【材料力學(xué)論文】關(guān)于平面拉伸的力學(xué)分析08016.doc

關(guān)于平面拉伸的力學(xué)分析 作者：周成杰（系南京工業(yè)大學(xué)土木工程0級強(qiáng)化班）學(xué)號：1801060125摘要：(1) a-a平面上各點(diǎn)是存在剪應(yīng)力并且是非均勻分布的，近似呈線性分布。 (2) a-a平面上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不完全相同的，并且a-a平面和整個平面上的危險(xiǎn)點(diǎn)可以求出。材料力學(xué)當(dāng)中，不規(guī)則的物體可心通過力學(xué)軟件如ansys和visual basic的幫助來解決許多實(shí)際的問題，如危險(xiǎn)點(diǎn)、各處的應(yīng)力狀態(tài)、正應(yīng)力、剪應(yīng)力、主應(yīng)力等等。（3）整體物體及a-a平面，受力之后的應(yīng)力集中和應(yīng)變分析。物體在被力作用的時候會有形變和位移，這也很重要，分析時應(yīng)該用理論推導(dǎo)和軟件共同進(jìn)行。關(guān)鍵詞：形變；集中應(yīng)力；線性分布；危險(xiǎn)點(diǎn)；ansys有限元; vb編程n 引言：為了分析問題的方便和用ansys建模，假設(shè)如下的數(shù)據(jù)： ，。各個端點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）、（，）、（，）、（，）。圖1 原問題圖一.研究a-a平面上各點(diǎn)是存在剪應(yīng)力并且是非均勻分布的.初步分析a-a面內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)1.1 研究a-a面內(nèi)頂部的應(yīng)力狀態(tài)如圖，三角形的斜面為自由表面，上面不受力。我們知道，右面上一定有垂直于右面的的正應(yīng)力。由平衡條件可知沿x方向上的合力應(yīng)該為，故下邊的面上有如圖的剪力。再由剪應(yīng)力互等定理可知右面上有，同樣地，由平衡條件可知下面上有正應(yīng)力。圖頂部的微元到此，可以看出來頂部點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。1. 研究a-a面內(nèi)中部點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)先假設(shè)中間的微元不受上面或下面微元的影響。圖a-a面微段如圖，可知左邊的面積小，右邊的面積大，所以左邊的應(yīng)力比右邊的大一點(diǎn)。再由平衡條件和剪應(yīng)力互等定理可以判斷出如圖的剪應(yīng)力。圖a-a面中間的微元應(yīng)力狀態(tài)現(xiàn)在考慮中間的微元受上面或下面微元的影響。顯然綜合上下微元的應(yīng)力之后可得如圖：圖a-a面中間微元的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)2. 現(xiàn)在具體地計(jì)算各處剪力的大小：2.1總體分析如圖此時算正應(yīng)力的時候，忽略了應(yīng)力集中，下面有考慮應(yīng)力集中的分析。2.2計(jì)算如圖6頂部的一塊微元的應(yīng)力 ，由平衡條件可知：圖6頂部的微元三角形微元產(chǎn)生的剪應(yīng)力求得。2.2先假定不考慮頂部的三角的影響，即忽略剪應(yīng)力和y方向的正應(yīng)力的影響。圖頂部的微元在距離頂部面的距離為y時如右圖：，對于一小段微元dy 由平衡條件可以知道：在到y(tǒng)部分上積分：這個剪應(yīng)力是不考慮頂部微元時中間部分產(chǎn)生的剪應(yīng)力。得到的便是不考慮上部三角微元影響的假定下的y處的剪應(yīng)力2.3現(xiàn)在考慮頂部的影響。當(dāng)考慮到頂部的影響的時候，就必需加上頂部產(chǎn)生的剪應(yīng)力在距離y處對應(yīng)的剪應(yīng)力：（其中的有下標(biāo)為的為頂部產(chǎn)生的剪應(yīng)力，沒有下標(biāo)的剪應(yīng)力為假設(shè)中間部分不受頂部影響時算得的剪應(yīng)力。）由上式可知：y=h時，即在中點(diǎn)處剪應(yīng)力為.綜上所述，可知a-a 上的點(diǎn)的存在剪應(yīng)力并且非均勻分布。