（課程與教學論專業(yè)論文）高師院校數學系學生數學觀發(fā)展研究.pdf

中文摘要 數學觀是數學教育目標體系中的關鍵性部分。教師的數學觀對 于其如何進行教學有著十分重要的影響，學生的數學觀直接影響到 他們對數學的態(tài)度和學習數學的效率。 對數學教育領域中的數學觀問題的研究，要追溯到2 0 世紀7 0 年代h e r s h 等人關于數學哲學的工作。2 0 世紀8 0 年代和9 0 年代， 數學觀問題成了數學教育研究中的熱點，h e r s h ，e m e s t ，t h o m p s o n ， l e m a n ，r a y m o n d 等人研究了教師數學觀對其教學行為的影響以及 教師數學觀念與其教學行為的不一致性。l e s t e r ，g a r o f a l o ，c a r p e n t e r f m n k ，w b n gn g a i - ) ，i n g ( 黃毅英) 等人研究了學生數學觀及其對他們 在數學上的表現的影響。 本文在已有文獻的基礎上，探討了高師數學系學生數學觀發(fā)展 問題。概括地說，研究的主要問題是：“高師數學系學生是如何發(fā)展 他們的數學觀的? ” 研究的原始資料和數據是通過問卷調查、訪談和實習課堂觀察， 從湖南師范大學數學系全體本科生中進行隨機抽樣所選取的四個年 級、1 4 1 名學生中收集的。問卷數據全部用s p s s 統(tǒng)計軟件進行了分 析，其他資料主要用定性的方法進行了分析。 研究發(fā)現，高師階段學生的數學觀主要是柏拉圖主義的。在這 個階段，學生的數學觀出現了兩次重要變化，一次從工具主義向柏 拉圖主義轉變，另一次則在柏拉圖主義觀念的基礎上，呈現出了多 種不同的趨向。導致這些發(fā)展變化的主要因素是：解題、教師和課 程與教材的內容。相比之下，教育實習過程中，實習生所接觸的傳 第一章導 論 1 1 研究的背景 近年來，教師與學生的數學觀已成為中外數學教育中數學信念研究 的一個焦點。些研究認為，數學觀是數學教育的核心一環(huán)，它影響到 數學的教與學。事實上，現有的研究一致地表明：“教師的數學觀”對 于其如何進行教學有著十分重要的影響。圓然而，已有的關于數學信念 的研究很大程度上是圍繞“數學觀念”和“數學教學觀念”兩個主題展 開的，即是希望能對教師的數學觀念和數學教學觀念給出具體的界定， 并清楚地指出這些觀念對數學教學活動的重要影響。換言之，單就數學 觀而言，備受研究者們關注的是“教師有怎樣的數學觀”，對于教師( 或 學生) 數學觀改善的問題，則在很大程度上被忽略了。 數學教育中數學觀教育問題的實質性解決被滯緩，其中一個重要的 原因可能是對師生數學觀的發(fā)展缺乏成熟的認識。事實上，已有的對師 生數學觀發(fā)展的脈絡及影響數學觀的形成和發(fā)展的重要因素的認識多 為理念的或思辨的，缺乏實證性研究的論證。一些研究發(fā)現，數學觀的 形成和發(fā)展是個非常復雜的受諸多因素影響的過程 ，甚至不同的文化傳 統(tǒng)對數學觀的形成與發(fā)展有不同的影響。另一個原因則可能是在數學教 育的實踐中“觀念”在教師與學生中的發(fā)展在一定程度上形成了一種不 良的相互作用和相互限制，而人們對改善數學觀的教育上的有效介入仍 知之甚少。 認識到要改善師生的數學觀并影響他們的發(fā)展所存在的困難以及 現行教學方面課程的不足，本文旨在探究，在作為教師教育之“源”的 高師數學教育階段，“學生( 即未來教師) 是如何發(fā)展他們的數學觀 的? ” 1 2 研究的必要- 陛 數學觀研究的持續(xù)深入使人們對數學觀的重要性有了更多的了解。 在一篇展望數學教育的文章中，庫尼鯽聲稱： 任何數學教學上的重大變革，譬如n c t m ( 美國數學教師聯合會) 所制 黃毅英，林智中等中國內地中學教師的數學觀課程教材教法，2 0 0 2 ，l ：6 8 7 3 鄭毓信數學教育：從理論到實踐上海：上海教育出版社，2 0 0 1 2 9 ，5 5 a n n emr a y l n o n d k c o 撼i s t e n c y b 吐w e 鋤a b e g i l l i l i n ge l c 腳n 協(xié)f y s c h o o lt e a c h c r s m 8 t l 咖撕c sb d i e f s d t 鈿c l l i d gp r a 出j 砌皿，1 9 9 7 ，2 8 ，n o5 ，5 5 0 - 5 7 6 c o o n e yt j t h et e h e ro fm 甜l e m 撕c s ：i s s wf b rt o d 哿柚dt o m o 小m mw a s b i n g t o nd c ：n 撕o n 出 a c a d e 【yp r s 1 9 8 7 ，p p l 7 - 3 5 l 進一步地，湯普森在認識到多數教師與學生所持的觀點并無不同時， 指出： 這是由于教師成功地將自己的觀點傳授給了學生呢? 還是師生中 這些觀點的出現有共同的根源，比如課程? 或者說這是課程與教師間的 一種組合? 這些觀點到底來自何處，它們又是怎樣形成的? 如果教師的 觀點是來自他們自己學習數學的經歷，那么幾年后當他們回到學校后又 將這些觀點傳授給新一代的學生( 如此永久地形成一個循環(huán)) ，那么我 們在何處可以打開這種循環(huán)的一個缺口，又如何去改變那些觀點呢? 