山東省聊城市陽谷縣四校2025屆九年級(jí)上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

九年級(jí)上學(xué)期期末水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.如圖，△ABC和陰影三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則與△ABC相似的陰影三角形為（）A. B. C. D.答案：C∵，，AC=2，∴AB：AC：BC=：2：=：：1A.三邊比值=：：1，不符合題意，B.三邊比值=3：：，不符合題意，C.三邊比值=：：1，符合題意，D.三邊比值=：：2，不符合題意，故選C.2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，連接BG，過點(diǎn)A作AF⊥BG，垂足為F，AF交CD于點(diǎn)E，則下列錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.答案：D解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠ABC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴，故A選項(xiàng)不合題意；∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴故B選項(xiàng)不合題意；∵AF⊥BG，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB+∠GBA＝90°，∵∠GDB＝90°，∴∠G+∠GBA＝90°，∴∠G＝∠FAB，又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD?BD＝DE?DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD?BD，∴CD2＝DE?DG，∴，故C選項(xiàng)不合題意；∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，∴△GEF∽△GBD，∴故D選項(xiàng)符合題意，故選：D．3.現(xiàn)在手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)C，嘉琪發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么B，C兩地的距離為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.5千米答案：A解：如圖所示，過點(diǎn)B作于D，由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴千米，，∴千米，∴千米，故選A．4.如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，，若，則（）A. B. C. D.答案：B∵四邊形內(nèi)接于，

∴，

由圓周角定理得，，∵∴

故選：B．5.如圖，點(diǎn)和分別是的內(nèi)心和外心，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.答案：D解：∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，∴，∵點(diǎn)O是的外心，∴，故選：D．6.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且答案：C∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，∴且，∵∴且解得∴，解得且，故選C．7.某企業(yè)2021年?duì)I業(yè)額為100萬元，2021年、2022年、2023年總營(yíng)業(yè)額為500萬元，設(shè)平均每年?duì)I業(yè)額增長(zhǎng)率為，則下面所列方程正確的是（）A. B.C. D.答案：D解：設(shè)平均每年?duì)I業(yè)額增長(zhǎng)率為，則列方程為，故選D．8.一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.答案：D觀察解析式發(fā)現(xiàn)：一次函數(shù)與二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為同一點(diǎn)，故排除B、C選項(xiàng)；A、二次函數(shù)圖象開口向上，則，但是一次函數(shù)y隨x的增大而減小，則，a的取值矛盾，故A不符合題意；D、二次函數(shù)圖象開口向上，則，一次函數(shù)y隨x的增大而增大，則，符合，故D符合題意；故選：D9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)分別為1和3，則的值為（）A. B. C.2 D.答案：B如圖，過A作AD⊥x軸于D，過B作BE⊥AD于E，則∠E=∠ADO=90°，又∵∠BAO=90°，∴∠OAD+∠AOD=∠OAD+∠BAE=90°，∴∠AOD=∠BAE，∴△ABE∽△OAD，∴，設(shè)A（k，1），B（，3），則OD=k，AD=1，AE=2，BE=，∴，解得k=±，∵k＞0，∴k=，故選B．10.如圖，已知二次函數(shù)、、為常數(shù)，且的圖象頂點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)；有以下結(jié)論：①；②；③；④時(shí)，隨的增大而減??；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有，其中正確的有()A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①④⑤答案：D解：①由拋物線的開口方向向下，則，故①正確；②∵拋物線的頂點(diǎn)為，，，，，，拋物線與軸的交點(diǎn)在正半軸，，，故②錯(cuò)誤；③拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，即，故③錯(cuò)誤；④拋物線的頂點(diǎn)為，且開口方向向下，時(shí)，隨的增大而減小，即④正確；⑤，

，，則⑤正確；綜上，正確是①④⑤．故選：D．二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.三角形中，，則值為__________．答案：105°或15°解：本題分兩種情況：

①如圖①時(shí)，AD為BC邊上的高．由AB=2，AC=，∠B=30°得，AD=ABsinB=2×0.5=1，∵sin∠ACD=AD：AC=1：=，∴∠ACD=45°=∠B+∠BAC，∴∠BAC=15°；②如圖②時(shí)，AD為BC邊上的高．由AB=2，AC=，∠B=30°得，∠BAD=60°，∴AD=ABsinB=2×0.5=1，∵sin∠ACD=AD：AC=1：=，，∴∠ACD=45°，∠CAD=45°，∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=105°．故答案為105°或15°.12.若、、是二次函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，則、、的大小關(guān)系是______用“”表示．答案：解：由題意知，，，，∴，故答案為：．13.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，，，，若與以E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似，則BE的長(zhǎng)為______．答案：或解：設(shè)BE=x，當(dāng)∽△ECF時(shí)，即整理得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，當(dāng)∽△FCE時(shí)，即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故答案為或．14.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線交y軸于點(diǎn)B，若，的面積為3，則k的值為________．答案：解：如圖，過點(diǎn)作軸于軸于，，，，，∵的面積為，則，，，，，由圖可知，，故答案為：．15.在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（1，2），B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大為原來的3倍，得到，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．答案：或解：以原點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大為原來的3倍，則點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?倍，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)或．故答案是：或．16.如圖，是的直徑，點(diǎn)在圓上．將沿翻折與交于點(diǎn)．若的度數(shù)為，則______（弧長(zhǎng)）．答案：解：如圖，作D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，則，∵

