專題九 數(shù)學高考的創(chuàng)新試題解題指導第三節(jié) 研究性問.doc

研究性學習作為一種適應新形勢需要的學習方法，其核心是自主學習，有助于激發(fā)學創(chuàng)造動機，提高動手實踐能力，樹立科學思想，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.因此，在近些高考命題中都有所體現(xiàn).而要解決高考中的研究性學習問題，就要針對提出的數(shù)學問題，充分研究問題的條件和結論之間的聯(lián)系，運用解決問題和分析問題的數(shù)學能力，發(fā)現(xiàn)解題依據，從中尋求最佳解題方法.題型一 知識類比問題【例1】設等差數(shù)列的前項和為，則，成等差數(shù)列.類比以上結論有：設等比數(shù)列的前項積為，則， ， ，成等比數(shù)列.點撥：根據類比猜想得出，成等比數(shù)列.本題考查由等差數(shù)列到等比數(shù)列的拓展推廣，因為類比是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時的教學與復習中更要注意類比等思想方法的學習.解析： 對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項積為，則，成等比數(shù)列.易錯點：在等差數(shù)列到等比數(shù)列類比過程，同學們易把握不住類比的方向，如等差數(shù)列中的“差”類比成等比數(shù)列中的“商”.變式與引申1已知橢圓具有性質：若、是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點是橢圓上任意一點，當直線、的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P的位置無關的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明.題型二 條件探索性問題例2 已知首項為的數(shù)列滿足，其中為常數(shù).()若對任意的，有對任意的都成立，求的值；()當時，若，數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？請說明理由；()當確定后，數(shù)列由其首項確定，當時，通過對數(shù)列的探究，寫出“是有窮數(shù)列”的一個真命題（不必證明）.說明：對于第()小題，將根據寫出真命題所體現(xiàn)的思維層次和對問題探究的完整性，給予不同的評分.點撥：本題作為高考的壓軸題，考察學生對數(shù)列中遞推公式的理解和應用，因此可從遞推公式入手，求出關于通項的方程，求出參數(shù)，第()小題可應用證明數(shù)列單調性的定義法，直接比較與的大小，第()小題屬于開放探索型題型，要求學生寫出使得結論成立的條件，此時關鍵在于求出與結論等價的充分必要條件.條件開放的數(shù)學問題，可用執(zhí)果索因的演繹法或由特殊到一般的歸納法，也可以從結論出發(fā)，利用給定的條件，逆向推理直到終結點便是所探索的條件 數(shù)列滿足，若，則數(shù)列是有窮數(shù)列； 數(shù)列滿足，若，則數(shù)列是有窮數(shù)列； 數(shù)列滿足，則數(shù)列是有窮數(shù)列的充要條件是存在，使得； 數(shù)列滿足，則數(shù)列是有窮數(shù)列且項數(shù)為的充要條件是，.易錯點：在求解遞推公式時，求解與之間的公式出錯.判斷并證明數(shù)列單調性中，沒有利用一般的歸納法得到，給接下來的證明帶來困難.變式與引申2給定集合，映射滿足：當時，；任取若，則有.則稱映射：是一個“優(yōu)映射”.例如：用表1表示的映射：是一個“優(yōu)映射”. 表1 表212323112343已知表2表示的映射： 是一個優(yōu)映射，請把表2補充完整（只需填出一個滿足條件的映射）.題型三 結論探索型問題例3 如圖931，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中()當A1CB1D1時，試確定底面四邊形ABCD的形狀；()如果底面ABCD是正方形，E是C1D1的中點，是否存在實數(shù)，當時，DECA1若存在，求出實數(shù)的范圍；若不存在，說明理由點撥：()根據條件，可以考慮四邊形的特殊性，采用逆推法；（2）在ABCD是正方形的情況下，可以建立空間直角坐標系，利用向量運算的確定性來轉化開放運動的不定條件，方便問題的解決解析：()根據條件與結論分析，如果A1CB1D1，則BD一定垂直平面AA1C，只要滿足條件ACBD，就能推出結論，因此對四邊形ABCD的形狀可以是正方形、菱形、箏形故由于，則因此，而，可得，故不存在實數(shù)使得DECA1易錯點：應用三垂線定理中出錯，未能將線斜垂直轉化為線影垂直.變式與引申3如圖932所示，已知：直線mn，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點（1）請寫出圖中面積相等的各對三角形；（2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論P點移動到任何位置，總有_與ABC的面積相等理由是：_.題型四 綜合探究能力問題例4對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數(shù) .（）當，時，求函數(shù)的不動點；（）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；（）在（）的條件下，若圖像上，兩點的橫坐標是函數(shù)的不動點，且，兩點關于直線對稱，求的最小值.點撥：理解不動點的概念，求出不動點的充要條件.本題以高等數(shù)學中不動點的概念為背景，考察學生能綜合靈活運用所學數(shù)學知識，思想方法.對新概念、新知識、新信息、新情景、新問題進行分析、探索、創(chuàng)造性的解決問題的能力.因為，當且僅當即時，有最小值.易錯點：學生未能理解不動點的概念，僅僅簡單地從字面上理解，未能轉化為數(shù)學語言，這也要求我們在訓練學生思維能力方面重要的把握對概念的理解.