山東省濟南市2025屆高三下學期3月一模試題 數(shù)學 含解析

2025年3月濟南市高三模擬考試數(shù)學試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】集合，則，所以.故選：B2.設(shè)復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除法運算即可得到答案.【詳解】.故選：A.3.若直線：與直線：平行，則（）A.4 B. C.1或 D.或4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線一般方程的平行關(guān)系求的值，并代入檢驗.【詳解】若直線：與直線：平行，則，整理可得，解得或，若，直線：與直線：平行，符合題意；若，直線：與直線：平行，符合題意；綜上所述：或.故選：D.4.若數(shù)列各項均為正數(shù)，則“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】數(shù)列中，，數(shù)列為等比數(shù)列，令其公比為，則，，常數(shù)，因此數(shù)列為等差數(shù)列；反之，為等差數(shù)列，令其公差為，則，即為常數(shù)，因此數(shù)列為等比數(shù)列，所以“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C5.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點為，再利用拋物線平移即可得到答案.【詳解】，焦點為，焦點為，則焦點為，故選：B．6.已知函數(shù)則的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解抽象不等式即可.【詳解】當時，，，；當時，，，；且當時，，所以為奇函數(shù)，易知為上的遞減函數(shù)，則，所以原不等式的解集為.故選：A7.已知圓臺側(cè)面展開圖是半個圓環(huán)，側(cè)面積為4π，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為（）A.π B.2π C.4π D.8π【答案】B【解析】【分析】由側(cè)面面積公式建立等式，然后分別寫出上下底面面積，作差后代入即可得到結(jié)果.詳解】如圖：設(shè)展開圖小圓半徑和大圓半徑分別為，則圓臺側(cè)面積，即，上底面半徑，下底面半徑，圓臺上下底面面積之差的絕對值為.故選：B.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，求導分析單調(diào)性可得A錯誤；令求導分析單調(diào)性可得B錯誤；令，由誘導公式和兩角和的正弦展開式可得C錯誤；令，求導后再分、、分別討論單調(diào)性后放縮可得D正確.【詳解】對于A，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即，所以，故A錯誤；對于B，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，即，故B錯誤；對于C，因為，令時，，，因為，所以，故C錯誤；對于D，令，，則，當時，，所以；當時，，，且區(qū)間對應每一個值都使得，所以；當時，，，且區(qū)間對應每一個值都使得，所以；綜上則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即，故D正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了驗證牛的毛色（黑色、紅色）和角（有角、無角）這兩對相對性狀是否相關(guān)，某學院進行了一次數(shù)據(jù)統(tǒng)計，并根據(jù)形成的2×2列聯(lián)表，計算得到，根據(jù)小概率值為的獨立性檢驗，則（）附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635A.若，則認為“毛色”和“角”無關(guān)B.若，則認為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過10%C.若，則認為“毛色”和“角”無關(guān)D.若，則認為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過1%【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)獨立性檢驗的判斷原則一一分析即可.【詳解】對AB，若，因為，則認為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過10%，故A錯，B對；對CD，若，因為，則認為“毛色”和“角”無關(guān)，故C正確，D錯誤.故選：BC.10.已知，分別是橢圓：的左、右焦點，為坐標原點，為上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，則（）A. B.C.內(nèi)切圓半徑的最大值為 D.外接圓半徑的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】由橢圓的定義結(jié)合中位線的性質(zhì)可得A正確；由橢圓的性質(zhì)令點在第二三象限時可得B錯誤；由焦點三角形的面積公式結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)可得C正確；由正弦定理可得D正確.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由三角形中位線得，因為當點在第二三象限時，，此時，故B錯誤；對于C，因為，，當點在上頂點時，最大，所以，所以，所以，所以由三角形相似可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，又，所以內(nèi)切圓半徑最大值為，故C正確；對于D，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，故D正確.故選：ACD11.已知遞增數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對A直接代入計算即可；對B，利用反證法即可證明，對C，通過不斷代入得到，再結(jié)合其單調(diào)性即可判斷C，對D，通過代入歸納總結(jié)得到時，，再代入合理值即可判斷.【詳解】對A，在原式中令，則，故A正確；對B，若，單調(diào)遞增，則，則，即矛盾，舍去，故，故B正確；對C，由得，則，則，，，原式中令，令，因為遞增數(shù)列，C錯；對D，由，令，由單調(diào)遞增，，令，令則，則時，，且，則時，時，，當時，時，，在原式中令，同理由，D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數(shù)為________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先給兩個1找兩個位置，再給兩個3找兩個位置，最后剩的一個位置排5即可.【詳解】第一步選2個空給兩個1有種選法，第二步選剩下3個空給兩個3有種選法，最后剩一個空排5即可，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有種排法，故答案為：.13.