這 些就是需要數學教育研究者們關注的實質問題。 事實上，國外已有一些研究認為教師職前培訓對數學觀的影響是 十分有限的( 詳細分析見第二章第四節(jié)) 。然而，鑒于不同文化傳統(tǒng)對 數學觀的可能的影響和中外教師職前培訓的體制、內容和方式上的可能 的實質性的不同，比照國外的研究深入探討中國內地高師教育與未來數 學教師數學觀的形成和發(fā)展之間的內在聯系，是必要且緊迫的課題。 本研究通過對三個問題的調查和分析，希望獲得關于“未來教師如 何發(fā)展他們的數學觀”這一問題的比較系統(tǒng)的認識，并在此基礎上探討 有效改善教師( 學生) 數學觀的教育介入方式，進而增進對在高師階段如 何有效地開展數學觀教育的了解。 ， 1 1 3 問題的闡述 本研究關注的是數學教育領域的數學觀問題。總體的研究問題是“高 師數學系學生是如何發(fā)展他們的數學觀的? ” 具體而言，此研究旨在探討如下三個問題： ( 1 ) 高師數學系學生數學觀的發(fā)展呈現出怎樣的脈絡和趨向? 有 關中國內地教師和學生的數學觀的調查已報告了不少( 例如，王林全罾， 1 9 9 3 ；黃毅英、林智中等，2 0 0 2 ；白乳利固，2 0 0 2 ) ，但這些調研多著眼 于“師生有著怎樣的數學觀”，沒能動態(tài)地關注教師或學生的數學觀發(fā) 展。基于此，本研究試圖從整體上來動態(tài)地把握未來教師在數學觀方面 的發(fā)展。 ( 2 ) 高師數學系學生數學觀的不同來源對數學觀發(fā)展的重要程度有 否( 何) 不同? 事實上，已有一些研究探討了類似的問題( 例如，f o s s f 0 s sd h ，e i l l s a s s 盯rc p r e s e r v i c ed 鋤e n t 町t e a c h 啪v i 鯽o f p e d a g o g i c a l 柚dm t l i e m 撕c s c o n t e n t h o w l e d g e t e a c h h l g 鋤d t e a c h e re d l i c 砸o i l ，1 9 9 6 ，1 2 ( 4 ) 4 2 9 4 4 2 ( 螢王林全，cam c g e h e 中美兩國中學生數學觀的調查分析數學通報，1 9 9 3 ( 7 ) 白乳利對初中生數學觀的個案調查與反思數學教學通訊，2 0 0 2 ，1 ：卜3 3 k l e i n s a s s e r ，1 9 9 6 ：r a y m o n d ，1 9 9 7 ：范良火。，1 9 9 8 ) ，特別地，雷曼德 等學者的研究認為教師職前培訓對數學觀發(fā)展的影響是十分有限的，筆 者對這個結論是否完全適于中國內地表示懷疑，并希望本研究能實證性 地發(fā)現什么是中國內地未來教師數學觀的主要來源。 ( 3 ) 對高師數學系學生而言，有效改善其數學觀的教育介入的基本 特征是什么? 即是，如果把做學生時的經歷視為數學觀的一個重要來源 ( 事實上，已有的理論和實證研究都在很大程度上證實了這一點) ，那 么介入這些經歷的教育的基本特征又是怎樣的? 第二章文獻述評 近二十年以來，有關數學信念的研究得以迅速增長并采取了諸多不 同的研究角度。其中一個焦點就是對相對較為具體的數學觀的研究。事 實上，已有不少文獻對教師和學生的數學觀進行了較為深入的探討。但 在已有的研究中，該方向所受的關注并不均衡，有一些重要聞題仍沒有 得到較好的解決和實質性的關注。 總的來說，在數學教育領域中，數學觀的研究存在著三個主要問題： 一、數學教育領域需要怎樣的數學觀? 二、t 數學教育領域現有的數學觀 念形態(tài)是怎樣的? 三、數學教育中師生怎樣發(fā)展他們的數學觀? 在評述相關文獻之前，首先對數學觀概念的認識論背景作簡要介紹。 2 1 什么是數學觀7 盡管對數學觀給出一個明確的定義十分困難，人們還是從不同的角 度發(fā)展和使用了關于“數學觀”的各種界定或者理解，以確定“數學觀” 的涵義。在探討數學觀問題的過程中，研究者對數學觀涵義的界定主要 有如下幾種： ( 1 ) 數學觀是人們對數學的本質，數學思想以及數學與周圍世界聯 系的根本看法和認識。( s c h o e n f e l d ，1 9 8 3 ) 學 ( 2 ) 數學觀是學生對自己或他人數學行為理解和感知的觀念建構。 ( s c h o e n f e l d ，1 9 9 2 ) ( 3 ) 數學觀是關于對“什么是數學? ”的問題的認識。 ( 4 ) 數學觀是人們對數學的總的看法和認識- ，其內容主要涉及數學 范良火教師教學知識發(fā)展研究上海：華東師范大學出版社，2 0 0 3 轉引自白乳荊：對初中生數學觀的個案調查與反思數學教學通訊，2 0 0 2 ，1 ：卜3 鄭毓信時代的挑戰(zhàn)數學教育學報，1 9 9 2 ，1 4 的研究對象、數學的特點、數學的地位和作用等。叫 對上述定義稍作分析，我們可以發(fā)現，這些定義多是對“數學觀是 對數學的根本( 總的) 看法”這一籠統(tǒng)界定的解析和發(fā)展。 應當注意到的是，不同于其他的認知，數學觀的認知主體雖也是人 類，但客體卻是數學這樣一個本身存在著本體論問題( 即數學對象的實 在性問題) 和認識論問題( 即數學的真理性問題) 的對象。