第5章高等數(shù)學(xué)計(jì)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)講稿.doc

第5章 高等數(shù)學(xué)計(jì)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容。利用MATLAB的符號(hào)工具箱，可以解決極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)和微分方程等方面的問(wèn)題。5.1 函數(shù)和極限5.1.1 函數(shù)使用符號(hào)表達(dá)式，可以進(jìn)行復(fù)合函數(shù)運(yùn)算和反函數(shù)運(yùn)算，下面分別予以介紹。 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算在MATLAB中，符號(hào)表達(dá)式的復(fù)合函數(shù)運(yùn)算主要是通過(guò)函數(shù)compose來(lái)實(shí)現(xiàn)的。compose函數(shù)的調(diào)用格式如下：compose(f,g)：返回復(fù)合函數(shù)。在這里,。其中，x是findsym定義的f函數(shù)的符號(hào)變量，y是findsym定義的g函數(shù)的符號(hào)變量。compose(f,g,z)：返回自變量為z的復(fù)合函數(shù)f(g(z)。在這里，f=f(x),g=g(y)，x，y分別是findsym定義的f函數(shù)和g函數(shù)的符號(hào)變量。compose(f,g,x,z)：返回復(fù)合函數(shù)f(g(z)，并且使x成為f函數(shù)的獨(dú)立變量。如：f=cos(x/t),compose(f,g,x,z)返回cos(g(z)/t)，而compose(f,g,t,z)返回cos(x/g(z)。compose(f,g,x,y,z)：返回復(fù)合函數(shù)f(g(z)，并且使x與y分別成為函數(shù)f與g的獨(dú)立變量。例51將和復(fù)合到一個(gè)函數(shù)中，指定x和y為它們的獨(dú)立變量，自變量為z。程序：syms x y t z;g=tan(y);f=xt;compose(f,g,x,y,z)%求復(fù)合函數(shù)運(yùn)行結(jié)果：ans = tan(z)t 符號(hào)表達(dá)式的反函數(shù)運(yùn)算在MATLAB中，符號(hào)表達(dá)式的反函數(shù)運(yùn)算主要是通過(guò)函數(shù)finverse來(lái)實(shí)現(xiàn)的。finverse函數(shù)的調(diào)用格式如下。g=finverse(f)：返回符號(hào)f的反函數(shù)g。其中，f是一個(gè)符號(hào)函數(shù)表達(dá)式，其變量為x。求得的反函數(shù)g是一個(gè)滿足g(f(x)=x的符號(hào)函數(shù)。g=finverse(f,v)：返回自變量為v的符號(hào)函數(shù)f的反函數(shù)。求得的反函數(shù)g是一個(gè)滿足g(f(v)=v的符號(hào)函數(shù)。當(dāng)f包含不止一個(gè)符號(hào)變量時(shí)，往往使用這種求反函數(shù)的調(diào)用格式。例52求的反函數(shù)。程序：f=sym(t/sin(x);g=finverse(f,x)%求反函數(shù)h=finverse(f,t)%求反函數(shù)運(yùn)行結(jié)果：g =asin(t/x)h =t*sin(x)5.1.2 極限在MATLAB中，符號(hào)極限由函數(shù)limit來(lái)實(shí)現(xiàn)。Limit函數(shù)的調(diào)用格式如下： limit(F,x,a)：返回符號(hào)表達(dá)式F當(dāng)時(shí)的極限。 limit(F,a)：返回符號(hào)表達(dá)式F由findsym(F)返回的獨(dú)立變量趨向于a時(shí)的極限。 limit(F)：返回符號(hào)表達(dá)式F由findsym(F)返回的獨(dú)立變量在a=0處的極限值。limit(F,x,a, right)或 limit(F,x,a, left)：求取單側(cè)極限，參數(shù)中right，left表明取極限的方向。例53求程序：syms xf=sqrt(x2+x+1)-sqrt(x2-x+1);a=limit(f,x,inf, left)%求極限b=limit(f,x,-inf, right)%求極限運(yùn)行結(jié)果：a =1b =-15.2 導(dǎo)數(shù)5.2.1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在MATLAB中，微分和求導(dǎo)都可以由函數(shù)diff實(shí)現(xiàn)。diff函數(shù)可同時(shí)處理數(shù)值和符號(hào)兩種情況下的求導(dǎo)和微分。該函數(shù)的調(diào)用格式如下所示。diff(F)：對(duì)findsym函數(shù)返回獨(dú)立變量求微分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。