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加權(quán)廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 加權(quán)廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 中文摘要 矩陣廣義逆理論有著十分廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域和研究背景.它在數(shù)值線性代 數(shù)、數(shù)值分析、最優(yōu)化、控制論、數(shù)理統(tǒng)計、微分和積分方程等領(lǐng)域都有重要的 應(yīng)用.在研究最小二乘問題、長方及病態(tài)線性問題和馬爾可夫鏈等統(tǒng)計問題中， 廣義逆都是不可缺少的重要工具目 前，廣義逆的理論和計算仍然是國際上非常 活躍的研究領(lǐng)域之一 本文主要研究了廣義逆領(lǐng)域中的下述只類問題: 1 .加權(quán)d r a z i n 逆的表示、計算和擾動理論 d r a z i n 逆是最基本和最常見的矩陣廣義逆之一，所以加權(quán)d r a z i n 逆也自 然成了 研究的熱點.本文第二章中，我們首先利用矩陣的滿秩分解給出了加權(quán)d r a z i n 逆 的一種新的表達形式a d .n =b ( c wa wb ) - c .其次，根據(jù)加權(quán)d r a z i n 逆的表 達式 a d ,w一g ( g wa 6 y g ) t g以及新的 表達式 a d ,w一b ( c wa wb ) 一 c ， 給出 了 在m a t l a b 環(huán)境下直接計算a d ,i 、 的算法.最后，給出了加權(quán)d r a z i n 逆的 p c r 算 法( p a r a l l e l c r a m e r s r u l e a lg o r i t h m ) .第只章中，我們利用矩陣的秩方法給 出了矩陣乘積的加權(quán)d r a z i n 逆的反序律成立的一個充分必要條件，推廣了關(guān) 于d r a z i n 逆的相應(yīng)結(jié)果第四章中，我們討論了加權(quán)d r a z i n 逆的擾動問題，給出 了 加 權(quán) d r a z in 逆 的 b a n a c h 一 型 擾 動 定 理， 在一 定 的 條 件下 給出了 i b d ,w ii 和 ii b d ,n . - a d ,w 盯人.、 的上界和下界估 計，推 廣了 群逆和d r a z i n 逆的相關(guān)結(jié)論. 我們還討 論了 p q ( 2 ) 范 數(shù)下加權(quán)d r a z i n 逆的條 件 數(shù)和一 類線性方程組加權(quán)d r a z in 逆解的 條 件 數(shù)以及這些條件數(shù)的敏感性問題，得到了較好的結(jié)果. 2 . 斜 投 影 算 子 a 從r 。 一和a 裕 二 a 的 擾 動 第五章 中，利用廣 義奇異值 分解 方法 ，研 究 了與a 的加權(quán)m o o r e - p e n r o s e 逆 a 升 n 相關(guān) 的 一 對 斜 投影 算 子 a a ; , 、 和 a m n a的 擾動問 題. 當 e是 a 的 擾 動 矩 陣 并 且 b 二 a + e 時 ， 給出 了 a a 久 r v 和 b b m n 的 標 準 形 定 理 ， 并 在 此 基 礎(chǔ) 上 給出 了 有 關(guān) 斜 投 影 算子 a a ta a ,t r s 和 b b 孟 ， 。 擾 動的 一 些 結(jié) 果. 我 們 還引 入了 加 權(quán) 銳角擾動的概念，并且給出了a與b互成加權(quán)銳角擾動的一個等價刻劃這部分 內(nèi)容推廣了有關(guān)正交投影算子a a - 和b b r 的一些相關(guān)結(jié)論和銳角擾動的相關(guān)結(jié) 論. 3 .一類約束矩陣方程解的c r a me r 法則 第四章中，討論了約束矩陣方程a x = d , ( r ( x ) 9 r ( a ) ) , x b = 上海師范大 學理學博士學 位論文 d , ( n ( x ) ? n ( b k a ) ) 和a x b=d , ( r ( x ) c r ( a k ) , n ( x ) 2 n ( b k 2 ) ) 的 解，利用矩陣方程系數(shù)矩陣的d r a z i n 逆的性質(zhì)，我們用兩種不同的方法分別給出 了這類矩陣方程解的加邊型c r a m e r 法則和緊湊型c r a m e r 法則，推廣了有關(guān)約束矩 陣方程組的相關(guān)結(jié)論. 關(guān)鍵 詞 :mo o r e - p e n r o s e 逆 ，加權(quán)mo o r e - p e n r o s e 逆 ，群 逆 ，d r a z i n 逆 ，加 權(quán)d r a z i n 逆，矩陣的指標，核秩，p c r 算法，反序律，擾動。條件數(shù)，正交 投影算子。