數(shù)學(xué)建模章紹輝版第四章作業(yè).doc

第四章作業(yè)第二題：針對嚴重的交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局發(fā)布的國家標(biāo)準，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml的為醉酒駕車。下面分別考慮大李在很短時間內(nèi)和較長時間內(nèi)（如2個小時）喝了三瓶啤酒，多長時間內(nèi)駕車就會違反新的國家標(biāo)準。1、 問題假設(shè)大李在短時間內(nèi)喝下三瓶啤酒后，酒精先從吸收室（腸胃）吸收進中心室（血液和體液），然后從中心室向體外排除，忽略喝酒的時間，根據(jù)生理學(xué)知識，假設(shè)（1） 吸收室在初始時刻t=0時，酒精量立即為;在任意時刻，酒精從吸收室吸收進中心室的速率（吸收室在單位時間內(nèi)酒精含量的減少量）與吸收室的酒精含量成正比，比例系數(shù)為；（2） 中心室的容積V保持不變；在初始時刻t=0時，中心室的酒精含量為0；在任意時刻，酒精從中心室向體外排除的速率（中心室在單位時間內(nèi)酒精含量的減少量）與中心室的酒精含量成正比，比例系數(shù)為；（3） 在大李適度飲酒沒有酒精中毒的前提下，假設(shè)和都是常量，與飲酒量無關(guān)。2、 符號說明酒精量是指純酒精的質(zhì)量，單位是毫克；酒精含量是指純酒精的濃度，單位是毫克/百毫升；時刻（小時）；在時刻吸收室（腸胃）內(nèi)的酒精量（毫克）；兩瓶酒的酒精量（毫克）；在時刻吸收室（血液和體液）的酒精含量（毫克/百毫升）；在時刻中心室（血液和體液）的酒精含量（毫克/百毫升）；中心室的容積（百毫升）；酒精從吸收室吸收進中心室的速率系數(shù)（假設(shè)其為常數(shù)2.0079）；酒精從中心室向體外排除的速率系數(shù)（假設(shè)其為常數(shù)0.1855）；在短時間喝下三瓶酒的假設(shè)下是指短時間喝下的三瓶酒的酒精總量除以中心室體積，即；而在較長時間內(nèi)（2小時內(nèi)）喝下三瓶酒的假設(shè)下就特指.3、 模型建立和求解（1） 酒是在很短時間內(nèi)喝的：記喝酒時刻為（小時），設(shè)，可用來計算血液中的酒精含量，此時為假設(shè)中所示的常數(shù)，而.下面用MATLAB程序畫圖展示血液中酒精含量隨時間變化并且利用fzero函數(shù)和fminbnd函數(shù)來得到飲酒駕車醉酒駕車對應(yīng)的時間段，以及血液中酒精含量最高的時刻。MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;c=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);f=(t)c(t)-20;g=(t)c(t)-80;h=(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)t3,c3=fminbnd(h,0,24)fplot(c,0,20,k)hold onplot(0,20,20,20,k,0,20,80,80,k)hold offxlabel(時刻t（小時），從開始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量（mg/100ml）)title(短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程)gtext(0.06891,20)gtext(11.589,20)gtext(0.38052,80)gtext(4.1125,80)gtext(1.307,122.25)運行結(jié)果如下：t1 = 0.06891 11.589t2 = 0.38052 4.1125t3 = 1.307c3 = -122.25所繪圖形如下：結(jié)果分析：所以，當(dāng)時，屬飲酒駕車。當(dāng)時，屬醉酒駕駛；當(dāng)時，血液中的酒精含量最高為122.25毫克/百毫升。（2） 酒是在2小時內(nèi)喝的：可假設(shè)三瓶啤酒是在2小時內(nèi)勻速喝的. 同樣記喝酒時刻為（小時），設(shè)，則吸收室的酒精量滿足分段的初值問題解得于是中心室內(nèi)的酒精含量滿足分段的初值問題解得其中，因為，以及，所以，下面用MATLAB程序畫圖展示血液中酒精含量隨時間變化并且利用fzero函數(shù)和fminbnd函數(shù)來得到飲酒駕車醉酒駕車對應(yīng)的時間段，以及血液中酒精含量最高的時刻。MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c1=(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t=0&t2);f1=(t)c1(t)-20;g1=(t)c1(t)-80;h1=(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),t3,c3=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,0,20,k)hold onplot(0,20,20,20,k,0,20,80,80,k)hold offxlabel(時刻t（小時），從開始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量（mg/100ml）)title(短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程)gtext(0.62321,20)gtext(12.62,20)gtext(1.6366,80)gtext(5.1412,80)gtext(2.6328,115.74)運行結(jié)果如下：t1 = 0.62321 12.62t2 = 1.6366 5.1412t3 = 2.6328c3 = -115.74所繪圖形如下：結(jié)果分析：所以，當(dāng)時，屬飲酒駕車。當(dāng)時，屬醉酒駕駛；當(dāng)時，血液中的酒精含量最高，為115.74毫克/百毫升.下面用圖形比較兩種不同假設(shè)下血液中酒精含量的變化過程。MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);c1=(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t=0&t2);plot(0:0.01:20,c(0:0.01:20),-k,0:0.01:20,c1(0:0.01:20),k,2,c1(2),.k)xlabel(時刻t（小時），從開始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量（mg/100ml）)title(短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程)legend(很短時間內(nèi)喝三瓶啤酒,兩小時內(nèi)勻速喝下三瓶啤酒,函數(shù)的分段點)所繪圖形如下：第四題：研究將鹿群放入草場后，草和鹿兩個種群的相互作用，草的生長服從Logistic規(guī)律，年固有增長率0.8，最大密度為3000個密度單位，在草最茂盛時，每只鹿每年吃掉1.6個密度單位的草，若沒有草，鹿群的年死亡率高達0.9,而在草最茂盛的時候草對鹿的死亡的補償率為1.5。