專題選修課件2-3《概率》教學分析與指導.docx

專題：選修2-3概率教學分析與指導一、學生學習表現(xiàn)及成因探析（一）錯誤表現(xiàn)1.對超幾何分布、二項分布概念混淆介紹數(shù)學通訊上的一個問題2.沒有處理大信息量的題目策略與方法 從以下兩個題目進行分析：例1.某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試，現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分數(shù)段，進行分組，假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）.O 體育成績 45 55 65 75 85 95u142uuuuuuuuu4121068各分數(shù)段人數(shù)（）為分析學生平時的體育活動情況，現(xiàn)從體育成績在和的樣本學生中隨機抽取2人，求在抽取的2名學生中，至少有1人體育成績在的概率；學生解法：設 “至少有1人體育成績在”為事件， 成績在的概率為，成績在的概率為由題意，得， 26214313， 乘公共電汽車 方案10公里（含）內(nèi)2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地鐵方案（不含機場線）6公里（含）內(nèi)3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.例2. 2014年12月28日開始，北京市公共電汽車和地鐵按照里程分段計價. 具體如下表.（不考慮公交卡折扣情況） 已知在北京地鐵四號線上，任意一站到陶然亭站的票價不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機選出120人，他們乘坐地鐵的票價統(tǒng)計如圖所示O票價(元)345104050人數(shù)302060（）如果從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中任選1人 ，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率；（）從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機選2人，記X為這2人乘坐地鐵的票價和，根據(jù)統(tǒng)計圖，并以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學期望；【部分解答】：根據(jù)統(tǒng)計圖，可知120人中地鐵票價為3元、4元、5元的頻率分別為，即， 以頻率作為概率，知乘客地鐵票價為3元、4元、5元的概率分別為，所以 ，.（二）成因探析學生問題出在心理上、或者不知如何處理大信息量的題目 1.對概率的基本事件沒有分析清楚就開始做題，追溯根源跟上一章兩個基本的計數(shù)原理理解不到位有著十分密切的關系.在上一章的學習過程中，學生應通過枚舉對“完成一件事”的全過程給出清晰的認識，然后再學會運用組合數(shù)或者排列數(shù)進行快捷計數(shù)；2.處理大量信息的方法往往被解題的迫切性所掩蓋，有時還出現(xiàn)讀題看后忘前、不能分辨出有用信息.事實上學生對圖表的識別是有一定的基礎的，在其他學科的教學內(nèi)容中有大量的圖表（折線圖、柱狀圖、表格）讓學生閱讀，但是圖表的閱讀多局限在數(shù)據(jù)的趨勢，或某個數(shù)據(jù)信息上，綜合分析所有數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行整合分析的能力比較弱，因此在教學過程中應關注學生如何處理兩個變量甚至多個變量之間關系的數(shù)據(jù)信息，有時還需掌握對數(shù)據(jù)按照題目規(guī)則進行運算分析的方法. 二、本專題內(nèi)容解讀（一）本專題知識體系的梳理（二）本專題的主要問題及其問題解決的基本思維模式概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支.隨機現(xiàn)象是相對于決定性現(xiàn)象而言的.隨機現(xiàn)象則是指在基本可控條件不變我個人認為，之所以出現(xiàn)隨機現(xiàn)象，是因為“試驗”的條件有可控和不可控之分，如果不可控因素對試驗都沒有任何影響，那么就是必然事件了。正是由于不可控的因素綜合影響著試驗的結(jié)果事件發(fā)生與否，所以才會出現(xiàn)隨機現(xiàn)象。的情況下，每一次試驗或觀察前，不能肯定會出現(xiàn)哪種結(jié)果，呈現(xiàn)出偶然性.隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗.典型的隨機試驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤游戲等.事件的概率是衡量該事件發(fā)生的可能性的量度.