金壯數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文第二稿.doc

一元函數(shù)的一致連續(xù)性的判定及其應(yīng)用作者：金壯指導(dǎo)老師：鄭文晶摘要：本文在對函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的概念和關(guān)系討論的基礎(chǔ)上，主要對一元函數(shù)在不同區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)的判定方法進(jìn)行了研究，總結(jié)和應(yīng)用，并且將部分判定一元函數(shù)一致連續(xù)的方法推廣到了多元函數(shù)，使大家對函數(shù)一致連續(xù)的概念有更全面的理解和認(rèn)識。關(guān)鍵詞：函數(shù)；連續(xù)；一致連續(xù)The determination of uniform continuity of a function and its applicationAbstract:Based on concepts and relationships of uniformly continuous function is continuous and discussed on the basis of the main of a function on the different interval determination methods of uniformly continuous function are studied, summarized and application, and determine the part one yuan of uniformly continuous function method has been generalized to multivariate function, the concept of uniformly continuous function make people have a more comprehensive understanding and awareness. Key words: functions; continuous; uniformly continuous 目錄引言3一、函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系31、函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別3 2、函數(shù)連續(xù)性與一致連續(xù)性的聯(lián)系5 二、一元函數(shù)一致連續(xù)性的判定與應(yīng)用6 1、一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性72、一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性9 3、一元函數(shù)一致連續(xù)性的應(yīng)用10 結(jié)論11 參考文獻(xiàn)11致謝12引言 我們知道，函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程中的一個重要內(nèi)容。函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，是指函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，它反映函數(shù)在該區(qū)間上一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，但函數(shù)的一致連續(xù)性則反映的是函數(shù)在給定區(qū)間上的整體性質(zhì)，它有助于研究函數(shù)的變化趨勢及性質(zhì)。因此，本文對函數(shù)一致連續(xù)性的概念、判定條件進(jìn)行了深入的分析和總結(jié)，目的是幫助大家掌握運(yùn)用不同的方法證明函數(shù)一致連續(xù)，使大家對函數(shù)一致連續(xù)性的概念有更全面的認(rèn)識和理解。一、 函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系1.1 函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別1.1.1 函數(shù)連續(xù)的局部性 定義1 函數(shù)在鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)存在極限，且極限就是，即 。 那么，稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。是否意味著在的鄰域內(nèi)連續(xù)呢？或者說其圖像在此鄰域上連綿不斷呢？回答是否定的。如函數(shù)只在連續(xù)；函數(shù)僅在三點(diǎn)處連續(xù)，又如函數(shù) 容易證明這個函數(shù)在任意點(diǎn)是連續(xù)的，但是我們卻不能一筆畫出函數(shù)在的任意小鄰域內(nèi)的圖形。上述例子表明“連續(xù)”僅僅是一個局部概念，不能僅從字面意思上去理解在連續(xù)。當(dāng)且僅當(dāng)在的鄰域U內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，才能說在的鄰域內(nèi)連續(xù)。函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義不能完全反映“連續(xù)”二字的本意，這確實(shí)是個遺憾，但是，如果在連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)值，那么上述例外情形就不會發(fā)生了，有如下命題命題 設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，且，則一定存在的某個鄰域，使在此鄰域內(nèi)連續(xù)。證明：因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，即，使得時，都有 。 (1) 現(xiàn)設(shè)，由（1-3）顯然有 。 從而有 可見在連續(xù)，由的任意性，知在的鄰域內(nèi)連續(xù)。因此,函數(shù)的連續(xù)性是一種按點(diǎn)而言的連續(xù)性,它僅僅反映了函數(shù)在區(qū)間上一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)。