換言之，如 同對絕對主義數學觀的質詢那樣，或許并不存在“絕對的”數學觀，任 何數學觀都是人們通過某些活動或過程形成的對數學的理解與感悟。 由此，我們可以將數學觀界定為： 數學觀是人們在做數學的過程中形成的對“什么是數學? ”這一問 題以及數學的基本特性的根本看法或認識。 在此界定中： ( 1 ) “主體”是“人們”，而不限于數學哲學家、教師和學生，或與 數學緊密相關的人群。事實上，現代社會，數學已滲透到幾乎所有的領 域，任何一個人，不論他“做”( 學) 過多少數學，他與數學的關聯是 無所不在的，因而他對數學的看法是無條件存在的。 ( 2 ) 主體達成“數學觀”認知結果的認知過程是“做數學”。根據 已有的一些研究( 例如，m gj o n e s & v e s i l i n ，1 9 9 6 ；m c d i a r 血鏟， 1 9 9 0 ) ，觀念的外部“灌輸”并不會實質性地改變主體的數學觀，“做數 學”才是數學觀形成與發(fā)展的“載體”。在這里，“做數學”包括了學數 學、教數學( 含教育實習) 、數學問題解決回( 包括數學研究) ，以及在 現實中應用數學的活動。 ( 3 ) “客體”強調了對數學本質的信念。與一些研究模糊的界定不 同，我們明確將“數學教學觀念”和“數學學習觀念”排除在“客體” 之外。 事實上，根據雷曼德的研究，教師自身希望教好學生的強烈愿望極 有可能導致其持有的關于數學本質的信念與其持有的關于數學教學的 信念不一致。 這也正如赫斯( h e r s h ，1 9 7 9 ) 所指出的：“人們關于數學是什么 的觀念影響到數學應當如何被教的觀念。而教數學的方式又往往表明了 張國杰數學學習論導引重慶：西南師大出版社，1 9 9 5 罾j o n e sm g v e s i l i i i de m p i i t 血gp r 刪c ei n t 0 也e o r y ：c i i 姐g 髂i l it h eo 姆抽z a n o n0 fp r e s e r v i c e 埋a c b e r s p e d a g o g i c a ll q l o w l 醴g ea m 砸c 觸e d u c 拍嘰a 1 r c a r c hj o u r a l ，1 9 9 2 ，3 3 ( 1 ) ：9 l - h 7 ( 曼) m c d i a m “gw c h a l l e n g i n gp r o s 刪v et e 們h 盯sb e l 曲血血ge a d y 毹l de x p 盯i e 眥：a q u 扭嘶cl 】n 樅i n g ? j a 哪a lo f t e a c l l e re d u c 撕o n ，1 9 9 0 ，4 l ( 3 ) ：l l 一2 0 ( d 詳細的定義見鄭毓信，數學教育哲學成都：四川教育出版社，2 0 0 1 4 5 0 一4 5 5 5 人們對什么在數學中最重要的信念。因而，問題并不在于教學 的最好方式是什么，而在于數學到底是什么?！?( 4 ) 數學觀作為一種認知的結果，未必是一種系統(tǒng)的理論觀點，而 也可能是一些素樸的認識，其持有者更未必對此具有清醒的自我意識。 基于此，我們將數學觀表述為“對的根本看法或認識”。因為“看 法”往往是淺表的、零碎的( 分裂的) 、感性的，而“認識”則一般是 深入的、系統(tǒng)的( 整體性的) 、理性的。 另外，應當指出的是，對數學觀的“客體”作一個明確的界定是極 為困難的，本文所給出的界定對此只是作了一個相對狹窄的限定，即強 調關于數學本質的信念，同時對主客體交互的過程作了一個簡單的刻 畫，為的是突出強調以下兩點：一、數學觀問題的核心在于關于數學本 質的信念，其他的觀念則在很大程度上由數學本質觀所決定；二、“做 數學”的行為過程是我們理解師生數學觀的重點所在。進一步說，“數 學教學觀”和“數學學習觀”并不能與“數學觀”混為一談，雖然它們 在很大程度上由“數學觀”決定，但同時它們也在一定程度上折射了別 的因素的干擾。 2 2 數學教育領域需要怎樣的數學觀? 數學觀是世界觀的部分，而世界觀是哲學范疇的主要要素，因此， 探討數學觀問題，不可避免地要涉及到認識論。在人類認識史上，數學 觀始終與哲學有著千絲萬縷的聯系，它們相互促進，相互影響，又相互 制約。基于此，我們認為全面了解哲學認識論中人們對數學觀的認識的 發(fā)展是很有必要的。 早期的數學觀與哲學聯系緊密，古希臘畢拉哥拉斯的“萬數皆數”； 中國古代秦九韶的“數與道，非二本也”等言論，既是一種數學觀，又 是一種世界本原觀。事實上，在很長一段時期內，人們都認為數量關系 是現實的本質，數學的有效性曾使文藝復興時期的人們篤定地相信“上 帝按數學方式設計了世界”。隨后，隨著數學與哲學的分離，歐幾里德 的演繹觀點在很大程度上統(tǒng)領了人們的數學觀，并導引了相對具體的基 礎主義靜態(tài)數學觀的產生和發(fā)展。從1 9 世紀中期到2 0 世紀四十年代， 基礎主義數學觀處于支配地位。然而，由于三大基礎主義學派基礎研究 規(guī)劃的“失敗”，引發(fā)了人們對數學的反思，并進而導致了基本觀念的 變化，即從靜態(tài)的絕對主義數學觀開始向動態(tài)的可誤主義的數學觀轉 變。 美國著名數學教育家倫伯格曾指出： 兩千多年來，數學一直被認為是人類的活動和價值觀念無關的無可 懷疑的真理的集合。