雖然在一次隨機試驗中某個事件的發(fā)生是帶有偶然性的，但那些可在相同條件下大量重復這實際上從一個角度體現(xiàn)了條件的可控性，不可控，就不會有“可重復”的隨機試驗卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律.主要問題：隨機現(xiàn)象與概率模型基本思維模式：隨機事件概率模型現(xiàn)實意義對于概率問題，構(gòu)建“認清隨機事件，科學使用枚舉法計數(shù)，并合理使用概率模型（古典概型、獨立與互斥事件、超幾何分布、二項分布）解題，最終幫助學生形成能用概率來解釋生活中的一些隨機現(xiàn)象的能力”的思維模式.（三）本專題問題解決所需的核心技能與核心思想方法雖然概率論最早產(chǎn)生于17世紀，然而其公理體系只在20世紀的20至30年代才建立起來并得到迅速發(fā)展，在過去的半個世紀里概率論在越來越多的新興領域顯示了它的應用性和實用性，例如：物理、化學、生物、醫(yī)學、心理學、社會學、政治學、教育學，經(jīng)濟學以及幾乎所有的工程學等領域.特別值得一提的是，概率論是今天數(shù)理統(tǒng)計的基礎，其結(jié)果被用做問卷調(diào)查的分析資料或者對經(jīng)濟前景進行預測.1.數(shù)據(jù)分析：對大量信息歸納整合，能夠運用圖表對已獲得到的數(shù)據(jù)進行處理，再根據(jù)適當?shù)倪\算分析數(shù)據(jù)，并能結(jié)合實際情況對數(shù)據(jù)及運算結(jié)果進行分析.數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論.數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學手段，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學研究的各個方面.在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠：提升獲取信息的能力；增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習慣；積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗.2.數(shù)學建模：將實際問題準確構(gòu)建數(shù)學模型，通過超幾何分布、二項分布兩種基礎模型，結(jié)合事件的獨立性科學解決問題.數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠：感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關聯(lián)，學會用數(shù)學模型解決實際問題，積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗；加深對數(shù)學內(nèi)容的理解；提升應用能力，增強創(chuàng)新意識.3.數(shù)學運算：分析事件在先，概率計算在后，同時理解運算的意義對于本章來說最為重要.三、三、教學目標分析與定位（一）課標要求1內(nèi)容與要求: 隨機事件的獨立性與條件概率、離散型隨機變量及其分布列、隨機變量的數(shù)字特征、正態(tài)分布.2說明與建議：通過本單元的學習，能夠理解隨機事件的獨立性、了解條件概率并能進行簡單計算；感悟離散隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現(xiàn)象；能夠理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布；感悟服從正態(tài)分布的隨機變量，知道連續(xù)型隨機變量.能夠基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題.（二）北京高考考試說明要求考試內(nèi)容要求層次ABC概率事件與概率隨機事件的概率隨機事件的運算兩個互斥事件的概率加法公式古典概型古典概型幾何概型幾何概型概率取有限值的離散型隨機變量及其分布列超幾何分布條件概率事件的獨立性次獨立重復試驗與二項分布取有限值的離散型隨機變量的均值、方差正態(tài)分布參考樣題【樣題24】(2012年理工類第17題）近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）試估計廚余垃圾投放正確的概率；（）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；（）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a0，=600.當數(shù)據(jù)的方差最大時，寫出的值（結(jié)論不要求證明），并求此時的值.