diff(F,a)：對(duì)a變量求微分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。diff(F,n)：對(duì)findsym函數(shù)返回的獨(dú)立變量求n次微分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。diff(F,a,n)或diff(F,n,a)：對(duì)變量a求n次微分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。例54求的二階導(dǎo)數(shù)。程序：syms xf=(x-1)5/(x+1);df=diff(f,1);%求導(dǎo)數(shù)d2f=diff(f,2);df=simplify(df)%化簡(jiǎn)d2f=simplify(d2f)運(yùn)行結(jié)果：df =2*(x-1)4*(2*x+3)/(x+1)2d2f =4*(x-1)3*(3*x2+9*x+8)/(x+1)35.2.2 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例55求隱函數(shù)所確定的導(dǎo)數(shù)。程序：%求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f=sym(x-y+1/2*sin(y);fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dv=-fx/fy;simplify(dv)%化簡(jiǎn)運(yùn)行結(jié)果：ans =-2/(-2+cos(y)5.2.3求參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例56求橢圓的參數(shù)方程所確定的導(dǎo)數(shù)。程序：%參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)fx=sym(a*cos(t);fy=sym(b*sin(t);dxt=diff(fx,t);dyt=diff(fy,t);dv=dyt/dxt;simplify(dv)%化簡(jiǎn)運(yùn)行結(jié)果：ans =-b*cos(t)/a/sin(t)5.3 極限和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極限可用于計(jì)算函數(shù)曲線的漸近線，導(dǎo)數(shù)可用于求函數(shù)的極值和拐點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性等。下面結(jié)合一個(gè)具體的例子進(jìn)行介紹。例57作函數(shù)的圖形。首先創(chuàng)建函數(shù)，程序?yàn)椋簊yms xnum=3*x2+6*x-1;denom=x2+x-3;f=num/denom運(yùn)行結(jié)果：f =(3*x2+6*x-1)/(x2+x-3)5.3.1 漸近線求函數(shù)圖形的水平漸近線，需要求x趨于無(wú)窮時(shí)f的極限，即limit(f,inf)limit(f,-inf)求f的垂直漸近線，使分母等于0，用下面的命令進(jìn)行求解。roots=solve(denom) %返回方程的解。綜合程序：syms xnum=3*x2+6*x-1;denom=x2+x-3;f=num/denom;a=limit(f,inf);b=double(a);roots=solve(denom);ezplot(f)%符號(hào)函數(shù)作圖命令。hold on%在原有的圖形上面疊加圖形。plot(-2*pi 2*pi,b b, g)%繪水平漸近線plot(double(roots(1)*1 1,-5 10, r)%繪垂直漸近線plot(double(roots(2)*1 1,-5 10, r)%繪垂直漸近線title(水平漸近線和垂直漸近線)hold off%取消圖形疊加運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖51。5.3.2 極值從圖51可以看出，函數(shù)至少有2個(gè)極值點(diǎn)，求解程序：syms xnum=3*x2+6*x-1;denom=x2+x-3;f=num/denom;a=limit(f,inf);b=double(a);roots=solve(denom);ezplot(f)%符號(hào)函數(shù)作圖命令。hold on%在原有的圖形上面疊加圖形。plot(-2*pi 2*pi,b b, g)%繪水平漸近線plot(double(roots(1)*1 1,-5 10, r)%繪垂直漸近線plot(double(roots(2)*1 1,-5 10, r)%繪垂直漸近線hold off%取消圖形疊加f1=diff(f);%求一階導(dǎo)數(shù)f1=simplify(f1);%化簡(jiǎn)crit_pts=solve(f1);%求駐點(diǎn)hold onplot(double(crit_pts),double(subs(f,crit_pts),ro);title(漸近線和極值)%加標(biāo)題text(-5,3,極小值)%加標(biāo)注text(-2,2,極大值)hold off運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖52。