這一觀念現在遭到了越來越多的數學哲學家的挑 戰(zhàn)，他們認為數學是可錯的、變化的，并和其他知識一樣都是人類創(chuàng)造 性的產物，這種動態(tài)的數學觀具有重要的教育涵義。 隨著哲學認識論觀念的重要轉變，數學教育哲學家開始探討數學教 育中絕對主義數學觀在教育中的替代觀念，例如歐內斯特的社會建構主 義數學哲學就被認為是關于這一論題的最早的系統(tǒng)研究。 與此同時，作為哲學認識論指導數學教育觀念的一個重要體現，研 究者們開始嘗試對數學觀進行歸類。 戴維斯和赫斯( d 莉s & h e r s h ，1 9 8 1 ) 率先給出了數學觀的一個分 類：柏拉圖主義的觀點( p i a t o n i s m ) ，形式主義的觀點( f o n n a l i s m ) 和 建構主義的觀點( c o n s t m c t i v i s m ) 。 利曼( l e 衄a n ，1 9 8 6 ) 在探討教師數學觀與其教學行為的關系的存 在性時，采取了另一種分類方法，他認為歐幾里德的、絕對主義的觀點 與擬經驗的( l a k a t o s i a l l ) 、可誤主義的觀點構成了兩個極端，而在這兩 個極端之問的一維連續(xù)區(qū)域里，還存在著四種觀念：邏輯主義的、形式 主義的、直覺主義的、擬經驗的。 1 9 8 9 年，歐內斯特 在綜合分析前入的工作的基礎上i 將數學觀分為 以下三類：問題解決的觀點、柏拉圖主義的觀點、工具主義的觀點。問 題解決的觀點把數學看成是一個動態(tài)的，由問題推動而發(fā)展的學科。數 學體現著人類的發(fā)明與創(chuàng)造，它不是一個一成不變的成品，它的結果是 開放的、可修正的，因而它必然處于不斷發(fā)展變化之中。柏拉圖主義的 觀點將數學看成是一個靜態(tài)而統(tǒng)一的知識的集合，它通過邏輯將相互聯 系的結構和真理很好地組織起來，組成一個永恒不變的高度統(tǒng)一的真理 集合。工具主義的觀點則把數學看成適于各種情況的有用的事實性結 論、法則和技巧的匯集，這些事實、法則和技巧并不相互關聯。因而“數 學是一堆彼此無關但卻很有用的事實和法則。” 上述的幾種分類反映了這樣一個趨勢，即它們漸次貼近了教育。事 實上，歐內斯特的分類已充分考慮到了三種類型的數學觀“在數學教學 d a v i s 柏dh 粥h1 飛en a t u r eo fm 8 出e m a h c sa n dp e 璉p e c 虹v 鍶a b o n t 伍缸h e 皿矗l i c s a d v a h c e si n m a t h m t i c s ，1 9 8 l ，v o l3 3 ，p p 3 1 8 l e m 姐t h ee x i s t e n c eo far e l a h o n s l l i db e t w 鯽lt e a c h e r s v i e w sa b o u tm 矗d l e m a 缸c s 姐di t s t e a c l 正n ga n dt i e i r 證柵以o n a lp r a c 如ep l l i l 稍叩h yo fm a 吐眥a t i c se d u c 撕o nn e w s l e t t 1 9 8 6 ， p p 7 1 e m e s tpt h e k n o w k d g e ，b e l i e f sa n da t t i t l l d 器0 f t l 舊m a | l i 啪a t i c s - i ：苣撇am o d e l j a 哪a l0 f e d i i c 撕o nf b ft e a c h 甜n g ，1 9 8 9 ，1 5 ( i ) ：1 3 - 3 3 7 中被觀察到頻繁出現和它們在數學哲學學術研究中的價值”。當然，我 們在此也應當注意到，再細致的分類也仍然難以涵蓋人們所有的數學 觀。有時我們很難確切地界定某人的數學觀是屬于哪一類型的，它很可 能是處于某兩類或幾類觀念之間的。 縱觀哲學認識論中人們對數學觀認識的發(fā)展和研究者們所給出的各 種數學觀分類，雖然并無任何研究明確指出數學教育領域需要怎樣的數 學觀，但幾乎所有已有的研究都暗示了這樣一種觀點，即動態(tài)的、問題 解決的數學觀是數學教育中所需要的。在我看來，這三種觀念并不存在優(yōu) 劣比較的問題。對不同的時期、不同的教育對象而言，對觀念的側重與 強調并不完全一致。單就教育角度而言，工具主義代表了低層次的觀念 形態(tài)，柏拉圖主義次之，問題解決則代表了高層次的觀念形態(tài)。這三種 觀念形態(tài)構成了金字塔式的、相容的觀念架構。 然而，與多數研究所暗示的觀點不同，一些學者對以從一個極端陡 轉到另個極端為特點的過激看法提出了不同的意見。 例如，鄭毓信指出：“無可否認，相對于所謂的絕對主義數學觀而 言，擬經驗的數學觀是一種進步，即更為真實地反映了數學韻本性；但 是，作為問題的另一方面，我們又應防止由一個極端走向另一個極端， 或者說，我們更應注意揭示數學的辯證性質?！痹诳隙〝祵W首先是一 種活動的同時，我們又應注意從數學知識，即數學活動的產物這一方面 去揭示數學的特殊性。例如，作為數學特殊性的一個重要表現，我們無 疑應當明確肯定數學的形式特性”。 總的來說，這些文獻提出了數學觀的各種分類，強調了數學觀的演 變，并給出了“正確的數學觀”的一個大致方向。