的度數(shù)為，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)度為，∴

的長(zhǎng)度為．故答案為：．17.如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過的圖形面積為______．答案：解：∵是繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，∴，，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴線段掃過的圖形面積為，故答案為：．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過、，的半徑為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)的最小值為______．答案：##解：連接、，、，，，是的切線，，，由勾股定理知：，當(dāng)時(shí)，最小，則線段最短，在中，，，，最小，故答案為：三、四、解答題：本題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19.解下列方程：（1）；（2）．答案：（1），（2），；解：（1）二次項(xiàng)系數(shù)化1，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，開方，得，所以，；（2）方程兩邊同時(shí)開方，得，即或，所以，；20.已知：關(guān)于x的一元二次方程.（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程兩根為，，且滿足，求的值.答案：（1）見詳解（2）【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，原方程必有兩不等實(shí)數(shù)根．【小問2詳解】解：∵方程的兩根為，，，，，即：，解得：．21.五一假期，圓圓帶著無人機(jī)來到公園開展綜合實(shí)踐活動(dòng)——測(cè)量一古塔的高度．如圖，在古塔附近有一斜坡，測(cè)得斜坡底端A距塔基中心E距離米，斜坡坡度i為，圓圓站在斜坡上距A點(diǎn)6.5米的B處，遙控?zé)o人機(jī)懸停在點(diǎn)B的正上方37.6米的C處，從C處測(cè)得古塔的頂部D處的俯角為（古塔在圓圓和無人機(jī)的正前方）．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求古塔的高度；（2）已知目高為1.6米，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度并沿著平行于的方向，以4米/秒的速度向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線．答案：（1）古塔的高度是28.1米（2）經(jīng)過6秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線【小問1詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：，，，，斜坡坡度為，，設(shè)米，米，在中，（米，米，，解得：，米，米，米，（米，在中，，（米，（米，古塔的高度約為28.1米；【小問2詳解】解：連接交于點(diǎn)，由題意得：，米，米，（米，，，，，解得：，（米，（秒，經(jīng)過6秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線．22.如圖，已知中，，以為直徑的圓交斜邊于．過作于，將沿直線翻折得到．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，，延長(zhǎng)交于，求的長(zhǎng)．答案：（1）證明見解析（2）【小問1詳解】解：如圖，連接，由翻折得，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵為半徑，∴是切線；【小問2詳解】如圖，連接，∵，是的直徑，∴是的切線，，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，，∴，得，∴，∴．23.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．（1）若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（2）該商場(chǎng)平均每天盈利能達(dá)到1500元嗎？如果能，求出此時(shí)應(yīng)降價(jià)多少；如果不能，請(qǐng)說明理由；（3）該商場(chǎng)平均每天盈利最多多少元？達(dá)到最大值時(shí)應(yīng)降價(jià)多少元？答案：（1）20元；（2）不能達(dá)到1500元，理由見詳解；（3）平均每天盈利最多1250元，達(dá)到最大值時(shí)應(yīng)降價(jià)15元．解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，每天可以售出，由題意，得，即：，解，得，，為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，所以的值應(yīng)為20，所以，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元；（2）假設(shè)能達(dá)到，由題意，得，整理，得，，即：該方程無解，所以，商場(chǎng)平均每天盈利不能達(dá)到1500元；（3）設(shè)商場(chǎng)平均每天盈利元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，由題意，得，，，，當(dāng)元時(shí)，該函數(shù)取得最大值為1250元，所以，商場(chǎng)平均每天盈利最多1250元，達(dá)到最大值時(shí)應(yīng)降價(jià)15元．24.感知∶（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型∶如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因?yàn)椤螦CB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用∶（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的長(zhǎng)度（用含a，b的代數(shù)式表示）．拓展∶（3）創(chuàng)新組突發(fā)奇想，將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)．若∠DEF=∠B．求證∶AB·FE=BE·DE．答案：（1）；（2）CE=a-b；（3）見解析（1）∵△ABC∽△DAE∴故答案為：；（2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠EDC=∠BAD又∵DA=DE∴△ADB≌△DEC∴EC=BD，AB=DC=b∴BD=BC-DC=a-b．即：CE=a-b．（3）∵∠DEF=∠B∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC∴∠BFE=∠DEC．作CG//FE交DE于點(diǎn)G，如圖3．∴∠DEF=∠EGC∴∠B=∠EGC∴△FBE∽△EGC∴=∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B+∠BCD=180°∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC∴∠DGC=∠BCD又∵∠EDC=∠CDG∴△DGC∽△DCE∴=∴=∴DC·FE=BE·DE又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DC∴AB·FE=BE·DE25.如圖1，拋物線與x軸交于和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是拋物線上，位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，求P坐標(biāo)為何值時(shí)最大，并求出最大值；（3）如圖②，將原拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，與原拋物線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使以點(diǎn)A，M，N，H為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最大值為（3）存在，H點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【小問1詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，即，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，，P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于