斜投影算子，滿秩分解，廣義奇異值分解，加權(quán)正交向量，加權(quán)范 數(shù)， p q ( 2 ) 范數(shù)，加權(quán)銳角擾動， 約束矩陣方程，c r a m e r 法則 加權(quán)廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 t h e t h e o r y a n d t h e c o mp u t a t i o n s f o r s o me we i g h t e d ge n e r a l i z e d i n v e r s e s o f ma t r i x a n d s o me r e s t r i c t e d ma t r i x e q u a t i o n s ab s t r a c t t h e g e n e r a l iz e d i n v e r s e s o f m a t r i x h a v e b e e n w i d e l y a p p l ie d i n m a n y a r e as s u c h as n u m e r i c a l l i n e a r a l g e b r a , n u m e r i c a l a n a l y s i s , o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s , c o n - t r o l t h e o r y , m a t h e m a t ic a l s t a t is t i c s , d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d i n t e g r a l e q u a t i o n s t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e s o f m a t r i x a r e a l s o i mp o r t a n t a n d i n d i s p e n s a b l e m a t h e m a t - i c a l t o o l s i n s t u d y i n g t h e l e ast - s q u a r e p r o b l e m s , t h e r e c t a n g u l a r a n d i l l - c o n d it i o n e d l i n e a r p r o b l e m s , t h e s t a t i s t i c a l p r o b l e m s s u c h as ma r k o v c h a i n s a n d s o o n . p r e s e n t l y , t h e t h e o r y a n d t h e c o m p u t a t i o n s o f t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e s a r e s t i l l o n e o f t h e m u c h d i s c u s s e d a r e a s . t h e w o r k o f t h i s p a p e r d e a l s w i t h t h r e e a s p e c t s o f g e n e r a l i z e d in v e r s e s o f m a t r i x . t h e f o l lo w i n g i s a b r ie f d e s c r i p t i o n o f t h e m. 1 . r e p r e s e n t a t i o n , c o mp u t a t i o n a n d p e r t u r b a t i o n o f w- w e i g h t e d dr a z i n i n v e r s e o f ma t r i x b e c a u s e t h e d r a z i n i n v e r s e o f m a t r ix i s o n e o f t h e c o m m o n e s t g e n e r a li z e d i n - v e r s e , t h e w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e h as n a t u r a l l y b e c o m e a f o c u s i n t h i s fi e l d . i n c h a p t e r 2 o f t h i s p a p e r , 飾 u s i n g t h e m e t h o d s o f f u l l r a n k d e c o m p o s i t i o n o f m a t r i x , w e g i v e a n e w r e p r e s e n t a t i o n o f w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e a n d i n t r o d u c e t w o a l - g o r i t h m s o f t h i s i n v e r s e r e l a t e d t o t h e r e p r e s e n t a t io n s o f a d ,w=g ( g w a wg ) t g a n d a d ,。 