高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)測評課件43.ppt

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 基礎(chǔ)梳理 1 直棱柱 正棱錐 正棱臺的概念 側(cè)面展開圖及側(cè)面積一些簡單的多面體可以沿著多面體的某些棱將其剪開成平面圖形 這個平面圖形叫做該多面體的 平面展開圖 直棱柱 直棱柱 ch 正棱錐 正棱臺 2 旋轉(zhuǎn)體的表面積公式 1 圓柱的表面積s 其中r為底面半徑 l為母線長 2 圓錐的表面積s 其中r為底面半徑 l為母線長 3 圓臺的表面積公式s 其中r r為上 下底面半徑 l為母線長 4 球的表面積公式s 其中r為球半徑 3 幾何體的體積公式 1 柱體的體積公式v 其中s為底面面積 h為高 2 錐體的體積公式v 其中s為底面面積 h為高 3 臺體的體積公式v 其中s s為上 下底面面積 h為高 4 球的體積公式v 其中r為球半徑 2 r r l r r l r r l r2 r 2 4 r2 sh 典例分析 例1 已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm 且其側(cè)面積等于兩底面面積之和 求棱臺的高 題型一幾何體的表面積問題 分析要求正棱臺的高 首先要畫出正棱臺的高 使其包含在某一個特征直角梯形中 轉(zhuǎn)化為平面問題 由已知條件 列出方程 求解所需的幾何元素 解如圖所示 正三棱臺abc a1b1c1中 o o1分別為兩底面中心 d d1分別為bc和b1c1的中點(diǎn) 則dd1為棱臺的斜高 設(shè)a1b1 20 ab 30 則可得od o1d1 由s側(cè) s上 s下 得 20 30 3 dd1 202 302 dd1 在直角梯形o1odd1中 o1o 棱臺的高為cm 學(xué)后反思 1 求解有關(guān)多面體表面積的問題 關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形 解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題 要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖 2 借助于平面幾何知識 利用已知條件求得所需幾何要素 舉一反三1 圓臺側(cè)面的母線長為2a 母線與軸的夾角為30 一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍 求兩底面的半徑以及兩底面面積之和 解析 如圖 延長圓臺母線交于點(diǎn)s 設(shè)圓臺上底面半徑為r 則下底面半徑為2r 則 aso 30 在rt sa o 中 sa 2r 在rt sao中 sa 4r sa sa aa 即4r 2r 2a r a 圓臺上底面半徑為a 下底面半徑為2a 兩底面面積之和為 例2 直平行六面體的底面為菱形 過不相鄰兩條側(cè)棱的截面面積為q1 q2 求它的側(cè)面積 分析要求此棱柱的側(cè)面積 只要求出它的底面邊長與高即可 學(xué)后反思 1 在多面體或旋轉(zhuǎn)體中 要正確識別和判斷某截面圖形的形狀和特征 2 用已知量來表示側(cè)面積公式中的未知量 利用平面幾何知識 菱形的對角線互相垂直平分 采用整體代入 設(shè)而不求 減少運(yùn)算量 簡化運(yùn)算過程 舉一反三2 三棱柱的底面是等腰三角形 ab ac bac 2 上底面的頂點(diǎn)在下底面的射影是下底面三角形外接圓圓心o 下底面 abc外接圓半徑為r 側(cè)棱和ab成2 角 求三棱柱的側(cè)面積 解析 如圖所示 作od ab于d 則ad rcos ab 2rcos ab ao bc 由三垂線定理得 bc 故 bc 又 bc 2rsin2 例3 已知四棱臺兩底面均為正方形 邊長分別為4cm 8cm 各側(cè)棱長均為8cm 求它的側(cè)面積和體積 題型二幾何體的體積問題 分析由題意知 需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高 然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求解 解如圖 設(shè)四棱臺的側(cè)棱延長后交于點(diǎn)p 則 pbc為等腰三角形 取bc中點(diǎn)e 連接pe交b1c1于點(diǎn)e1 則pe bc e1e為側(cè)面等腰梯形的高 作po 底面abcd交上底面于點(diǎn)o1 連接o1e1 oe 在 pb1c1和 pbc中 pb1 b1b 8 b1為pb的中點(diǎn) e1為pe的中點(diǎn) 在rt peb中 pe cm e1e cm 在rt poe中 po oo1 po cm s四棱臺側(cè) 4s梯形bcc1b1 v四棱臺 v四棱錐pabcd v四棱錐pa1b1c1d1 s四邊形abcd po s四邊形a1b1c1d1 po1 82 414 42 214 cm3 學(xué)后反思 1 求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的 特征直角三角形 和 特征直角梯形 它們是架起 求積 關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的橋梁 2 平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題 通常是 還臺為錐 而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解 還臺為錐 借助于軸截面 將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 求出相關(guān)數(shù)據(jù) 進(jìn)行計算 還臺為錐 是解決棱臺問題的重要方法和手段 舉一反三3 如圖 在多面體abcdef中 已知四邊形abcd是邊長為1的正方形 四邊形abfe為等腰梯形 且 ade bcf均為正三角形 ef 2 則該多面體的體積為 答案 解析 如圖 分別過a b作ef的垂線 垂足分別為g h 連接dg ch 易求得eg hf ag gd bh hc 可得 題型三組合體的體積和表面積問題 例4 14分 如圖 正三棱錐的高為1 底面邊長為26 內(nèi)有一個球與四個面都相切 求棱錐的表面積和球的半徑 分析先畫截面圖再求解 解過pa與球心o作截面pae與平面pcb交于pe 與平面abc交于ae 2 因為 abc是正三角形 易知ae既是 abc中bc邊上的高 又是bc邊上的中線 作為正三棱錐的高pd既通過球心o 且d也是 abc的重心 4 據(jù)此根據(jù)底面邊長為 即可算出 6 8 又f為球與平面pbc的切點(diǎn) of pe 設(shè)of r 10 由 pof ped 知 12 14 學(xué)后反思 1 球與多面體 旋轉(zhuǎn)體的相接 相切問題簡稱為組合體問題 這類問題能夠很好地考查學(xué)生對空間圖形的識圖 辨別能力 更能考查學(xué)生的空間想象能力 所以在高考中一直是熱點(diǎn)題型 復(fù)習(xí)中要注意總結(jié)規(guī)律 掌握常見問題的求解方法 2 相切或相接問題一般通過作出截面 使構(gòu)成組合體的各個簡單體中的主要元素盡可能集中在該截面中 從而轉(zhuǎn)化成平面圖形的計算加以解決 旋轉(zhuǎn)體之間的相接 相切問題 通常作出它們的共軸的截面 旋轉(zhuǎn)體與多面體之間的相接 相切問題 一般作出它們接 切的某個公共點(diǎn)與軸所確定的截面 舉一反三4 將一個棱長為6cm的正方體加工成一個體積最大的木球 這個球的體積為 答案 36 解析 易知正方體的內(nèi)切球體積最大 設(shè)其內(nèi)切球的半徑為r 則根據(jù)題意知2r 6 即r 3 故其內(nèi)切球的體積 考點(diǎn)演練 10 2010 蘇州質(zhì)檢 半徑為r的半圓卷成一個圓錐 求它的體積 解析 設(shè)所求圓錐底面半徑為r 高為h 則 r 2 r 故所求圓錐的體積為 11 一個正三棱錐的高和底面邊長都為a 求它的側(cè)面積和體積 解析 如圖 過s作so 平面abc 垂足為o 過s作sd ab交ab于d 連接od 則so a od ab 且