并且沿y方向可以看成是線性分布的。.用ansys軟件驗(yàn)證結(jié)論的成立。3.1用ansys 軟件取如沿a-a方向的一系列的點(diǎn)（路徑j(luò)ob），如下圖所示：3.2得到的這條路徑上的點(diǎn)的剪應(yīng)力sxy，如上圖所示：從上圖可以看出：在中點(diǎn)處（即橫坐標(biāo)1.47處）剪應(yīng)力為。a-a上半部分的剪應(yīng)力是正號，所以剪應(yīng)力流是順時針方向的。下半部分的正好相反。3.3下面一張圖整體的剪應(yīng)力圖：從上面這張圖可以明明白白地看出，整個圖形的剪應(yīng)力狀態(tài)，包括aa方向的點(diǎn)也是可以直觀地看出來是不完全相同的。3.4下面一張圖是這條路徑上剪應(yīng)力sxy的一張形象一點(diǎn)圖：從上圖中可以看出：沿a-a方向上，剪應(yīng)力可以看成是線性分布（不考慮應(yīng)力集中情況下的近似線性）的。.結(jié)論（1）a-a 上的點(diǎn)的存在剪應(yīng)力且非均勻分布。（2）并且沿y方向可以近似看成是線性分布的。(3)在中點(diǎn)處的剪應(yīng)力最小為0,向兩邊剪應(yīng)力遞增。二.研究a-a平面上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不完全相同的，并且判斷a-a平面和整個平面上的危險(xiǎn)點(diǎn)。1.主應(yīng)力是反映應(yīng)力狀態(tài)本質(zhì)的特征量，所以可由主應(yīng)力的公式如下：.用ansys軟件驗(yàn)證結(jié)論的成立。3.1下面是用ansys做的一張seqv（等效應(yīng)力）圖：雖然差距不大，等效應(yīng)力是從686.726到690.317，顯然不盡相同。3.2下面是s1,s2,s3的三個主應(yīng)力圖：從這三張主應(yīng)力圖也可以看出：各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是第一和第二主應(yīng)力不同，第三主應(yīng)力都為。.判斷a-a上哪一點(diǎn)最易發(fā)生危險(xiǎn)假定此種材料是韌性材料，現(xiàn)在用第三強(qiáng)度理論來判斷哪一點(diǎn)先壞。上式的二個應(yīng)力為第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力。如上面兩組數(shù)據(jù)中用方框標(biāo)出的為最大的第一主應(yīng)力。而第三主應(yīng)力為。故由可知：如果aa面上發(fā)生破壞的話，則0.63025和 2.3109兩個對稱的點(diǎn)處先發(fā)生破壞。.研究整個平面內(nèi)哪個點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)3.1下面一張圖是整個平面的第一主應(yīng)力圖：可以看出：最左邊的第一主應(yīng)力應(yīng)該最大，下面取左邊的一條路徑研究。3.2下面研究最左邊的最大主應(yīng)力。下圖為路徑和路徑上的第一主應(yīng)力圖，從中可以明顯地看出：中點(diǎn)同前面的aa平面相對比，前面的不是在中點(diǎn)處有最大第一主應(yīng)力。這中間存在著一個分界線判斷是否這個豎線上的危險(xiǎn)點(diǎn)發(fā)生在中點(diǎn)處。處的第一主應(yīng)力最大。由第三強(qiáng)度理論：知：整個平面上最左邊的中點(diǎn)處的第一主應(yīng)力最大，因而也就在此點(diǎn)最容易發(fā)生破壞。.結(jié)論（1）a-a平面上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不完全相同的。（2）最先發(fā)生破壞的兩個點(diǎn)為aa的路徑上0.63025和 2.3109兩個對稱的點(diǎn)。（3）各條豎線上的危險(xiǎn)點(diǎn)是否發(fā)生在中點(diǎn)處存在著一個豎線作為臨界線。（4）整個平面內(nèi)的危險(xiǎn)點(diǎn)處在最左邊的線上的中點(diǎn)處。三.研究a-a平面及整個物體，在受力之后的應(yīng)力集中及變形分析。.研究應(yīng)力集中現(xiàn)象。其中的k為應(yīng)力集中系數(shù)。查表可得d，d和k之間的關(guān)系。