一 b ( c wa wb ) 一 c . w e a l s o g i v e t h e p a r a l l e l c r a m e r s r u l e a l g o r i t h m o f w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e . i n c h a p t e r 3 . b y u s i n g t h e m e t h o d s o f r a n k i d e n t i t y o f m a t r i x , a n e c e s s a r y a n d s u ffi c i e n t c o n d i t i o n i s g i v e n f o r t h e r e v e r s e o r d e r l a w o f t h e w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e o f ma t r i x p r o d u c t a=a j a 2 a、 t o h o l d . t h e r e s u l t c o n c e r n i n g d r a z i n i n v e r s e i s e x t e n d e d . i n c h a p t e r 4 , w e s t u d y t h e p e r t u r b a - t i o n o f w- w e i g h t e d d r a z in in v e r s e , e s t a b l i s h a b a n a c h - t y p e p e r t u r b a t io n t h e o r e m f o r w- w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e , a n d p r e s e n t t h e p e r t u r b a t i o n b o u n d s fo r ij b d ,1 , ii , ii b d ,w一a d ,w i i 川a d ,wjj u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s . t h e s e r e s u l t s a r e t h e e x t e n s i o n s o f t h o s e r e l a t e d t o g r o u p in v e r s e a n d d r a z i 工 t i n v e r s e . wi t h p q ( 2 ) - n o r m , d i s c u s s t h e c o n d i t i o n n u m b e r s o f t h e w- w e i g h t e d d r a z i n in v e r s e a n d t h e s o l u t i o n o f s i n g u l a r i l l 上海師范大學理學博士學位論文 l in e a r s y s t e m wa wx=b , a n d s t u d y t h e m i n i m u m p r o p e r t y a n d t h e s e n s i t i v i t y o f t h e s e c o n d i t i o n n u mb e r s . 2 . p e r t u r b a t i o n o f t h e o b l i q u e p r o j e c t o r a a 玉 ， 、a n d a 裕 二 a i n c h a p t e r 5 , w e s t u d y t h e p e r t u r b a t io n o f t h e o b li q u e p r o j e c t o r s a a 孫 二a n d a 玉 i n a . l e t e b e a p e r t u r b a t io n m a t r ix o f a a n d b=a + e , w e g iv e t h e n o r m a l fo r m t h e o r e m o f a a 楊 ， a n d b 瑋， ， a n d b a s e d o n t h i s t h e o r e m w e o b t a in e d s o m e r e s u lt s o f t h e p e r t u r b a t io n f o r a a 公 、 a n d b 成n . e in t r o d u c e a n e w c o n c e p t