數學觀的影響和被影 響的復雜性，可能正使得人們不論在哲學上還是在數學和數學教育領域 都難以給出所謂“正確的數學觀”的一個“絕對主義的”具體界定。 基于此，有學者將“正確的數學觀”理解為：一種分析和理解的偏 好、一種理解結構和結構關系的偏好、一種觀察事物和相應適應的偏好 。在我看來，在此我們或許也應該“動態(tài)地”來看待“什么是正確的 數學觀? ”這一問題，進而，如同上述文獻所表述的那樣，對“數學教 育領域需要什么樣的數學觀? ”給出廣泛意義上的定性分析。 2 3 數學教育領域現有的數學觀念形態(tài)是怎樣的? 多數針對教師數學觀的研究是與教師的教學實踐放在一起來探討 鄭毓信數學教育哲學，成都：四川教育出版社，2 0 0 1 4 4 5 4 4 6 鮑建生教學問題解決的理論與實證研究見：顧泠沅等編著尋找中間地帶：國際數學教 育改革的大趨勢上海：上海教育出版社，2 0 0 3 2 4 2 3 1 2 8 的。例如，湯普森( 1 1 1 0 唧s o n ，1 9 8 4 ) 對三名初中教師進行了個案研 究以調查他們對數學和數學教學的認識。通過課堂聽課、面談和書面作 業(yè)，該研究對每一位研究對象關于數學及數學教學的認識給出了一個概 括的模式。 著眼于中國乃至整個東亞在各項國際數學比賽中的突出表現，黃毅 英、林智中等人組成了研究小組對中國內地和香港師生數學觀進行了深 入的探討。按上述歐內斯特的分類，該研究中教師的數學觀主要是柏拉 圖主義的觀點。 在對學生數學觀的研究中，他們還對已有的針對學生數學觀的研究 作了一些歸納和概括竄。而與黃毅英等人的研究方法基本一致，自乳利 ( 2 0 0 2 ) 對5 6 名中國內地學生的數學觀進行了調查與分析，得到了類 似的結果。 f r a i l km 在一項旨在了解數學觀的形成與解題能力的相互影響的研 究中，對學生的數學觀進行了初步的概括。王林全 則在綜合一些調研 結論的基礎上，將中學生數學觀的片面性和他們對數學的誤解的主要表 現概括成以下幾點：( 1 ) 把數學等同于計算；( 2 ) 把數學看成一堆概念 和法則的集合；( 3 ) 對數學問題的觀念呆板化，相當多的學生( 甚至有 些教師) 把數學問題等同于教科書上的練習題、復習題、或考試題，并 習慣于數學問題有確定的甚至唯一的答案：( 4 ) 看不到或很少看到活生 生的數學問題。 總的來說，在那些探討師生具有怎樣的數學觀的研究中，多數都一 致揭示出師生數學觀的片面性和靜止性，而這種狹隘性又限制了師生在 數學教與學的方式上的進步。可以認為，這是為何有如此多的調研報告 和理論文獻呼吁要在數學教育中“端正”和改進教師與學生的數學觀的 主要原因所在。 2 4 數學教育中師生怎樣發(fā)展他們的數學觀? 在一些直接或間接涉及這一問題的文獻中，對影響數學觀形成的因 素的分析多數在本質上是思辨性的，或是僅僅關注于一些特殊的因素， 如參加某些體驗性的活動或是某些教育課程。有意思的是，這些探討特 定因素對數學觀的影響的研究甚至得到了一些相互矛盾的結論。 轉引自范良火教師教學知識發(fā)展研究，華東師范大學出版社，2 0 0 3 2 4 2 5 黃毅英，林智中等香港教師數學觀的研究數學教育學報，2 0 0 3 ，1 2 ( 2 ) ：1 9 f r kmlp r o b l c ms o m t l g i 曲嘶c a lb e h e 柚n l i n 鰣ct e a c l 毗1 9 8 8 ，( 3 5 ) ：3 2 - 3 4 王林全數學課程要幫助學生形成正確的學科觀念教學通報，2 0 0 0 ( 5 ) ：6 7 一些研究發(fā)現( 例如，m c d i 撇i d ，1 9 9 0 ；b a l l ，1 9 8 9 ) ，某些數學 教學課程對受訓的未來教師確實可以產生一定的影響，但這種影響并不 能在很大程度上持續(xù)下去。而一個更廣泛的人們早已提及但尚未解決的 問題是，大學里的這種職前培訓所產生的影響是否會被未來學校教學的 經驗所消除? 事實上，根據k u p a r i 等人的研究，教齡越長的教師，其數學觀越趨 于傳統(tǒng)，而教齡短的教師，其數學觀則相對非傳統(tǒng)。筆者認為，一個可 能的原因是數學課程本身隱含的數學觀是傳統(tǒng)的或被教師理解為傳統(tǒng) 的，而且隨著教師“數學經驗空間”日益單純，教材隱含的數學觀對教 師數學觀的影響日益突出，最終導致教師教學的時間越久，他對數學的 看法越傳統(tǒng)。 與僅僅關注于一些特殊的因素不同，在一項旨在促使未來教師 反思其數學觀的研究中，斯力勒固等人發(fā)現，以知識一合作一反思為基 礎的作為傳統(tǒng)教學方式的替代的數學教學課程可以有效地改善未來教 師的數學觀念。同時，斯力勒等人發(fā)現，他們研究中所采用的教學內容 對于這些未來教師而言是困難的。 因此，我們可以認為這些研究得出相互矛盾的結論的一個原因是， 那些認為教育介入難以改善教師數學觀的研究，其教育內容對受訓的教 師而言沒有什么智力上的挑戰(zhàn)。 除了關注數學觀的特定來源的研究，一些研究者還注意到了觀念上 的變化與實踐上的變化的因果關系，得到了一些有趣的結論。 方面，歐內斯特斷言：除非教師深層的數學觀念發(fā)生了重要變化， 否則其在教學上的變革不會發(fā)生。( e m e s t ，1 9 8 9 ) 另一方面，戛斯金指 出，教師在信念與態(tài)度上的重大變化只可能發(fā)生在學生學習上的變化得 到證明之后。