高數(shù)極值與最值.ppt

二 最大值與最小值問題 一 函數(shù)的極值及其求法 第五節(jié) 函數(shù)的極值與 最大值最小值 一 函數(shù)的極值及其求法 定義 在其中當 時 1 則稱為的極大值點 稱為函數(shù)的極大值 2 則稱為的極小值點 稱為函數(shù)的極小值 極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 注意 為極大值點 為極小值點 不是極值點 2 對常見函數(shù) 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0或不存在的點 1 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì) 例如 為極大值點 是極大值 是極小值 為極小值點 函數(shù) 設函數(shù)f x 在x0處連續(xù) 且在 x0 x0 x0 x0 內(nèi)可導 1 如果在 x0 x0 內(nèi)f x 0 在 x0 x0 內(nèi)f x 0 那么函數(shù)f x 在x0處取得極大值 2 如果在 x0 x0 內(nèi)f x 0 那么函數(shù)f x 在x0處取得極小值 3 如果在 x0 x0 及 x0 x0 內(nèi)f x 的符號相同 那么函數(shù)f x 在x0處沒有極值 定理2 第一充分條件 左正右負 左負右正 確定極值點和極值的步驟 1 求出導數(shù)f x 2 求出f x 的全部駐點和不可導點 3 考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f x 的符號 4 確定出函數(shù)的所有極值點和極值 設函數(shù)f x 在x0處連續(xù) 且在 x0 x0 x0 x0 內(nèi)可導 1 如果在 x0 x0 內(nèi)f x 0 在 x0 x0 內(nèi)f x 0 那么函數(shù)f x 在x0處取得極大值 2 如果在 x0 x0 內(nèi)f x 0 那么函數(shù)f x 在x0處取得極小值 3 如果在 x0 x0 及 x0 x0 內(nèi)f x 的符號相同 那么函數(shù)f x 在x0處沒有極值 定理2 第一充分條件 例1 求函數(shù) 的極值 解 1 求導數(shù) 2 求極值可疑點 令 得 令 得 3 列表判別 是極大值點 其極大值為 是極小值點 其極小值為 證 1 存在 由第一判別法知 2 類似可證 定理3 第二充分條件 設函數(shù)f x 在點x0處具有二階導數(shù)且f x0 0 f x0 0 那么 1 當f x0 0時 函數(shù)f x 在x0處取得極大值 2 當f x0 0時 函數(shù)f x 在x0處取得極小值 定理3 第二充分條件 設函數(shù)f x 在點x0處具有二階導數(shù)且f x0 0 f x0 0 那么 1 當f x0 0時 函數(shù)f x 在x0處取得極大值 2 當f x0 0時 函數(shù)f x 在x0處取得極小值 應注意的問題 如果f x0 0 f x0 0 則定理3不能應用 但不能由此說明f x0 不是f x 的極值 討論 函數(shù)f x x4 g x x3在點x 0是否有極值 例2 求函數(shù) 的極值 解 1 求導數(shù) 2 求駐點 令 得駐點 3 判別 因 故為極小值 又 故需用第一判別法判別 定理3 判別法的推廣 則 數(shù) 且 1 當為偶數(shù)時 是極小點 是極大點 2 當為奇數(shù)時 為極值點 且 不是極值點 當充分接近時 上式左端正負號由右端第一項確定 故結(jié)論正確 證 利用在點的泰勒公式 可得 例如 例2中 極值的判別法 定理1 定理3 都是充分的 說明 當這些充分條件不滿足時 不等于極值不存在 例如 為極大值 但不滿足定理1 定理3的條件 觀察與思考 觀察哪些點有可能成為函數(shù)的最大值或最小值點 怎樣求函數(shù)的最大值和最小值 二 最大值與最小值問題 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得 函數(shù)在閉區(qū)間 a b 上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大者 其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最小者 極值與最值的關系 最大值和最小值的求法 1 求出函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)的駐點和不可導點 設這此點為x1 x2 xn 2 計算函數(shù)值f a f x1 f xn f b 3 判斷 最大者是函數(shù)f x 在 a b 上的最大值 最小者是函數(shù)f x 在 a b 上的最小值 最大值 最小值 特別 當在內(nèi)只有一個極值可疑點時 當在上單調(diào)時 最值必在端點處達到 若在此點取極大值 則也是最大值 小 對應用問題 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點 是否為最大值點或最小值點 小 例3 求函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最大值和最小值 解 顯然 且 故函數(shù)在 取最小值0 因此也可通過 例3 求函數(shù) 說明 求最值點 與 最值點相同 由于 令 自己練習 在閉區(qū)間 上的最大值和最小值 解 x 設AD x km y 5k CD 3k DB k是某個正數(shù) B與C間的運費為y 則 DB 100 x 其中以y x 15 380k為最小 因此當AD 15km時 運費最省 由于y x 0 400k y x 15 380k 例4工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km A點到火車站B的距離為100km 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD 已知鐵路與公路每公里運費之比為3 5 為了使火車站B與工廠C間的運費最省 問D點應選在何處 y 5k CD 3k DB k是某個正數(shù) 解 設AD x km B與C間的運費為y 則 解 把W表示成b的函數(shù) 函數(shù)在唯一駐點b0處一定取得最大值 由W b 0知 用開始移動 例6 設有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上 受力F作 解 克服摩擦的水平分力 正壓力 即 令 則問題轉(zhuǎn)化為求 的最大值問題 設摩擦系數(shù) 令 解得 而 因而F取最小值 解 即 令 則問題轉(zhuǎn)化為求 的最大值問題 清楚 視角 最大 觀察者的眼睛1 8m 例7 一張1 4m高的圖片掛在墻上 它的底邊高于 解 設觀察者與墻的距離為xm 則 令 得駐點 根據(jù)問題的實際意義 觀察者最佳站位存在 唯一 駐點又 因此觀察者站在距離墻2 4m處看圖最清楚 問觀察者在距墻多遠處看圖才最 存在一個取得最大利潤的生產(chǎn)水平 如果存在 找出它來 售出該產(chǎn)品x千件的收入是 例8 設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是 解 售出x千件產(chǎn)品的利潤為 問是否 故在x2 3 414千件處達到最大利潤 而在x1 0 586千件處發(fā)生局部最大虧損 說明 在經(jīng)濟學中 稱為邊際成本 稱為邊際收入 稱為邊際利潤 由此例分析過程可見 在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上 即邊際收入 邊際成本 見右圖 即 收益最大 虧損最大 內(nèi)容小結(jié) 1 連續(xù)函數(shù)的極值 1 極值可疑點 使導數(shù)為0或不存在的點 2 第一充分條件 過 由正變負 為極大值 過 由負變正 為極小值 3 第二充分條件 為極大值 為極小值 4 判別法的推廣 定理3 定理3 最值點應在極值點和邊界點上找 應用題可根據(jù)問題的實際意義判別 思考與練習 2 連續(xù)函數(shù)的最值 1 設 則在點a處 的導數(shù)存在 取得極大值 取得極小值 的導數(shù)不存在 B 提示 利用極限的保號性 2 設 A 不可導 B 可導 且 C 取得極大值 D 取得極小值 D 提示 利用極限的保號性 3 設 是方程 的一