io n o f w e i g h t e d a c u t e a n g l e p e r t u r b a t i o n f o r m a t r ix a , g iv e a n e c e s s a r y a n d s u ff i c i e n t c o n d i t io n t h a t b i s t h e w e i g h t e d a c u t e a n g l e p e r t u r b a t i o n o f a . o u r r e s u l t s e x t e n d s o m e o t h e r r e s u l t s r e l a t e d t o t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t o r a a t a n d a t a . 3 . c r a me r r u l e f o r t h e s o l u t i o n o f s o me r e s t r i c t e d ma t r i x e q u a t i o n s i n c h a p t e r 6 , w e s t u d y t h e s o l u t i o n s o f r e s t r i c t e d m a t r ix e q u a t io n s a x = d . ( r ( x ) c r ( a ) ) ; x b=d , ( n ( x ) ; ? n ( b 2 ) ) : a n d a x b一d , ( r ( x ) c r ( a k ) , n ( x ) d n ( b 2 ) ) . b y u s in g s o m e p r o p e r t i e s o f t h e d r a z in i n v e r s e o f t h e c o e f fi c i e n t ma t r i c e s , w e e s t a b l i s h t w o f o r m s c r a m e r r u l e f o r t h e s o l u t i o n s o f t h e s e e q u a t i o n s . t h e s e r e s u l t s a r e t h e e x t e n s i o n s o f t h o s e r e l a t e d t o r e s t r i c t e d s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s . ke y w o r d s : m o o r e - p e n r o s e i n v e r s e , w e i g h t e d m o o r e - p e n r o s e i n v e r s e , g r o u p i n - v e r s e , d r a z i n i n v e r s e , w e i g h t e d d r a z i n i n v e r s e , i n d e x o f m a t r i x , c o r e - r a n k , p c r a l g o r i t h m , r e v e r s e o r d e r l a w , p e r t u r b a t io n , c o n d i t i o n n u m b e r , o r t h o g o n a l p r o j e c t o r , o b li q u e p r o j e c t o r , f u l l r a n k d e c o m p o s i t i o n , g e n e r a l i z e d s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n , w e i g h t e d o r t h o g o n a l v e c t o r , w e i g h t e d n o r m , p q ( 2 ) - n o r m , w e i g h t e d a c u t e a n g le p e r - t u r b a t i o n , r e s t r i c t e d ma t r i x e q u a t i o n , c r a m e r r u l e w y 7 0 8 1 8 2 劫、 鑫 芝 會 -: f : 1 il 2 s . 、 二 玖奮長 加權(quán)廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 第1 章概述 芬 1 . 1 引言 廣義逆理論有著十分廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域和研究背景廣義逆理論在數(shù)值線性代 數(shù)、數(shù)值分析、最優(yōu)化、控制論、數(shù)理統(tǒng)計、微分和積分方程等領(lǐng)域以及應(yīng)用數(shù) 學中都有重要的應(yīng)用，在研究最小二乘問題、長方及病態(tài)線性方程問題和馬爾可 夫鏈等統(tǒng)計問題中， 廣義逆都是不可缺少的重要工具. 