drd圖9假設(shè)的數(shù)據(jù)中d/d=1.5大概有下列的數(shù)據(jù)：k r/d 1 無窮大 2 0.25 3 0.1 無窮大 0在本題中，如果材料是剛體那么半徑r就是無窮大r/d則為無窮大，查表可得： k=1.即aa面上的正應(yīng)力是均勻分布的。然而材料不可能是剛體，在拉伸的過程中將使r變?yōu)橛邢薜闹?，故?yīng)力集中系數(shù)k要大于1.自然地，本題中aa面的各點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)該有大有小，下面用ansys來進(jìn)一步分析這個問題。3.用ansys進(jìn)一步分析可以看出在x 方向最大應(yīng)力分布在中點(diǎn)處，在 y 方向，最大正應(yīng)力在兩端。4.用ansys分析形變:由下圖明顯進(jìn)可以看出中間的路線都是朝左鼓的，顯然加力后，aa上不再保持平面，而是朝左傾斜。這個可由上面的分析證明，因?yàn)樵谥悬c(diǎn)處的sx最大，并且是左邊占優(yōu)勢。至于sy，雖然是中間的小，但是豎起方向的應(yīng)力實(shí)在太小。由公式：可知其中的aa方向的中部的x方向的正應(yīng)力大一點(diǎn)，y方向的正應(yīng)力小一點(diǎn)，那么中部的水平方向的應(yīng)變自然更大一點(diǎn)。所以呈現(xiàn)以下的變形圖。4.結(jié)論 （1）這種形狀在加上上述的均勻分布力之后，會有應(yīng)力集中現(xiàn)象，a-a線上，x方向的正應(yīng)力中部相對大一點(diǎn)，y方向上的正應(yīng)力在兩端正對大一點(diǎn)。 （2）加力后會產(chǎn)生形變并且左邊鼓，如上面所示的變形圖。四.研究a-a平面及整個物體，在受力之后的在各個方向的應(yīng)變分析。.推導(dǎo)x,y方向的正應(yīng)變和剪應(yīng)變的關(guān)系。xyxy圖8 于是可得到x,y方向的線應(yīng)變和一定角度方向的線應(yīng)變的關(guān)系。同理，也可以推得在純剪應(yīng)力的情況下求一定角度方向的線應(yīng)變。如公式：然后再將以上兩者相加可以得到如下的公式：2.用自編的軟件計(jì)算上述公式求最大線應(yīng)變 上面推導(dǎo)了有如下的公式：用這個公式比較繁，所以我用vb編了一個程序來幫助計(jì)算：窗體如下:主要的代碼如下：private sub command1_click() dim d as single dim max as single text6 = & & e = 36000000#: v = 0.3: k = 3.1415926 / 180: g = e / (2 * (1 + v)代碼中反映了材料的彈性模量、泊松比、切變模量。 x = text1: y = text2: t = text3: r = text4: d = val(text5) if d = 0 then d = 1 xx = x / e - (y / e) * v yy = y / e - (x / e) * v tt = t / g for i = 0 to r step d rr = xx * (cos(i * k) 2 + yy * (sin(i * k) 2 + tt * sin(i * k) * cos(i * k)求線應(yīng)變 text6 = text6 & vbcrlf & & i & & rr if rr max then max = rr h = i end if next i if i r then i = r rr = xx * (cos(i * k) 2 + yy * (sin(i * k) 2 + tt * sin(i * k) * cos(i * k) text6 = text6 & vbcrlf & & i & & rr if rr max then max = rr h = i end if找出最大的線應(yīng)變，并記錄下來對應(yīng)的角度。 end if text7 = max text8 = hend subprivate sub form_activate() x0 = screen.width y0 = screen.height x0 = (x0 - me.width) / 2 y0 = (y0 - me.height) / 2 me.move x0, y0end sub例如上面一組數(shù)據(jù)，其中包含了sequ最大值?，F(xiàn)在取上面的倒數(shù)第二行分析：即s=0.42017處，sx =674.08 ,sy=19.683 ,sxy=108.06 在小程序“要求的方向角”中輸入90,以便觀看所有角度上的結(jié)果。