此外，弗蘭 的研究也揭示，教師在態(tài)度、信念和理解上 的變化一般發(fā)生在其行為變化之后，而不是之前。 b a l ld l b r e a l 【i n gw i 也e 沖積曲c e i i ii 朋皿i n gt 0t e a c hm a 血眥撕錨：n el 沁l eo f ap r e s e r v i c 。 婪如o l s c 0 u r s e e 黯tl 刪i i l g ，m i ：n a t i o 枷c 蹦衙f o r r 舶e a 母t c a c h i n g e d u c a 曲r l k i l p a r ip f r o m 礎i n gc o m p u t 撕o n a ls b l l st 0p r o b 南ms o l v i n g + i n s d t l l t ef 打e d u c 枷o n a l r e a r c hr e a r c h r e p o r t 7 s t l e ，d i 托afp r a a t m o n 盯si e s e 盯c h ：as 乜l _ d yi nc h 柚g i n gp r c s e r v i c et e h c r g c o n c e p t i o i l s a b a u tm 劬e m 鰣c s 如dm g i l l e m 撕c gt e i i i l g 柚di e a m i n g s c h 0 0 ls c i 吼c e m a t l l e m 撕c s ，1 9 9 7 ， 登1 9 7 ，i s & 】e4 q 斌e y _ c h a l l g 沁i nt e a c b b e h e 矗鋤d 枷t i l d e s b 柵s he d i l c 撕0 n a l r e s e a r c hj o 啪a l ， 、b 1 1 2 ：2 1 1 2 3 0 ( 巨) f u u 孤a s t i l d yo nn 地i m p i 搴m e n t d 曲no f ar e a d i 昭p r o f 蛐衄e s c h o o ls c i 鋤c e & m a t h e m a d c s ， 1 9 8 5 ，以8 5 ：4 0 6 4 1 8 1 0 根據郝勒斯等人的研究，教師教學行為主要受課堂情境和教學決策 的影響，而教學決策不僅源自教師個人的認識結構和信念，還更容易受 外在因素，如有影響力的人物的左右，因此，先于信念變化而變化的行 為在教學中是可能存在的，這種先于信念變化的行為變化無疑可以喚起 教師對觀念的反思，進而引發(fā)教師深層觀念的“革命”，并反過來促進 其教學實踐的“穩(wěn)定的”變革。由此，我們可以認為上述兩種觀點不但 并不矛盾，而且正好刻畫了觀念變化的兩個不同階段。 另外，在探討內地和香港教師“有怎樣的數學觀”的研究中，黃毅 英( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 領導的數學觀研究小組對影響教師數學觀形成的主要 因素作了深入的理念性的分析。該研究認為：課程與教材的內容，整個 社會的數學、數學哲學的發(fā)展，考試制度等是影響教師數學觀形成的主 要因素。 與此形成對比的是，雷曼德( 1 9 9 7 ) 在探討教師信念與教學實踐的 不一致性的研究中發(fā)現，對新手教師而言，影響其信念形成和發(fā)展的因 素按主次順序依次是作為中小學生時的經歷，教師職前培訓，教學實踐， 早期家庭經歷，課堂情境和學生。 在此值得深思的一個問題是，雷曼德的研究所指出的導致教師信念 與實踐不_ 致的因素在很大程度上與黃毅英等人的研究所指出的影響 教師數學觀形成的因素相重疊。因而，對教師過多的限制可能正使得教 師不論是在信念上，還是在實踐中都很少有機會挑戰(zhàn)傳統(tǒng)。 第三章研究方法 本章主要涉及參與人員介紹，研究工具，數據收集過程，數據處理 與分析的方法，以及研究方法的評述等方面。 3 1 研究設計 數學觀是一個復雜的信念系統(tǒng)，因此，“應該從微觀和實證的角度” 去拓展教師信念的研究。圓本研究除了通過問卷調查，實習課堂觀察， 半結構式的訪談來收集原始數據資料外，還對訪談和實習課堂觀察采用 了案例分析的方法來進行盡可能深入細致的探討。 ( 1 ) 問卷調查表 問卷調查表由2 7 個問題組成，可見附錄a 。問卷設計依次參照了第 h o ) d e sm 甜l e m 撕c sb d i e f s 卸da 船s r 趣c d 協(xié)硼s ：b e 】j c 島c 刪s n l l c 惦di n s e 砸n g s e d u c 鰣d n a ls t u d i 齬i nm a 吐岫a s ，v 0 1 2 9 ，9 7 1 2 9 康武信念數學教師的方向性問題數學教育學報，2 0 0 3 ，1 2 ( 2 ) ：1 7 2 o 1 h 二次國際數學研究( s 蹦s ) 的問卷和斯潘格勒和托納固等人的研究所 采用的問卷。為了避免問卷受研究者主觀認識的左右，以及保證所給問 題能被明確地回答，問卷設計過程中，還向數名專家和高師數學系學生 作了技術性的咨詢。 在理念上，整個問卷設計以第2 章中對數學觀作出的界定為基礎， 將數學觀分成了a ) 對數學本質的認識，b ) 對做數學的內容與方式的理解； c ) 對數學根本特征的感悟等三個調查度向。