圖51水平漸近線和垂直漸近線圖52表示函數(shù)的漸近線和極值5.3.3 拐點(diǎn) 求函數(shù)的拐點(diǎn)，需要先求函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)，后面的處理方法與求極值方法相似。5.4 不定積分和定積分 MATLAB中，用符號(hào)工具箱的int函數(shù)求函數(shù)的不定積分和定積分。int函數(shù)的調(diào)用格式如下所示。 int(F)：對(duì)findsym函數(shù)返回獨(dú)立變量求不定積分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。 int(F,v)：對(duì)v變量求不定積分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。 int(F,a,b)：對(duì)findsym函數(shù)返回獨(dú)立變量求從a到b的定積分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。 int(F,v,a,b)：對(duì)v變量求從a到b的定積分，F(xiàn)為符號(hào)表達(dá)式。5.4.1 不定積分例58求不定積分。程序：syms x nf=xn;F=int(f,x)%求不定積分運(yùn)行結(jié)果：F =x(n+1)/(n+1)5.4.2 定積分例59求定積分。程序：syms x nf=x9;A=int(f,x,0,1)%求定積分運(yùn)行結(jié)果：A =1/105.4.3定積分的近似計(jì)算在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要對(duì)定積分進(jìn)行近似計(jì)算。常用的近似計(jì)算方法有矩形法、梯形法和拋物線法等。用MATLAB提供的trapz函數(shù)可以用梯形法近似求取定積分的值。例510求定積分的近似值。程序：b=2;x=linspace(0,b,10000);y=exp(-x.2./2)./sqrt(2*pi);A=trapz(x,y)%求定積分的近似值運(yùn)行結(jié)果：A = 0.47725.4.4定積分的應(yīng)用例511計(jì)算由兩條拋物線，所圍成的圖形的面積。程序：%求曲線的交點(diǎn)x1,y1=solve(y2=x,y=x2);x1=double(x1);y1=double(y1);n=numel(x1);%下面尋找實(shí)數(shù)解m=1;x0=;y0=;for k=1:n if isreal(x1(k)&isreal(x1(k) x0(m)=x1(k);y0(m)=y1(k); m=m+1; endendx0=sort(x0);y0=sort(y0);%排序%下面計(jì)算定積分syms xf=sqrt(x)-x2;A=int(f,x,x0(1),x0(2)運(yùn)行結(jié)果：A =1/3例512計(jì)算由橢圓所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。程序：syms a b xf=pi*b*b*(a*a-x*x)/a/a;V=int(f,x,-a,a)運(yùn)行結(jié)果：V =4/3*pi*b2*a例513計(jì)算由曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長(zhǎng)度。程序：syms x a bf=2*x(3/2)/3;d=diff(f);g=sqrt(1+d2);S=int(g,x,a,b)運(yùn)行結(jié)果：S =2/3*(1+b)(3/2)-2/3*(1+a)(3/2)5.4.5多重積分例514求二重積分。程序：syms r x yA=int(int(sqrt(r*r-x*x),y,0,sqrt(r*r-x*x),x,0,r)運(yùn)行結(jié)果：A =2/3*r35.5空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何將平面圖形與方程結(jié)合起來(lái)，從而可以用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。5.5.1空間向量運(yùn)算例515已知向量，計(jì)算，。程序：a=2 1 -1;b=1 -1 2;c=a+bd=a-bf=dot(a,b)%求數(shù)量積g=cross(a,b)%求向量積運(yùn)行結(jié)果：c = 3 0 1d = 1 2 -3f = -1g = 1 -5 -3例516已知三點(diǎn)、和，求。程序：M=1 1 1;A=2 2 1;B=2 1 2;ma=A-M;mb=B-M;c=dot(ma,mb)/sqrt(dot(ma,ma)/sqrt(dot(mb,mb);amb=acos(c)運(yùn)行結(jié)果：amb = 1.0472例517已知三角形的頂點(diǎn)是、和求三角形的面積。