在“精度”中輸入了1,其實(shí)這個精度也不算高，如果需要的話可以輸入足夠精確的精度。根據(jù)這個小軟件，可以得到如下數(shù)據(jù)：角度 這個方向上的線應(yīng)變 0 1.85604194444444e-05 1 1.86894054108819e-05 2 1.88038388598805e-05 3 1.89035803719146e-05 4 1.89885084273199e-05 5 1.90585195543465e-05 6 1.91135284552236e-05 7 1.91534681100811e-05 8 1.91782898586035e-05 9 1.91879634593147e-05 10 1.91824771264228e-05 11 1.91618375441791e-05 12 1.91260698587344e-05 13 1.90752176475023e-05 14 1.90093428660669e-05 15 1.89285257726995e-05 16 1.8832864830576e-05 17 1.8722476587815e-05 18 1.85974955354817e-05 19 1.84580739437313e-05 20 1.83043816762913e-05 21 1.81366059835087e-05 22 1.79549512742144e-05 23 1.77596388666823e-05 24 1.75509067189873e-05 25 1.732900913909e-05 26 1.70942164750015e-05 27 1.68468147854063e-05 28 1.65871054911435e-05 29 1.63154050079723e-05 30 1.60320443610677e-05 31 1.57373687817181e-05 32 1.54317372867132e-05 33 1.51155222409381e-05 34 1.47891089037037e-05 35 1.44528949593678e-05 36 1.41072900328178e-05 37 1.37527151904059e-05 38 1.33896024269449e-05 39 1.30183941393887e-05 40 1.26395425878399e-05 41 1.22535093445409e-05 42 1.18607647315186e-05 43 1.146178724757e-05 44 1.1057062985285e-05 45 1.06470850388174e-05 46 1.02323529031255e-05 47 9.81337186541505e-06 48 9.39065238952384e-06 49 8.9647094940008e-06 50 8.53606212463492e-06 51 8.10523252219991e-06 52 7.6727455861842e-06 53 7.23912823528186e-06 54 6.80490876542331e-06 55 6.37061620612813e-06 56 5.93677967596415e-06 57 5.50392773789794e-06 58 5.07258775532231e-06 59 4.64328524954528e-06 60 4.21654325952331e-06 61 3.79288170461893e-06 62 3.37281675115915e-06 63 2.95686018356623e-06 64 2.54551878082732e-06 65 2.13929369906226e-06 66 1.73867986094212e-06 67 1.34416535270218e-06 68 9.56230829484024e-07 69 5.75348929731342e-07 70 2.01983699352789e-07 71 -1.63409973646439e-07 72 -5.20386913375557e-07 73 -8.68512198436425e-07 74 -1.20736169180826e-06 75 -1.53652255759322e-06 76 -1.85559376399339e-06 