具體說來，第1 部分( 問題 l 至4 ) 是為了獲得有關的背景資料，以幫助理解和分析被調查者對問 卷的回答；第1 i 部分( 問題5 至2 3 ) 用于調查學生目前所持有的數學 觀，利用不同年級大學生的回答來橫向分析高師數學系學生數學觀的發(fā) 展；第部分( 問題2 4 至2 7 ) 則針對學生現有數學觀的來源。在深入 分析已有相關文獻和與專家、高師大學生討論的基礎上，我將影響未來 教師數學觀發(fā)展的可能因素表述為a ) 教師在課堂中“演示”數學的方式； b ) 數學教材內容與整體編排：c ) 解數學題：d ) 數學考試；e ) 早期家庭教育 經歷；f ) 同學及數學課堂情境；曲其他校外活動。 根據第二章給出的界定，本問卷盡量避免將數學觀與數學教學觀混 為一談，但同時應當指出的是，由于對“做數學的內容和方式”的理解 在很大程度上與關于數學教與學的觀點相重疊，因此，本問卷仍可能不 可避免直接或間接地涉及被調查者關于數學教與學的觀點。在我看來， 刻意避免涉及師生關于數學教與學的觀點，不如深入分析他們這些觀點 是否折射了其他因素的干擾。 需要指出的是，問卷測量只能幫助我們了解學生數學觀及其來源的 大致輪廓和整體情形。因此，在本研究中，其他的研究方法也被納入了 方法框架。 ( 2 ) 半結構式訪談 延續(xù)問卷的設計理念，訪談共設計了9 道開放性問題，每個問題情 境可根據未來教師的回答選擇下一步的問題。訪談問題可詳見附錄b 。 訪談內容大致可分為兩個部分。第一部分是對問卷調查的深入，尤 其是學生對數學的看法的來源在訪談問題中得到了強調；第二部分針對 可能影響數學觀發(fā)展的三個重要因素設計了訪談問題，這三個因素分別 是：對數學的反思；閱讀有關書刊；教育實習。 s p 卸g l e rd a c c e s s 沁s m d e n 招b e u c f s 曲0 mm 砒鋤a 曬t l i em 砒e m a l i c se d u c a 協(xié)r ( o nl i e ) ， 4 ( 3 ) ：1 9 2 3 h t t p ：加w i l s c 哩a 枷e p t ，i m e s 鯽，蝴n ”s p 鋤g l p d g 切時e rt 唧e f e w so fg e 眥蛐m a 血e m a t i c st e 峙h e 聃m a m e 姒d c s 1 t t p ：、c b d o c 1 州窖 d e ，e b o o 齜，g d m ，1 9 9 6 ，t m 哦 。 1 2 這種半結構式的訪談在研究者指導教育實習的過程中分多次進行， 以求了解學生數學觀中深層的、內隱的部分以及他們在觀念上的內在變 化。 ( 3 ) 實習課堂觀察 與訪談的目的一致，在本研究中，課堂聽課被作為一種研究手段是 因為數學觀在很大程度上是“隱性的”和“幕后式的”，它往往在教師 的實際授課中間接地反映和體現出來。作為與問卷和訪談并行的研究手 段，實習課堂觀察在本研究中用來彌補前二者的缺陷和對比與印證與前 二者的發(fā)現。 附錄c 給出了用于課堂觀察的指導提綱，所有的課堂聽課都用筆記 的形式進行了記載。一些與數學觀聯系較密切的課堂情境被提取為研究 案例，并用“廣角鏡”的記錄方法進行了記錄。 總的說來，問卷、訪談和課堂觀察并非是截然分開的，相反，在本 研究中它們是相互補充、相互交織的，在方法與方法之間的過渡不是一 種生硬的切換，而是一種相互承接的“軟切換”，從一種手段可以很自 然地過渡到另一種手段。 3 2 數據收集 本研究的總體取自湖南師范大學數學系全體本科生。在一至三年級 中，分別隨機取了一個行政班作為樣本班，每班又隨機抽取了4 0 名同 學作為問卷調查對象。對四年級，則以筆者指導教育實習的實習隊成員 為問卷調查、訪談和課堂觀察的對象，共有2 1 人，分別來自兩個行政 班和不同的選學方向。 問卷調查表于2 0 0 3 年9 月初發(fā)出，累計發(fā)出問卷1 4 1 份，1 0 月下旬 開始收回，回收有效問卷表共計1 2 5 份，有效回復率為8 8 6 5 。其中 問卷的有效性是以問卷中的對偶性問題，如6 與1 2 ，8 與1 6 等來確定 參與者是否認真回答問題的。 總體從三年級起，開始打亂行政班，分成了三個不同的選學方向： 基礎數學，應用教學和數學教育。表3 2 1 給出了三、四年級問卷調查 對象選學方向的分布情況。 3 2 1 問卷調查 應用數學 本選學方向分布 基礎數學數學教育f 總計( 人) 三年級j 1 5 i 8 四年級i7l 8 訪談對象則在四年級學生中確定，在記名回收問卷并對各參與者的 回答作了初步分析后，確定了1 7 名有較大代表性或特色的學生作為訪 談對象。訪談是與實習課堂觀察緊密結合的，兩者都作了詳細的記錄。 3 3 數據處理與分析 如前所述，問卷將數學觀分成了數學本質、做數學和數學特征三個 調查度向，為了明確樣本的哲學取向，我們將問卷的第1 i 部分的1 9 個 條目按工具主義、柏拉圖主義和問題解決三類數學觀逐一作了歸類，歸 類參照了e m e s t 對這三類數學觀的具體刻畫。把每個條目只歸類到一類 顯然可以簡化數據分析。但事實上某些條目卻可以歸屬到兩個不同的類 別中去。例如，條目8 中的邏輯問題在問題解決的觀點中具有重要的地 位，但由于柏拉圖主義更突出邏輯的地位，因此，我們把它歸類在柏拉 圖主義的觀點中。 