變式與引申4.設是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間（I）證明：對任意的，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間；（II）對給定的（），證明：存在，滿足，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）本節(jié)主要考查：高考數(shù)學命題中的研究性創(chuàng)新問題主要有學習能力型、結論探索型、解題策略研究型、綜合探究能力型等幾種類型. 研究性創(chuàng)新問題因其思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強，這類創(chuàng)新題在高考中頻頻亮相.點評：所謂創(chuàng)新意識就是能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題. 創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強.高考中的研究性學習問題，就要針對提出的數(shù)學問題，充分研究問題的條件和結論之間的聯(lián)系，運用數(shù)學綜合能力，發(fā)現(xiàn)解題依據，從中尋求最佳解題方法. 如類比是將解題方法、式子結構、運算法則、問題結論等或引申、或推廣、或遷移，由已知探索未知，由舊知探索新知；善于從若干特殊現(xiàn)象中總結出一般規(guī)律.高考中對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查.在考試中創(chuàng)設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數(shù)學問題時，往往注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性；精心設計考查數(shù)學主體內容、體現(xiàn)數(shù)學素質的試題；也會有反映數(shù)、形運動變化的試題以及研究型、探索型、開放型等類型的試題.這種試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn).習題931已知的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，請將題目中所空缺的一個可能條件填入_處.2對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)與，如果對任意的，均有，則稱與在上是接近的，否則稱與在上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間.（）若與在給定區(qū)間上都有意義，求的取值范圍;()討論與在給定區(qū)間上是否是接近的.3如圖933所示，五邊形 ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖934所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（934中折線CDE）還保留著；張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請你用有關的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積） （1）寫出設計方案并畫出相應的圖形； （2）說明方案設計理由4過橢圓上的動點P引圓的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB與x軸、y軸分別交于M、N.（1）問代數(shù)式的值是否與P點的運動相關？并證明你的結論；（2）是否存在點P使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由.【答案】變式與引申1解：類似的性質為：若、是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點是雙曲線上任意一點，當直線、的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點的位置無關的定值.證明：設點、的坐標為（）、（），則（）. 因為點（）在已知雙曲線上，所以，同理.則（定值）.2.解： 或 3.解：（l）ABC和ABP，AOC和 BOP、CPA和CPB（2）ABP；因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上移動到任何位置，總有ABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等4. 解：（I）證明：設為的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知在上單調遞增,在上單調遞減當時,假設,則從而這與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間當時,假設,則,從而這與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間（II）證明：由（I）的結論可知：當時,含峰區(qū)間的長度為當時,含峰區(qū)間的長度為對于上述兩種情況,由題意得由得,即又因為,所以將代入得由和解得所以這時含峰區(qū)間的長度,即存在使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于習題9-31提示：此題所空缺條件一般是應滿足什么條件.首先確定焦點所在的坐標軸.假設焦點在軸上,由題意有則從而與題設矛盾,知橢圓的焦點在軸上. 于是有,亦即 綜上應有.故當時，與在上是接近的，圖931當時，與在區(qū)間上是非接近的.3（1）畫法如圖931所示.連接EC，過點D作DFEC，交CM于點F，連接EF，EF即為所求直路位置（2）設EF交CD于點H，由上面得