1.1.2函數(shù)一致連續(xù)性的整體性連續(xù)函數(shù)以它具有一系列良好的性質(zhì)而成為數(shù)學(xué)分析研究的主要對象，然而在連續(xù)函數(shù)中，又以一致連續(xù)的函數(shù)最為重要，因此，判定一個函數(shù)在其定義域內(nèi)是否一致連續(xù)，是數(shù)學(xué)分析的一個重要內(nèi)容之一。定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若對,，只要,就有 , 則稱函數(shù)在區(qū)間I上一致連續(xù)。 定義中的“一致”指的是什么呢？只要與函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)的的定義進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，連續(xù)定義中的，不僅僅依賴于,還依賴于點(diǎn)在區(qū)間I中的位置，即=；而在I上一致連續(xù)是指，存在這樣的，它只與有關(guān)而與在區(qū)間I中的位置無關(guān)，即=。也就是說，如果函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則對任意給定的正數(shù)，對于I上的每一點(diǎn)，都能分別找到相應(yīng)的正數(shù)，使得對I上的任意一點(diǎn),只要,就有，其中=。對于同一個而言，當(dāng)在I上變動時，的大小一般也隨著變動，即依賴于。在曲線比較平坦的部分所需的遠(yuǎn)比在曲線比較陡峭的部分所需的大得多。 如果的大小只與給定的有關(guān)，而與點(diǎn)在I上的位置無關(guān)，那么這時就在上I一致連續(xù)?？梢姟耙恢隆敝傅木褪谴嬖谶m合于I上所有點(diǎn)的公共，即=。直觀地說, 在I上一致連續(xù)意味著：不論兩點(diǎn)與在I中處于什么位置，只要它們的距離小于，就可以使。 這里可能會產(chǎn)生這樣的疑問：既然對I中每一個點(diǎn)都能找出相應(yīng)的=，那么取這些=的最小者或者是下確界作為正數(shù)，不就能使其與點(diǎn)無關(guān)了嗎？事實(shí)上，這不一定能辦得到。因?yàn)閰^(qū)間I中有無窮多個點(diǎn)，從而一般地也對應(yīng)著無窮多個正數(shù)，這無窮多個正數(shù)卻未必有最小的正數(shù)或取下確界為零。所以，在區(qū)間I上一致連續(xù)，反映出在I上各點(diǎn)“連續(xù)”程度是否步調(diào)“一致”這樣一個整體性質(zhì)。1.2 函數(shù)連續(xù)性與一致連續(xù)性的聯(lián)系 函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)與一致連續(xù)是兩個不同的概念，但它們之間也有聯(lián)系。有如下結(jié)論（1）函數(shù)在區(qū)間I上一致連續(xù)，則在I上連續(xù)。這個命題的證明是顯然的，我們只須將其中的一個點(diǎn)(或)固定即可，但這個命題的逆命題卻不一定成立。例1 證明函數(shù)在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)（盡管它在(0,1)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)）。證明：假設(shè)在(0,1)內(nèi)一致連續(xù)，則對，使得，只要，就有 ， 取(0,1)內(nèi)某兩點(diǎn)與，當(dāng) （只須） 有 不趨向0， 與已知在(0,1)內(nèi)一致連續(xù)矛盾，從而在(0,1)內(nèi)不一致續(xù)。 那么應(yīng)具備什么條件，在I上連續(xù)的函數(shù)才在I上一致連續(xù)呢？（2）在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上一致連續(xù)。 這是著名的G.康托定理。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的這一性質(zhì)對研究函數(shù)的一致連續(xù)性十分重要，由它我們可以推出許多重要的結(jié)論。注1 對函數(shù)的一致連續(xù)性概念的掌握，應(yīng)注意以下三個方面 ：（1）函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性與一致連續(xù)性的區(qū)別和聯(lián)系。（2）一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)，是區(qū)間上任意兩個彼此充分靠近的點(diǎn)的函數(shù)值的差的絕對值可以任意小，即對I，當(dāng)時，就有 。 （3）連續(xù)的否定敘述：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若，使，總I，雖然有 ， 但是 ， 則稱函數(shù)在區(qū)間I上非一致連續(xù)。總的來說，我們可以在一點(diǎn)處討論函數(shù)的連續(xù)性，卻不能在一點(diǎn)處討論函數(shù)的一致連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)性反映的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而函數(shù)的一致連續(xù)性則反映的是在整個區(qū)間上的整體性質(zhì)。二、 一元函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應(yīng)用2.1 一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性 由于用函數(shù)一致連續(xù)性的定義判定函數(shù)是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡單的判別法。 定理1(Contor) 若函數(shù)在a,b上連續(xù)，則在a,b上一致連續(xù)。 這個定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊中，運(yùn)用了致密性定理來證明，本文選用有限覆蓋定理來證明。分析：證明函數(shù)在a,b上一致連續(xù)，關(guān)鍵在于找到通用的。怎樣找呢？根據(jù)條件，對任意，有開區(qū)間集覆蓋了閉區(qū)間a,b。根據(jù)有限覆蓋定理，存在有限個開區(qū)間，i=1,2,n,也覆蓋了a,b。n個區(qū)間的半徑(i=1,2,n)一定存在最小的，這個最小的就是我們要找的通用的。證明：設(shè)是閉區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)，已知函數(shù)在連續(xù)，即對任意，總存在，當(dāng)時，有。若與是區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)，即 與， 則分別有 與 。 