函數(shù)的最小值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)和分類討論，作出函數(shù)圖像即可求解.【詳解】當時，即時，，當時，即時，，所以，作出函數(shù)圖像：所以函數(shù)的最小值為，當時.故答案為：.14.已知正四面體的棱長為，動點P滿足，用所有這樣的點P構(gòu)成的平面截正四面體，則所得截面的面積為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)四個頂點為，根據(jù)得到截面方程即可求解.【詳解】建立正四面體的頂點坐標，設(shè)四個頂點為，每條棱長均為，設(shè)動點，，，，，，，因為，所以，即所有滿足條件的點構(gòu)成的平面為平面（平面），而為正方體的頂點（如圖所示），且該正方體的中心為原點，由對稱性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，截面四邊形的頂點為，在平面上形成一個菨形，其對角線的長度為，故面積為2.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某公司升級了智能客服系統(tǒng)，在測試時，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為，當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為.已知輸入的問題表達不清晰的概率為.（1）求智能客服的回答被采納的概率；（2）在某次測試中輸入了3個問題（3個問題相互獨立），設(shè)表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求的分布列、期望及方差.【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為，方差為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解.（2）求出的可能值及對應的概率，列出分布列并求出期望的方差.【小問1詳解】設(shè)“智能客服的回答被采納”，“輸入的問題表達不清晰”，依題意，，，因此，所以智能客服的回答被采納的概率為.【小問2詳解】依題意，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學期望；.16.如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點在線段上.（1）求證：平面平面；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，設(shè)即可求得點的坐標，利用夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，過點作，則，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）知兩兩互相垂直，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系如圖：則有，設(shè)，則，設(shè)，則有，解得，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得或，所以或.17.已知雙曲線：的離心率為，為坐標原點，過的右焦點的直線交的右支于P，Q兩點，當軸時，.（1）求的方程；（2）過P作直線的垂線，垂足為N.（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最小值.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）由離心率及雙曲線參數(shù)關(guān)系求得，結(jié)合已知令，代入雙曲線求參數(shù)值，即可得方程；（2）（i）設(shè)，則，設(shè)，聯(lián)立雙曲線并應用韋達定理，結(jié)合直線、雙曲線對稱性確定定點位置并得到，再作化簡求值，即可得定點坐標；（ii）應用三角形面積公式、弦長公式，結(jié)合求面積的最小值.【小問1詳解】由題設(shè)且，則，由軸時，，不妨令，代入雙曲線得，所以，則所求方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)，則，由斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立雙曲線并整理得，則，所以，由，直線，根據(jù)雙曲線的對稱性，直線所過定點必在軸上，令，則，因為，所以，而，則，所以過定點；（ii）由，由（i），，可得，令，則，由，故，當時取等號，綜上，的最小值為.18.已知，函數(shù)，.（1）當時，求的極值；（2）若存在零點.（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接求導得，再分和討論即可；（i）轉(zhuǎn)化得有解，再設(shè)，求導后再對分類討論，最后利用隱零點法即可得到其范圍；（ⅱ）分析得表示原點與直線上的動點之間的距離，再等價轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)新函數(shù)并多次求導即可證明.【小問1詳解】時，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值.當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值是，無極大值.【小問2詳解】（ⅰ）當時，因為函數(shù)存在零點，故有解，若，此時無解，所以，有解，，①若單調(diào)遞增，此時不存在零點；②若，令，，，由零點存在定理可知存在，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，解得，故.（ⅱ）因為函數(shù)存在零點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，，所以，時，要證，只需證，即證.令，則，令，，故在上為增函數(shù)，故.即在上為增函數(shù)，故，故，即成立.19.如圖，已知給定線段長為2，以為底邊作頂角為的等腰三角形，取的腰的三等分點，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形……依次類推，取的腰的三等分點，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形，得到三角形列.（1）用表示出的外接圓半徑；（2）當時，證明：各頂點均在外接圓上或其內(nèi)部；（3）若各頂點均在外接圓上或其內(nèi)部，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）證明見解析；（3）；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到其半徑表達式；（2）計算和的表達式，作差得，從而得到的外接圓各點位于的外接圓上或其內(nèi)部，再反復使用該結(jié)論即可；（3）計算得，利用得到不等式，解出，則得到范圍.【小問1詳解】設(shè)的外接圓半