文獻【 1 ,4 , 5 , 6 ,8 中介紹，廣義逆的 概念最早是由 i . a e d h o l m 于1 9 0 3 年提出的， 他給出了積分算子的 廣義逆， 并稱之為偽逆( p s e u d o i n v e r s e ) . 1 9 2 0 年， e . h . mo o r e 推廣了非奇異矩陣的逆矩陣的概念，對于任意的mxn 矩陣，他引入了廣義 逆矩陣的概念， 其定義如下: 設(shè)aec ，則滿足矩陣方程 a x=踐( a ) ; xa=氏(x ) 的 n x m 矩陣 x 稱 為 a 的 廣 義 逆 ， 其 中 瓜(a ) 表 示 在 a 的 列向 量生 成 的 子空 間 上的 正 交投影算子. 直到上世紀五十年代中期，圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質(zhì)以及廣義逆與線 性方程組解之間的關(guān)系的討論使得廣義逆的研究出現(xiàn)了新的起色特別值的提到 的 是r . p e n r o s e 3 9 給出了 矩陣 a 的 廣義 逆a t 的一個十分簡潔而直觀的定義: 設(shè)aec - ，則滿足下列矩陣方程 ( 1 ) a x a二a ; ( 2 ) xa x=x; ( 3 ) ( a x ) * 二a x; ( 4 ) ( x a ) =x a 的唯_1 b x m 矩陣x稱為a 的廣義逆. 不難證明以上兩種定義是等價的.自 此開始，廣義逆的研究進入了一 個蓬勃發(fā) 展的階段為了紀念e . h . mo o r e 和r . p e n r o s e 對廣義逆研究所作的貢獻，人們把 這種廣義逆稱為m o o r e - p e n r o s e 逆，簡稱m - p 逆，記為a t . r . p e n r o s e 定義中的方程( 1 ) 一 ( 4 ) 稱為四個p e n r o s e 條件，由此出發(fā)，可以衍 生出 很多種不同 類型的廣義逆 設(shè) a=王 1 . 2 , 3 , 4 1 , a e c - ， 如果 矩陣 x c s x m 滿足 p e n r o s e 條件中的第 ( 2 ) , (7 ) , . . . , ( k ) 個方程 ( i j . 二 ， k ) c a ) ，我們 加權(quán)廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 第1 章概述 芬 1 . 1 引言 廣義逆理論有著十分廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域和研究背景廣義逆理論在數(shù)值線性代 數(shù)、數(shù)值分析、最優(yōu)化、控制論、數(shù)理統(tǒng)計、微分和積分方程等領(lǐng)域以及應(yīng)用數(shù) 學中都有重要的應(yīng)用，在研究最小二乘問題、長方及病態(tài)線性方程問題和馬爾可 夫鏈等統(tǒng)計問題中， 廣義逆都是不可缺少的重要工具. 文獻【 1 ,4 , 5 , 6 ,8 中介紹，廣義逆的 概念最早是由 i . a e d h o l m 于1 9 0 3 年提出的， 他給出了積分算子的 廣義逆， 并稱之為偽逆( p s e u d o i n v e r s e ) . 1 9 2 0 年， e . h . mo o r e 推廣了非奇異矩陣的逆矩陣的概念，對于任意的mxn 矩陣，他引入了廣義 逆矩陣的概念， 其定義如下: 設(shè)aec ，則滿足矩陣方程 a x=踐( a ) ; xa=氏(x ) 的 n x m 矩陣 x 稱 為 a 的 廣 義 逆 ， 其 中 瓜(a ) 表 示 在 a 的 列向 量生 成 的 子空 間 上的 正 交投影算子. 直到上世紀五十年代中期，圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質(zhì)以及廣義逆與線 性方程組解之間的關(guān)系的討論使得廣義逆的研究出現(xiàn)了新的起色特別值的提到 的 是r . p e n r o s e 3 9 給出了 矩陣 a 的 廣義 逆a t 的一個十分簡潔而直觀的定義: 設(shè)aec - ，則滿足下列矩陣方程 ( 1 ) a x a二a ; ( 2 ) xa x=x; ( 3 ) ( a x ) * 二a x; ( 4 ) ( x a ) =x a 的唯_1 b x m 矩陣x稱為a 的廣義逆. 不難證明以上兩種定義是等價的.自 此開始，廣義逆的研究進入了一 個蓬勃發(fā) 展的階段為了紀念e . h . mo o r e 和r . p e n r o s e 對廣義逆研究所作的貢獻，人們把 這種廣義逆稱為m o o r e - p e n r o s e 逆，簡稱m - p 逆，記為a t . r . p e n r o s e 定義中的方程( 1 ) 一 ( 4 ) 稱為四個p e n r o s e 條件，由此出發(fā)，可以衍 生出 很多種不同 類型的廣義逆 設(shè) a=王 1 . 