【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版(1).doc

學(xué)案27平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題自主梳理1向量數(shù)量積的定義(1)向量數(shù)量積的定義：_，其中|a|cosa，b叫做向量a在b方向上的投影(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)：如果e是單位向量，則aeea_；非零向量a，b，ab_；aa_或|a|_；cosa，b_；|ab|_|a|b|.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：ab_；(2)分配律：(ab)c_；(3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(a)b_.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab_；(2)設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab_；(3)設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，則|a|_，cosa，b_.(4)若a（x1，y1），b（x2，y2），則|_，所以|_.自我檢測1.（2010湖南）在rtabc中，c=90,ac=4,則等于 ()a16b8c8d162(2010重慶)已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab| ()a0b2c4d83(2011福州月考)已知a(1,0)，b(1,1)，(ab)b，則等于 ()a2b2c.d4.平面上有三個(gè)點(diǎn)a（-2，y），b（0，），c（x，y），若，則動(dòng)點(diǎn)c的軌跡方程為_5.（2009天津）若等邊abc的邊長為2，平面內(nèi)一點(diǎn)m滿足，則_.探究點(diǎn)一向量的模及夾角問題例1(2011馬鞍山月考)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；（3）若a，b，求abc的面積變式遷移1(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是 ()a1b2c.d.(2)已知i，j為互相垂直的單位向量，ai2j，bij，且a與b的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍為_探究點(diǎn)二兩向量的平行與垂直問題例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且kab的長度是akb的長度的倍(k0)(1)求證：ab與ab垂直；(2)用k表示ab；(3)求ab的最小值以及此時(shí)a與b的夾角.變式遷移2(2009江蘇)設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a與b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求證：ab.探究點(diǎn)三向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用例3已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值變式遷移3 （2010四川）已知abc的面積s=3，且cos b，求cos c.1一些常見的錯(cuò)誤結(jié)論：(1)若|a|b|，則ab；(2)若a2b2，則ab；(3)若ab，bc，則ac；(4)若ab0，則a0或b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若abac，則bc.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意2平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a與b的夾角.向量表示坐標(biāo)表示向量a的模|a|a|a與b的數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2a與b共線的充要條件ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要條件abab0abx1x2y1y20向量a與b的夾角cos cos 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：（1）要證ab=cd，可轉(zhuǎn)化證明22或|.（2）要證兩線段abcd，只要證存在唯一實(shí)數(shù)0，使等式成立即可（3）要證兩線段abcd，只需證0.(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010重慶)若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，則實(shí)數(shù)m的值為 ()ab.c2d62已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，則實(shí)數(shù)k的值為 ()a6 b3c3d63.已知abc中，a，b，ab0，sabc，|a|3，|b|5，則bac等于 ()a30b150c150d30或1504(2010湖南)若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為 ()a30b60c120d1505已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b上的投影為 ()a.b.c.d.題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010湖南長沙一中月考)設(shè)a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若ab，則sin _.7(2010廣東金山中學(xué)高三第二次月考)若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為_8已知向量m(1,1)，向量n與向量m夾角為，且mn1，則向量n_.三、解答題(共38分)9.(12分)已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在線段oc上是否存在點(diǎn)m，使，若存在，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由10(12分)(2011杭州調(diào)研)已知向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求證：ab；(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，滿足xy，試求此時(shí)的最小值11(14分)(2011濟(jì)南模擬)已知a(1,2sin x)，b，函數(shù)f(x)ab (xr)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)，求cos的值答案 自主梳理1(1)ab|a|b|cosa，b(2)|a|cosa，eab0|a|22.(1)ba(2)acbc(3)(ab)3.(1)a1b1a2b2(2)a1b1a2b20(3)(4)(x2x1，y2y1)自我檢測2b|2ab|2.3d由(ab)b0得ab|b|20，120，.4y28x(x0)解析由題意得，又，0，即0，化簡得y28x(x0)52解析合理建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿切问钦切?，故設(shè)c(0,0)，a(2，0)，b(，3)，這樣利用向量關(guān)系式，求得，所以2.課堂活動(dòng)區(qū)例1解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)|ab|.(3)與的夾角，abc.又|a|4，|b|3，sabc|sinabc433.變式遷移1(1)c|a|b|1，ab0，展開(ac)(bc)0|c|2c(ab)|c|ab|cos ，|c|ab|cos cos ，|c|的最大值是.(2)0且ab不同向即|i|22|j|20，0)得2.0)(3)由(2)知ab(k)，當(dāng)k時(shí)，等號成立，即k1.k0，k1.此時(shí)cos ，而0，.故ab的最小值為，此時(shí).變式遷移2(1)解因?yàn)閍與b2c垂直，所以a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.(2)解由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又當(dāng)時(shí)，等號成立，所以|bc|的最大值為4.(3)證明由tan tan 16得，所以ab.例3解題導(dǎo)引與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識解(1)abcos xcos sin xsin cos 2x，|ab|2|cos x|，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)cos x1時(shí)，f(x)取得最大值1.變式遷移3解由題意，設(shè)abc的角b、c的對邊分別為b、c，則sbcsin a.bccos a30，a，cos a3sin a.又sin2acos2a1，sin a，cos a.由題意cos b，得sin b.cos(ab)cos acos bsin asin b.cos ccos(ab).課后練習(xí)區(qū)1d因?yàn)閍b6m0，所以m6.2d由(2a3b)(ka4b)0得2k120，k6.3csabc|a|b|sinbac，sinbac.又ab0，bac為鈍角bac150.4c由(2ab)b0，得2ab|b|2.cosa，b.a，b0，180，a，b120.5b因?yàn)閍b|a|b|cosa，b，所以，a在b上的投影為|a|cosa，b.6.解析abcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin .7120解析設(shè)a與b的夾角為，cab，ca，ca0，即(ab)a0.a2ab0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0，180即120.8(1,0)或(0，1)解析設(shè)n(x，y)，由mn1，有xy1.由m與n夾角為，有mn|m|n|cos ，|n|1，則x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)9解 設(shè)存在點(diǎn)m，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(4分)，(26)(36)(53)(13)0，(8分)即45248110，解得或.m點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或.故在線段oc上存在點(diǎn)m，使，且點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2,1)或(，)(12分)10(1)證明abcos()cossinsinsin cos sin cos 0.ab.(4分)(2)解由xy得，xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.(6分)又|a|21，|b|21，kt33t