（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）【樣題25】（2010年理工類第17題）某同學要參加3門課程的考試. 假設某同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，（，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立. 記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù), 其分布列為 0123概率 （I）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（II）求，的值；（III）求數(shù)學期望四、教學實施建議（一）課時分配本章有四節(jié)內(nèi)容，約需14課時，具體分配如下（僅供參考）：2.1離散型隨機變量及其分布列-約4課時2.2條件概率與事件的獨立性-約4課時2.3隨機變量的數(shù)字特征- 約3課時2.4正態(tài)分布-約1課時小結(jié)與復習- 約2課時建議：可以將隨機變量的數(shù)字特征隨分布列一起介紹（二）難點科學合理分析數(shù)據(jù)、構(gòu)建正確分布模型、創(chuàng)設有實際背景的概率題目【談一次聽課體會】教師在課前讓學生解決了下面這個問題：目前很多朋友都加入了微信群，大多數(shù)群成員認為有思想的群不僅僅是群里的人轉(zhuǎn)發(fā)與主題有關的網(wǎng)頁文章，而且群成員之間還有文字或語音的交流，并規(guī)定為“群健康度”.為此群主統(tǒng)計一年的群里聊天記錄（假定該群進群有群主同意邀請，且無業(yè)務插入廣告），并將聊天記錄中的網(wǎng)頁類型分享和文字語音聊天內(nèi)容進行了分類統(tǒng)計，并按照“群健康度”制作了分析趨勢圖，假定“群健康度”小于20%為群氛圍優(yōu)良，“群健康度”大于30%為群氛圍不合理.（）求此群主統(tǒng)計的一年里，某月群氛圍不合理的概率；（）現(xiàn)群主隨機選擇從1月至12月的某一個月開始分析，連續(xù)分析兩個月，求兩個月中至少有一個月“群健康度”優(yōu)良的概率；（）請你分析該群的“群健康度”趨勢，并簡單說明理由.【教學活動】在訂正了題目的答案之后，教師在對概率模型進行總結(jié)，并強調(diào)了解決概率問題時要關注枚舉法的重要性.【點評】在處理這個題目的時候，教師并沒有運用枚舉法例舉出“連續(xù)兩個月”的數(shù)據(jù)是什么，事實上，教師不惜花費時間的“枚舉”板演，起到了較好的示范作用，遠遠比把方法掛在嘴邊來得更為實際.【教學活動】隨后給出了三個如下變式，讓學生首先獨立進行分析解答，再做小組交流.變式1：現(xiàn)群主隨機從1月至12月中選擇兩個月分析，設表示2個月中群氛圍優(yōu)良的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.變式2：現(xiàn)群主依次從1月至12月中選擇兩個月分析，設表示2個月中群氛圍優(yōu)良的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.變式3：現(xiàn)群主分兩次，每次都從1月至12月中選擇一個月分析，設表示2個月中群氛圍優(yōu)良的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.【學生活動】學生在處理這三個題目的時候，出現(xiàn)了以下的問題：對于變式2來說，“依次”的理解是什么？教師發(fā)現(xiàn)學生問題后，解釋了依次的意思是，先取一次，再取一次，強調(diào)了順序，而變式1沒有順序.【點評】這樣的理解是不合理的，容易給學生造成理解的偏差，另外變式3的選取方式也不符合實際意義，試想如何出現(xiàn)群主第一次和第二次都選取的是同一個月這樣的情況，是不是在現(xiàn)實生活中的分析就沒有研究價值了？這說明，我們的概率統(tǒng)計題目來源于生活，就要有一定的實際背景，不能“為了做題而編題”.（三）教學實施建議1.隨機變量的分布列運用數(shù)學語言來清楚地刻畫每個隨機現(xiàn)象的規(guī)律（1）建議回顧必修3中刻畫和描述隨機現(xiàn)象的相關知識：隨機事件、互斥事件和對立事件、古典概型等；（2）了解一個隨機現(xiàn)象是指：知道這一隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并能求出每一出現(xiàn)的結(jié)果的概率.隨機現(xiàn)象的特點在于：無論你如何研究、分析，都不會改變“事前無法預料其結(jié)果”這一特性，即我們掌握了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，并不意味著可以改變結(jié)果的隨機性.（3） 隨機變量是一個映射.如果把隨機現(xiàn)象中試驗的每一個可能結(jié)果都對應于一個數(shù)，從數(shù)學上講，就是建立了一個從試驗結(jié)果的結(jié)合到實數(shù)集合的映射，這個映射就稱為隨機變量.