2 , 3 , 4 1 , a e c - ， 如果 矩陣 x c s x m 滿足 p e n r o s e 條件中的第 ( 2 ) , (7 ) , . . . , ( k ) 個方程 ( i j . 二 ， k ) c a ) ，我們 上海師范大學理學博士學位論文 稱 x 是 a 的 i , 7 , - - , 襯一 逆，記為 x = a ( j , ，*) 不同于m - p 逆， 這種逆一 般不具 有唯一性， 所以 通常用a 仁 , 7 , . . , 嶺表示a 的 林 , 7 , . . , 嶺一 逆的全體. 下面我們給 出兩個簡單的例子，用來說明這種類型的廣義逆在表示線性方程組的解方面的作 用. 例 1 . 1 . 1 1 相 容 線 性方 程 組 的 極 小 范 數(shù) 解 與 1 , 4 一 逆. 設(shè)a e c 0 , b e側(cè)a ) , s 二 y a y 二殲. 則x b 是 相容線性方程組 a x = b , ( b e r ( a ) )( 1 . 1 . 1 ) 的 解并且 對任意的 ， e s ( y =a x b ) 都有l(wèi) x b l) 。 . 定義1 . 3 . 5 5 , 2 5 設(shè)a e c n x m , i n d ( a ) 二 k . 滿足下列方 程 a k + l 犬 =a k xa x 二x; ax 二 x a (l)(2)(5) 的 .kc x “ 稱為 a 的 d r a z i n 逆，記為 x二a d ，有時也記為 x二川1 ,2 ,5 ) . 特別 地 mn d ( a ) 二1 時， 我們把滿足上述方程的 x 稱為4 的 群 逆 g r o u p i n v e r s e ) ，記 為a 9 . 顯然， 群逆和d r a z i n 逆都是 特殊的 2 一 逆. 為了方便起見，關(guān)于其他一些廣 義逆的概念我們在后文用到的時候再將其給出下面給出 矩陣廣義逆的一些基本 葉 質(zhì)， 更 多 更詳 細的內(nèi) 容 可 參 閱 廣義 逆 方 面的 經(jīng) 典 著作 【 1 , 5 , 6 , 8 , 4 2 1 . 加權(quán)廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 關(guān)于a 的m - p 逆a t ，有許多與逆矩陣相仿的常用性質(zhì). 引理1 . 3 . 6 5 設(shè)ae c - , a e c .下述結(jié)論成立: 1 . ( a t ) t =a ( a a ) t ( a * ) t = a t a t ， 其中當a =。 時a t =0 ，當a =a 0 時a t = a - 1 ; =( a t ) * ( a a ) t ( a * a ) t ( a * ) t a t ( a ) t ( a * ) t a t =( a * a ) t a * =4 * ( a a * ) t a *二a * aa t 二a 1 .4 .4 關(guān) 于 加 權(quán) m - p 逆 a 友 9 . a - ， 有 下 面 的 常 用 性貢 . 引理1 . 3 . 7 5 , r: 設(shè)ac m x, m和n 分別是i l ， 和7 7 階h e r m i t e 正定矩陣.下述結(jié)論成 工 . ( a mt ,a ) n ,a ff 一 a ; 2( 八 ta 1 , n ) 一( a * ) n 一 : .。 ， 一 ; 3 . a tm , 一 ( a * m a ) ; ，二 a * m一 _ - - l a ( .-1 - - i a * ) ta ,t ,r ; 4 - r ( a m , ) 一 n 一 r ( a * ) , n ( a n r .n ) 一 i f 一 n ( a * ) ; 5 . r ( a a 從 n ) 一 r ( a ) . n ( a a ; r ,n ) 一 1 1 一 n ( a ) ; 6 . r ( a m , a ) 一 n - r ( .4 ) , a 一 ( a 從 n a . 一 ! ( a ) ; 7 一 a t7 - a a r ,、 一 n - 1/ 2 ( n l 1 / 2 a n - 1/ 2 ) r 1 1 11 2 . 為了方便起見，關(guān)于d r a z i n 逆和加權(quán)d r a z i n 逆的很多性質(zhì)我們將在后文中 給出.這里僅給出d r a z i n 逆核心一 冪零分鉀的性質(zhì)及一個有關(guān)滿秩分解的結(jié) 論，設(shè)a e c ，我們把矩陣c a=兒七1=a 2 a d 稱為a 的核心部分，把矩 陣心 =a一 c a =( 1 一a a d ) a 稱為 a 的 冪零部分，分解式a二心 +心稱為a的 核心一 冪零分解. 上海師范大學理學博士學位論文 i 1 jm 1 .3 .8 5 ， 設(shè) a e c n 0 , in d (a ， 一 “ ， a 一 p 叮另 卜1是 a 的 j o 。 二 標 準 形分解式，其中p 和c非奇異，n是冪零矩陣.下述結(jié)論成立: i. c a 一 尸 言 ; 尸 一、 一 尸 !