77 -2.16418657190617e-06 78 -2.46192500854302e-06 79 -2.74844632549438e-06 80 -3.02340144068266e-06 81 -3.28645536366502e-06 82 -3.53728760376761e-06 83 -3.77559256055401e-06 84 -4.00107989615236e-06 85 -4.21347488898726e-06 86 -4.4125187684857e-06 87 -4.59796903034917e-06 88 -4.76959973200769e-06 89 -4.92720176789612e-06 90 -5.07058312421701e-06 在結(jié)果中，小軟件自動顯示其中的最大線應(yīng)變發(fā)生在9度處，且線應(yīng)變?yōu)?.918796e-05在前文判斷危險(xiǎn)點(diǎn)的時候，知道最左邊的豎線的中點(diǎn)為整個物體的危險(xiǎn)點(diǎn)，由ansys得到這個點(diǎn)的數(shù)據(jù):sx =995.17 ,sy=293.93 ,sxy=0.17475e-12 由上述小軟件可以得到如下數(shù)據(jù)：在0 度處（即沿x軸方向），有最大的線應(yīng)變：2.519419e-05（相對比較大）這個也同樣反映了這點(diǎn)不安全，如果是脆性材料那么這點(diǎn)肯定是最危險(xiǎn)的。4.結(jié)論（1）一點(diǎn)的各種應(yīng)力在0到90度的角度內(nèi)都可以用以下公式來求與線應(yīng)變的關(guān)系：。 （2）用上述的自編小軟件可以求出任一點(diǎn)的任一角度上的線應(yīng)變，并且可以找出最大的線應(yīng)變，并且可以判斷強(qiáng)度是否符合要求。參考文獻(xiàn)：1 材料力學(xué)。林毓錡，陳瀚，樓志文。西安交通大學(xué)出版社.2 材料力學(xué)教材?？紫残?，孫慶文，潘光明。華南理工大學(xué)出版社.3 . 材料力學(xué)。（日）渥美光，鈴木幸之，細(xì)賢次（張必如譯）. 人民教育出版社4 材料力學(xué)。（美）higdon,ohlsen,stiles,weese,riley.高等教育出版社5. ansys 基礎(chǔ)應(yīng)用及范例解析。龔曙光。機(jī)械工業(yè)出版社6. ansys 7.0基礎(chǔ)教程 張立新 徐長航 。機(jī)械工業(yè)出版社作者簡介：周成杰，男，南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院0級本科生，專業(yè)：土木工程，研究方向：材料力學(xué)中的平面拉伸問題。材料力學(xué)學(xué)習(xí)感想這一學(xué)期來跟著范老師一起，學(xué)了材料力學(xué)這一門課程。就我看來，材料力學(xué)還是比較難學(xué)的，主要是因?yàn)檫@門課的內(nèi)容比較多，而課的學(xué)時卻很少。同時我們強(qiáng)化班的課程也是非常多的，這也大大地加大了學(xué)習(xí)的難度，可是“因禍得福”從緊張的學(xué)習(xí)過程中，我們自然而然也學(xué)到了許多平常學(xué)不到的東西。比如合理地利用時間這個方面，我們常常在線性代數(shù)、大學(xué)物理.的壓迫下努力地完成力學(xué)作業(yè)。不過這樣更好，在白天上完了有老師的課程，等到晚上或者是等到周末的時候，為了完成作業(yè)就必須學(xué)會合理地分配時間。然后還要學(xué)會自學(xué)，因?yàn)檎n上的那一點(diǎn)時間根本不可能讓人完全理解課上的知識。對于那些沒有掌握的知識，根據(jù)范老師在課上講的和書上寫的內(nèi)容再加上課堂上的筆記，就差不多可以學(xué)會所有的內(nèi)容并且完成當(dāng)天或者是那一周的作業(yè)了。說實(shí)話跟著范老師一起學(xué)習(xí)材料力學(xué)總體上來說是非常累的。去年跟著郭老師學(xué)習(xí)理論力學(xué)，看上去是非常地輕松一點(diǎn)都感覺不到“三大力學(xué)”傳說中的痛苦，這可能跟郭老師的灌輸式教學(xué)有關(guān)。范老師的教學(xué)方法以培養(yǎng)開放的思維而著名，在第一節(jié)課的時候范老師就說他的課絕非是灌輸式的教育，而是開發(fā)我們的思維，創(chuàng)造性