因此，把隨機試驗的每一個可能結(jié)果都用一個數(shù)表示之后，了解隨機現(xiàn)象就變成了思考這個隨機變量所有可能取值和取每一個值的概率問題.(4) 兩點分布及其數(shù)字特征注意：有兩個試驗結(jié)果的分布不一定是兩點分布.（5） 為什么要學習重要的分布列？面對形形色色的隨機現(xiàn)象，它們有著千差萬別的分布.我們在這里的學習，就像以往我們對三角形、對四邊形、對函數(shù)、對數(shù)列的學習一樣，我們采用分類的方法，研究一些重要的類型，這將十分有助于我們研究一般的分布.因此按照隨機變量和試驗情況進行劃分，我們將研究離散隨機變量中試驗結(jié)果只有“成功”和“失敗”兩種可能類的二項分布；離散隨機變量中“次品類問題”的超幾何分布以及對連續(xù)性隨機變量中最常見的正態(tài)分布.雖然這些分布無法覆蓋各種各樣的隨機現(xiàn)象，但它們描述了隨機現(xiàn)象中最有用最常見的情形，它們非常有助于對一般隨機現(xiàn)象的理解和討論.2.超幾何分布及其數(shù)字特征（1）解決這類問題的一般過程S1:判斷隨機事件的分布是不是超幾何分布S2:利用超幾何分布的概率公式求出分布列（2）書上P45超幾何分布取值概率公式將書上問題進行改變數(shù)據(jù)，我們會發(fā)現(xiàn)：隨機變量為取出的女生人數(shù)總?cè)藬?shù)女生人數(shù)取出人數(shù)隨機變量的可能取值121042,3,412941,2,3,412840,1，2,3,412740,1,2,3,412240,1,2課本上的公式中的的取值不正確.事實上，（3）超幾何分布的期望P73附錄，在證明過程中也出現(xiàn)了這樣的問題.3.二項分布及其數(shù)字特征（1）條件概率條件概率的引入是為了講解事件的獨立性，因此不必設置過多過難的條件概率的題目.其重點在于如何從條件概率的角來理解事件間的獨立性，即如果事件發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，則事件獨立于事件.（2） 通過問題串的設置引入新知某件產(chǎn)品10件，其中恰有4件次品，現(xiàn)從中任意抽取3件問題1：取完后不放回，求3件都是次品的概率問題2：每次抽取后都放回，求3件都是次品的概率問題3：每次抽取后都放回，求3件中恰有2件是次品的概率問題4：每次抽取后都放回，求3件中恰有1件是次品的概率再過渡到詢問分布列.（3） 隨機變量是否服從二項分布需滿足三個條件：在次獨立重復試驗中任意兩次試驗之間必須是相互獨立的.每一次試驗都關注某事件及其對立事件（注意：這里并非說每次隨機試驗一定有兩個相互對立的結(jié)果，例如拋擲一枚均勻骰子，有6個等可能的結(jié)果，但可以看成“向上點數(shù)為6”和“向上點數(shù)不是6”）我們關注隨機事件的結(jié)果是什么，如果關注的結(jié)果為，那么得不到結(jié)果就是事件的對立事件.每次試驗中的概率是相同的，而且對立事件的概率也是相同的.（4）關于超幾何分布和二項分布的一點理解事實上在現(xiàn)實生活中，我們所遇到的抽取都是不放回的，因此我們會形成超幾何分布這個十分具有實際意義的離散型隨機變量的分布模型.但是有時在統(tǒng)計研究過程中，當我們進行假設檢驗，或者我們從很大的樣本中抽取時，發(fā)現(xiàn)對于樣本很大的試驗來說，單個個體放回與不放回對概率沒有太大的影響，于是我們就有了放回的分布模型.可能這種模型與實際不十分相符，但是卻比較好計劃，也就是說我們假設樣本都是獨立同分布的.在超幾何分布中，在某一次抽取時，我們也可以將試驗看成10這里的是第次抽取的概率，再利用“和的均值等于均值的和”，就能得到超幾何分布的期望是.但是“和的均值等于均值的和”盡管理解起來不難，但涉及聯(lián)合分布的問題，又是我們中學階段不能去研究的，因此也不建議大家介紹.4. 隨機變量的數(shù)字特征（1） 隨機變量的均值（期望）是一個數(shù).它刻畫的是隨機變量取值的中心位置，反映了取值的平均水平.隨機變量的方差也是一個數(shù)，它刻畫了一個隨機變量與其均值的平均偏離程度，反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.（2） 均值和方差都是數(shù)，它們沒有隨機性.這和樣本均值和樣本方差完全不同.樣本的數(shù)字特征都是隨機的，它們是用來估計隨機變量的數(shù)字特征的.（3） 離散型隨機變量的分布完全描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，因而它也完全確定了隨機變量的均值等數(shù)字特征；但反過來，僅僅知道均值等數(shù)字特征是無法確定分布的.兩個不同的分布完全可以有相同的均值.5.正態(tài)分布連續(xù)型隨機變量五、教學資源1.(2014年理工類第16題)李明在10場籃球比賽中的投籃情況如下（假設