名 0 1j n 尸 一 ; 2( 嘰 ) k =0 , 口- 1 i n d ( 凡 ) 0 “ 一 尸 一一 d a 4 . i n d ( a d ) 二i n d ( a c ) = i n d ( a ) i n d ( a ) _ 1 , 二d ; 叔戈認 一一;了.，、 5 . 吃 c a二c a 心 二0 ; 6 . n a a d=a d -v a=0 : 7 . 偽 a a : 二a a d 心 =自 ; 8 . a二ca 4 二 月 ， i n d ( a ) _ 1 . 引理 1 . 3 .9 匡 8 設(shè) a e c ， 執(zhí)行 下 面一 系 列 滿秩分 解: 4 二b l c , . c i b , =b 2 c 2 2 ， 3 ， 姚b 2 二b 3 妹 使民以是以- 1 旦_ 1 的滿秩 分解 者c k b k =0 或者氏b 、 非奇異 直 到存在 一對 因子氏 b k .或 并且 a 一 b , b 2 b k ( c k b k ) 0 - 1 久久_ 。 . . . c l . 仇從非奇異 認 b 、二0 本文中，我們將用到下列符號: b ” 維實向量的全體 c ; ， 維復(fù)向量的全體 c x m x n 復(fù) 矩陣的 全體 c . m x n秩為 r 的 mx n 復(fù)矩陣的全體 a t a 的 轉(zhuǎn)置 a a 的共扼轉(zhuǎn)置 a = a 的加權(quán)共轆轉(zhuǎn)置 側(cè)a ) a 的 值域 ( a 的 列空間) a ( a ) a 的零空間 d i m ( s ) 子空間s 的維數(shù) r a n k ( _4 ) a 的秩 加叔廣義逆及約束矩陣方程的理論和計算 c o r e - r a n k ( a ) d e t ( a ) i k i n d ( a ) at a mt n a 9 a d a d ,w a (l )q a ( s ,j r t , k ) a t ,s k ( a ) 142 川 im iia 112 iia iim n 凡,m p 0 c o n d p q ( a ) c o n d p q ( a . b ) a 的核秩 a的行列式 k 階單位矩陣 a 的指標 a 的mo o r e - p e n r o s e 逆 a 的加權(quán)m o o r e - p e n r o s e 逆 a 的群逆 a 的d r a z i n 逆 a 的加權(quán)d r a z i n 逆 a 的b o t t - d u ff i n 逆 a 的廣義b o t t - d u ff i n 逆 a 的 i 一 逆 a 的仁 ， ， ， ， k 一 逆 a 的 具 有值 域t 和零空間 s 的 2 一 逆 a的條件數(shù) 向量x 的2 范數(shù) 向量x 的加權(quán)m范數(shù) a 的2 范數(shù) a 的 加 權(quán)( m , 習范數(shù) 沿m到l 的投影算子 到l 上的正交投影算子 向 量x 和y 的內(nèi)積 向 量二 和y 的 加權(quán)m內(nèi)積 a 的第7 列由向量b 替換后得到的矩陣 a 的第 ， 行由向 量尹替換后得到的矩陣 向量x , ， . . . ， x 。 生成的子空間 指矩陣a 是正定的h e r m i t e 矩陣 a 的加權(quán)d r a z i n 逆在p q ( 2 ) 范數(shù)下的條件數(shù) 一類線性方程組的解在p q ( 2 ) 范數(shù)下的條件數(shù) 上海師范大學理學博士學位論文 第2 章加權(quán)dr a z i n 逆的表示和計算 本章我們主要介紹加權(quán)d r a z in 逆的幾種表達式和計算方法.為了使得引用更方 便起見，有關(guān)加權(quán)d r a z i n 逆的一些性質(zhì)我們將在接下來的二章中作為引理陸續(xù)給 出. 2 . 1 加權(quán)d r a z i n 逆的定 義和基本性質(zhì) c l i n e 和g r e v i l le 2 2 在1 9 8 0 年提出了 長方矩陣的 d r a z in 逆概念， 它是d r a z i n 逆概 念的進一步推廣. 定義2 . 1 . 1 2 2 設(shè)a e c m ， i v e c ru x ， 若對于某個非負整數(shù)k ，存在x e c m x n 滿足下列方程 ( a iv ) k + x l i / 二 ( 八 1 1 一 ) k xi v a wx =x; ai vx = xi va. ( 2 . 1 一 1 ) ( 2 . 1 . 2 ) ( 2 . 1 . 3 ) 則稱x 為 a 的加w權(quán)的d r a z i n 逆，簡稱為a 的加權(quán)d r a z i n 逆，記為x=a d w . 滿足( 2 . 1 . 1 ) 式的最小正整數(shù)k 稱為a 的加權(quán)指標，記為 i n d ( a w) ，它恰好 是方 陣a w的指 標 .特 別 地 ， 當a 是n 階方 陣 并 且w= 人時 ， x恰 好 是a 的d r a z i n 逆a d . 引理2 . 1 . 2 2 2 設(shè)a e c - x ，如果對于某個w e c n x m 存在x e c - 滿足定 義2 . 1 . 1 中的二個矩陣方程，則這樣的x