事實上，在e m e s t 模型中，工具主義、柏拉圖主義和問題解決的觀 點構成了金字塔式的相容結構，因此，把一些條目歸于低層次的類別并 不會消減它們在高層次類別中的重要性。 問卷第1 i 部分中數學觀調查度向和數學觀類別的問題分布情況在表 3 3 1 中給出。 表3 3 1問卷第1 i 部分中關于數學觀調查度向 工具主義柏拉圖主義問題解決 數學本質 1 1 1 3 7 ， 7 ，1 9 9 2 2 做數學 1 0 ，1 4 ，1 5 8 1 22 3 數學特征 2 0 2 l1 6 1 8 5 6 問卷第1 i 部分的數據分析是依次按照以下步驟來進行的： ( 1 ) 首先將問卷按年級進行分組，并在組內進行了編號( 本文中， a 1 表示四年級編號為1 的參與者，b 2 表示三年級編號為2 的參與者， 其他依此類推) ，并對每個組逐題求平均評估分值，1 9 個問題得到1 9 個平均評估分值，然后合并四個組求平均值，以得出高師學生在不同度 向中的認識傾向； ( 2 ) 對每個組作如下處理：按表3 3 1 的類別，求出每位被調查對 象的類別平均評估分值，然后對所有學生的三個平均值按多個相關樣本 的非參數檢驗中的f r i e d m a i l 檢驗法。檢驗三類觀念的顯著性差異，以得 出每個組( 即年級) 的數學觀取向。 參見吳喜之非參數統(tǒng)計北京：中國統(tǒng)計出版社，1 9 9 9 7 9 8 2 ；蘇金明等統(tǒng)計軟件s p s s 系 列應用實踐篇北京：電子工業(yè)出版社，2 0 0 2 2 4 4 。 1 4 ( 3 ) 針對工具主義、柏拉圖主義和問題解決三個類別進行組與組之 間的顯著性差異檢驗。由于各個年級之間在數學觀方面的相互影響并不 十分明顯，因此此處采用了兩個獨立樣本的m 舢- w h i t n e y 非參數檢驗 法來對不同年級兩兩比較，以得出工具主義、柏拉圖主義和問題解決 三種數學觀各自發(fā)展變化的趨向。 問卷第l 部分的數據的分析則依次遵循了如下步驟： ( 1 ) 對所有參與者求出每個因素的均值，以獲得各因素影響程度的 初步結果： ( 2 ) 對問卷中所列出的七種影響因素用多元變量的k e n d a l l 協(xié)同系 數檢驗法來檢驗所有參與者所做的選擇的一致程度，再對全部問卷作如 下處理：將評估分為4 和3 的置為l ，評估分2 和l 的置為0 ，然后對 七種因素進行關于二元響應的c o c l l r a n sq 檢驗以得出各因素的肯否頻 數及顯著性差異； ( 3 ) 對第部分三個類別的均值按選學方向( 三、四年級) 的不同 用f r i e d m a n 檢驗法檢驗其均值的顯著差異，以得出選學方向對數學觀 發(fā)展的影響程度。 以上數據的儲存和所有的統(tǒng)計分析，全部用統(tǒng)計軟件s p s s 來實現。 對于訪談和課堂觀察中得到的數據，分兩次作了處理。首先針對數 學觀，按e m e s t 的模型來別類，如果內容無法用此標準來別類，則另立 新類別，然后，針對數學觀的來源歸類，采用了類似的處理方法。 總的說來，數據分析遵循了兩條基本原則。 第一，采用了定量分析與定性分析相結合的方式。定量的方法主要 應用于來自問卷調查的數據，以求得到高師學生數學觀的一般取向和他 們是如何發(fā)展其數學觀的一般模式。定性方法主要應用于來自訪談和課 堂聽課的數據，以深入地闡明各個體是如何形成和發(fā)展他們的數學觀 的。這兩種方法相互證實，相互補充。 第二，關注學生的背景對其數學觀發(fā)展的影響。將從問卷獲得的有 關學生的背景信息，特別是他們所選學的方向，與他們在問卷中所反映 的數學觀取向進行了聯系分析。 第四章研究的發(fā)現與分析( 一) ： 高師學生數學觀及其發(fā)展 參見吳喜之非參數統(tǒng)計北京：中國統(tǒng)計出版社，1 9 9 9 5 7 6 3 ；1 1 2 1 13 ；8 2 8 3 ；蘇僉明等統(tǒng) 計軟件s p s s 系列應用實踐篇北京：電子工業(yè)出版社，2 0 0 2 23 3 2 3 4 ；下文的k e n d a l l 協(xié)同系數 參見2 4 4 2 4 5 ；c o c h r n sq 檢驗參見2 4 5 2 4 6 1 5 如第二章的文獻評述所指出的，關于中小學師生的數學觀的研究己 為數不少，且多是圍繞著數學觀的現狀展開的。而對于作為學生與教師 的過渡環(huán)節(jié)的高師階段，幾乎沒有研究，基于此，本章首先報告了高師 階段學生有著怎樣的數學觀，然后分析了高師階段學生數學觀的發(fā)展變 化，并結合這些發(fā)展，就內地數學觀研究的焦點問題數學抽象與應 用的問題報告了研究的發(fā)現，作了相應的分析。 4 1 高師階段學生數學觀取向 問卷第1 i 部分( 第5 至2 3 題) 是針對學生的數學觀取向的。表4 1 1 給出了全部參與者對這1 9 個條目的平均評估分值。 表4 1 1 問薹蠢鬟薹囊蠶囊霎鍪霎簍羹囂羹蒸攀 班羹 ；粵吲l i ；霎態(tài)l i ；i i 8i i i 蓑耄型i ；! ! l ；j i i ! i ；i i | i 薹! i ；萋翼簍i l ；| l i ；i l i l ! i l ；i i 蟊i 耄l ： 料的分析是以表4 13 所給出的基于e m