于是，區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)與，有 現(xiàn)將每個開區(qū)間的半徑縮小一半，得開區(qū)間集 。這個開區(qū)間集覆蓋了。根據(jù)有限覆蓋定理，存在有限個開區(qū)間，i=1,2,n,也覆蓋了閉區(qū)間。令 下面證明這個就具有一致連續(xù)所要求的性質(zhì)：如果對上任意兩點(diǎn)與，當(dāng)時，必屬于某個開區(qū)間，,即。因?yàn)?，有即屬于開區(qū)間。由(1-13)式知， 。 于是，對任意，總存在，對上任意兩點(diǎn)與，當(dāng)時，有，即函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。 注1 定理1對開區(qū)間不成立。例如函數(shù)在(0,1)內(nèi)每一個點(diǎn)都連續(xù)，但在該區(qū)間并不一致連續(xù)。 G.康托定理告訴我們：函數(shù)在區(qū)間a,b上一致連續(xù)的充要條件是在a,b上連續(xù)，所以在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)必定一致連續(xù)，然而對于有限開區(qū)間和無限區(qū)間，則結(jié)論不一定成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況： （1）對于有限開區(qū)間，這時端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)。 （2）對于無限區(qū)間，這時函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。 雖然如此，我們對于破壞一致連續(xù)性的有限開區(qū)間的端點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)附加一定的限制條件，G.康托定理也可以推廣到有限開區(qū)間和無限區(qū)間。 定理2 函數(shù)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)在(a,b)連續(xù)，且與都存在。 證明： 若在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)，則對，當(dāng) 時，有 ， 于是當(dāng)時，有 。 根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限存在，同理可證極限也存在，從而在(a,b)連續(xù), 與都存在。 若在(a,b)連續(xù)，且和都存在，則令 于是有在閉區(qū)間上連續(xù)，由Contor定理，在上一致連續(xù)，從而在內(nèi)一致連續(xù)。 根據(jù)定理2容易得以下推論： 推論1函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)且存在。 推論2函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)且存在。 注2 當(dāng)(a,b)是無限區(qū)間時，條件是充分不必要的。例如：在上一致連續(xù)，但是不存在，= +。2.2 一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性 定理3 在上可導(dǎo)，且（為正實(shí)數(shù)），則在上一致連續(xù)。 證明: 對，由拉格朗日中值定理得 ，其中介于之間。 故對，對，只要，就有，故在上一致連續(xù)。 由定理3還容易得出以下結(jié)論： 推論3 函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則在上一致連續(xù)。 例2 判定下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否一致連續(xù)。 （1），；（2）；（3）。 解：（1）易見在在可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)的絕對值,即在上一致連續(xù)。 （2）易見在上可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)的極限有，因此，在上一致連續(xù)。 （3）易證在上可導(dǎo)，且有，所以在上一致連續(xù)。 例3 設(shè)在上可導(dǎo)，且，則在不一致連續(xù)。證明：取，對 ，由得，當(dāng)時有，取，有，而，因此在上非一致連續(xù)。注3 由例3可見，上述判別法在判定某函數(shù)非一致連續(xù)時十分簡便。2.3 一元函數(shù)一致連續(xù)性的應(yīng)用對于一元函數(shù)的一致連續(xù)性與非一致連續(xù)性，有以下應(yīng)用:例4 在內(nèi)一致連續(xù)，但在R上不一致連續(xù)證明：（1）取，則對，當(dāng)時，有，因此有在內(nèi)一致連續(xù)。（2）首先對正實(shí)數(shù)0，取，當(dāng)，但是，即在R上不一致連續(xù)。 例5 證明無界函數(shù)在上一致連續(xù)。 證明：。對于任給的，取，則當(dāng), 時，恒有，因此在上一致連續(xù)。 綜上所述，一元函數(shù)一致連續(xù)的判定，是由函數(shù)所滿足的條件或所定義的范圍所決定的，上述定理給出幾種情況下函數(shù)一致連續(xù)的判定但不全面，我們還可以進(jìn)行更加深入的討論和研究。總結(jié) 一元函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應(yīng)用對于以后學(xué)習(xí)其他函數(shù)知識奠定了一定的基礎(chǔ)，同時函數(shù)一致連續(xù)性判定的思想也可以運(yùn)用到其它方面，如證明函數(shù)有界，積分等。使得再次遇到此類問題有了清晰的思路和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。參考文獻(xiàn) 1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系M. 數(shù)學(xué)分析 高等教育出版社2裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 高等教育出版社 3劉玉璉，傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義 高等教育出版社 4李鋒杰，劉丙辰. 關(guān)于函數(shù)的一致連續(xù)問題 煙臺師范學(xué)院學(xué)報 5姜雄. 關(guān)于函數(shù)在任意區(qū)間上一致連續(xù)與非