

例2.如圖，尸為，A5CD對角線班）上任意一點.求證：PQ-PI=PR-PS.

例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD的延長線上有一點E,BE交AC于點、F,交于點G.

求證：BF2=FG.EF.

例4.如圖，點C在線段AB上，AAMC和ACBN都是等邊三角形.

AM

求證：⑴—=

DC~CN

(2)MD.EB=ME.DC.

M

例5.如圖，已知AB//CD//EF.AB=m,CD=n,求EF的長.（用機、〃的代數(shù)式表示）.

AT71

例6.如圖，E為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，一=-,BE的延長線交CD的延長線于點G,

EC3

交AD于點尸，求3尸:FG的值.

D

/

例7.如圖，乙/〃2，AF:FB=2:5,BC:CD=4:1,求的值.

例8.過AABC的頂點C任作一直線，與邊A2及中線AD分別交于點RE.求證：—=2—

EDFB

A

ABBD

例9.如圖，A0是AABC的內(nèi)角平分線.求證:

AC-DC

題型二：8字-不平行型

例10.如圖，/BEC=NCDB,下列結(jié)論正確的是（)

B.BE?CD=BF?CF

C.AE*AB=AD*ACD.AE*BE=AD*DC

【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共4小題）

1.（2023?包河區(qū)二模）如圖，在回ABC。中，延長至點E,使。E=E?C,連接BE交AC于點凡則竺

FC

的值是（）

2.（2021秋?亳州期末）如圖，△A8C和△8OE都是等邊三角形，點。是AC上的點，連接AE,下列相似

三角形成立的有（）

①△BCDs^BEO；②△AODsAEOB；③△AOEs^DOB；④△BODs^BDA.

A.1對B.2對C.3對D.4對

3.（2022?磁山縣模擬）如圖，在菱形ABCZ）中，AB=2,E為A8的中點，CE交BD于點F,且

NBCE,則BF的長為（）

A.近B.2愿C.V3D.A

333

4.（2021秋?安徽月考）如圖，在EL4BC￡）中，AB=10,AD=15,的平分線交8C于點E,交。C的

延長線于點R2GLAE于點G,若BG=8,則△CEF的周長為（）

D

二.填空題（共8小題）

5.（2022?宣州區(qū)校級一模）如圖，在平行四邊形ABCZ）中，AB=6,A￡>=9,/BA。的平分線交BC于點

E,交DC的延長線于點尸，BG1,AE,垂足為G,BG=4、2,則的周長為______.

F

6.（2022秋?安徽期中）如圖，是△ABC的中線，點廠在8。上，延長AF交8C于點E.

（1）若點E為8c中點，則BF=

DF

（2）若BF=3DF,則理=

EC

A

一

BEC

7.（2021秋?舒城縣期末）如圖，在平行四邊形ABC。中，AC、8。相交于點0,E是。4的中點，連接8E

并延長交于點R則里

AT

AFD

BC

8.（2023?瑤海區(qū)二模）Rt^ABC中，ZC=90°,BE平分NABC,點產(chǎn)為BC中點，ZCBE=ZCAF,BC

=2.

（1）寫出一對相似三角形

（2）AC的長為

9.（2022秋?無為市期中）如圖，已知矩形ABC。對角線AC和相交于點。，點E是邊AB上一動點,

CE與BD相

交于點尸，連結(jié)OE.

貝心=

（1）若點E為AB的中點,

FB

則膽=

（2）若點尸為OB的中點,

BE

10.（2020?大通區(qū)模擬）如圖,在△ABC中，。為AC邊上的中點，AE//BC,ED交AB于G,交3C延長

BC=10,則AE的長為.

11.（2022?廬陽區(qū)二模）已知在四邊形ABC。中，AB=AD=CD,且NBA￡）=90°,連接AC、BD交于點

O.①若AB=BC,則改=；②若AB=AC,則型=

0B0B

12.（2023?廬陽區(qū)一模）正方形紙片ABC。中，E,尸分別是A3、CB上的點，且AE=CRCE交AF于

M.若E為48中點，則生=；若NCMF=60°,則生=

EMEM

三.解答題（共6小題）

13.（2022?蕪湖一模）《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法.如圖，在井口8處立一根垂直于井口的

木桿8。，從木桿的頂端。點觀察井內(nèi)水岸C點，視線。C與井口的直徑AB交于點E.如果測得

1.8米，米，8E=0.2米.請求出井深A(yù)C的長.

14.（2021秋?包河區(qū)校級期末）如圖，E為回A8CD的邊CQ延長線上的一點，連結(jié)8E交AC于點。，交

AD點F.

(1)求證：AAOBs/XcOE；

(2)求證：BO2^EO-FO.

15.（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）如圖是小孔成像實驗，火焰AC通過小孔。照射到屏幕上，形成倒立的平

行實像，像長3c機，OA=50cm,OB=10cm,求火焰AC的長.

16.（2023?蜀山區(qū)校級模擬）在RtZXABC中，ZACB=90°,tanZABC=a,。是BC上一點（不與點8,

C重合），連接A。，過點C作CELAD于點E,連接BE并延長，交AC于點

（1）如圖1,當(dāng)。=1時，

①求證：ZEC￡><45°；

②求證：巫0；

EFCF

（2）如圖2,若。是8C的中點，求tan/CEF的值（用含。的代數(shù)式表示）.

17.（2022?安慶模擬）在四邊形A8CD中,對角線AC、8。相交于點。.

過點。作。求證：）

（1）如圖①，若四邊形ABC。為矩形,E_LBC,OE=2CZ.

2

(2)如圖②，若AB〃CD,過點。作所〃A3分別交BC、4。于點E、F.