程序：A=1 2 3;B=3 4 5;C=2 4 7;ab=B-A;ac=C-A;S=sqrt(dot(cross(ab,ac),cross(ab,ac)/2運(yùn)行結(jié)果：S = 3.74175.5.2曲面及其方程利用MATLAB提供的繪圖函數(shù)，可以繪制給定函數(shù)的曲面。相關(guān)內(nèi)容在前面已介紹過(guò)，請(qǐng)參見(jiàn)4.2.4小節(jié)。5.6 多元函數(shù)的極限和求導(dǎo) 對(duì)于函數(shù)有多個(gè)變量的情況，求極限和導(dǎo)數(shù)時(shí)需要指定函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量進(jìn)行求取。在MATLAB中仍然使用limit和diff函數(shù)求多元函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)。5.6.1 求多元函數(shù)的極限例518求極限。程序：syms x yf=(sin(x+y)-sin(x)/y;limit(f,y,0)運(yùn)行結(jié)果：ans =cos(x)5.6.2 求多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例519求。程序：syms s tf=sin(s*t);diff(f,t)運(yùn)行結(jié)果：ans =cos(s*t)*s5.6.3求二元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例520設(shè)，求。程序：syms x y zf=x*x+y*y+z*z-4*z;fx=diff(f,x);fz=diff(f,z);zx=simplify(-fx/fz)運(yùn)行結(jié)果：zx =-x/(z-2)5.7 級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種重要工具，是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。本節(jié)主要介紹級(jí)數(shù)求和和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。5.7.1 級(jí)數(shù)求和可以用symsum函數(shù)求級(jí)數(shù)的和。該函數(shù)的調(diào)用格式如下：symsum(s)：求符號(hào)表達(dá)式s相對(duì)于符號(hào)變量k的和，k由findsym函數(shù)確定，取值從0到k-1。symsum(s,v)：求符號(hào)表達(dá)式s相對(duì)于符號(hào)變量v的和，v從0到v-1。symsum(s,a,b) 和symsum(s,v,a,b)：指定符號(hào)表達(dá)式s從v=a累加到v=b。例521求級(jí)數(shù)、和。程序：syms x k ns1=symsum(n)s2=symsum(1/k2,1,inf)s3=symsum(xk,k,0,inf)運(yùn)行結(jié)果：s1 =1/2*n2-1/2*ns2 =1/6*pi2s3 =-1/(x-1)5.7.2 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)用taylor函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。該函數(shù)的調(diào)用格式如下：taylor(f,n,v)：返回f的n-1階馬克勞林多項(xiàng)式近似。f為表示函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，v指定表達(dá)式中的獨(dú)立變量。v可以是字符串或符號(hào)變量。taylor(f,n,v,a)：返回f關(guān)于a的n-1階泰勒級(jí)數(shù)近似。變量a可以是數(shù)值、符號(hào)或表示數(shù)值值或未知值的字符串。n，v和a的順序沒(méi)有先后之分。taylor函數(shù)根據(jù)變量的位置和類(lèi)型確定它們的用途。還可以忽略n,v,a等變量中的任何一個(gè)。如果不確定v，taylor函數(shù)用findsym函數(shù)確定函數(shù)的獨(dú)立變量。n的默認(rèn)值為6。泰勒級(jí)數(shù)：。例522求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前9項(xiàng)。程序：syms xf=1/(5+4*cos(x);t=taylor(f,9)運(yùn)行結(jié)果：t =1/9+2/81*x2+5/1458*x4+49/131220*x6+443/13226976*x865.8 微分方程微分方程可以通過(guò)函數(shù)dsolve求解，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)r=dsolve(eq1, eq2,cond1, cond2,v)輸入?yún)?shù)eq1,eq2,表示微