1、建立差分方程組模型，比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的兩種草場的情況下，草和鹿兩個種群的數(shù)量演變過程。（1）符號說明：第k年草場的密度單位第k年草場上鹿的數(shù)量草場上草的年固有增長率由于捕食導(dǎo)致的草的密度單位減少的速度大小如果沒有草，鹿群的年死亡率草對鹿群死亡的補償率草的最大密度單位（2）模型的建立與求解：基于以上假設(shè)，由于草的生長服從Logistic模型，建立差分方程組模型如下所示：令，與上述方程組聯(lián)立得到平衡點為、以下用MATLAB實現(xiàn)差分方程組模型。MATLAB程序如下：n=20;r=0.8;a=1.6;b=1.5;d=0.9;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100;for k=1:n x1(k+1)=x1(k)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/N y1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(2,2,1),plot(t,x1,k,t,y1,kv),axis(-1,21,0,3000),xlabel(第k年),ylabel(數(shù)量),gtext(草密度),gtext(鹿數(shù)量),title(草和鹿隨時間的演變);subplot(2,2,2),plot(x1,y1,ko),axis(1000,3000,0,1000),xlabel(草密度),ylabel(鹿數(shù)量),title(相平面圖);x2(1)=3000;y2(1)=100;for k=1:n x2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/N y2(k+1)=y2(k)-d*y2(k)+b*x2(k)*y2(k)/Nendsubplot(2,2,3),plot(t,x2,k,t,y2,kv),axis(-1,21,0,3000),xlabel(第k年),ylabel(數(shù)量),gtext(草密度),gtext(鹿數(shù)量),title(草和鹿隨時間的演變);subplot(2,2,4),plot(x2,y2,ko),axis(1000,3000,0,1000),xlabel(草密度),ylabel(鹿數(shù)量),title(相平面圖);運行結(jié)果如下：x1 = Columns 1 through 8 1000 1480 2032.5 2502.3 2759.3 2824.5 2787.3 2692.5 Columns 9 through 16 2548.5 2355.9 2126.1 1889.9 1692.9 1574.9 1550 1604.8 Columns 17 through 21 1708.6 1823.1 1912.7 1955.1 1946.9y1 = Columns 1 through 8 100 60 50.4 56.26 76.015 112.48 170.09 254.06 Columns 9 through 16 367.44 504.94 645.29 750.51 784.23 742.22 658.68 576.34 Columns 17 through 21 520.09 496.32 502.04 530.32 571.45x2 = Columns 1 through 8 3000 2840 2718.8 2570 2378.2 2149 1910.4 1707.1 Columns 9 through 16 1580.6 1547.6 1596.6 1698 1813.6 1907 1954.2 1950.1 Columns 17 through 21 1905.9 1841.9 1779.7 1736.4 1720.3y2 = Columns 1 through 8 100 160 243.2 354.93 491.58 633.7 744.29 785.37 Columns 9 through 16 748.9 666.76 582.61 523.37 496.69 500.06 526.81 567.43 Columns 17 through 21 610.02 642.33 655.79 649.15 628.5所繪圖像如下：由圖像中可以看出為漸進穩(wěn)定的平衡點。2、建立常微分方程組模型，重做以上問題。記草和鹿在第t年的數(shù)量分別記為和，其余的符號假設(shè)與（1）相同，建立常微分方程組模型為：令且，得到常微分方程組的臨界點為、，以下運用數(shù)值解，方向場和特征線等技巧，用matlab繪制常微分方程組的解曲線圖，并加以分析。為了消去方程中的參數(shù)t，將兩式相除，得到：當(dāng)將100頭鹿放入密度為1000與密度為3000的草場中，初始值分別為，與，.利用matlab實現(xiàn)上述過程的源程序與運行結(jié)果如下：函數(shù)m文件：function dx=fun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*0.8*(1-x(1)/3000)-1.6*x(1)*x(2)/3000;dx(2)=-0.9*x(2)+1.5*x(1)*x(2)/3000;主程序：t1,x1=ode45(fun,0:20,1000 100);t1,x1subplot(2,2,1)plot(t1,x1(:,1),.-k,t1,x1(:,2),.-k),grid onaxis(0 20 0 3000)title(草和鹿隨時間的演變（x_0=1000）)gtext(草密度),gtext(鹿數(shù)量)xlabel(第k年),ylabel(數(shù)量)subplot(2,2,2)plot(x1(:,1),x1(:,2),.-k),grid onaxis(1000 3000 0 800)title(相平面圖（x_0=1000）)xlabel(草密度),ylabel(鹿數(shù)量)t2,x2=ode45(fun,0:20,3000 100);t2,x2subplot(2,2,3)plot(t2,x2(:,1),.-k,t2,x2(:,2),.-k),grid onaxis(0 20 0 3000)title(草和鹿隨時間的演變（x_0=3000）)gtext(草密度),gtext(鹿數(shù)量)xlabel(第k年),ylabel(數(shù)量)subplot(2,2,4)plot(x2(:,1),x2(:,2),.-k),grid onaxis(1000 3000 0 800)title(相平面圖（x_0=3000）)xlabel(草密度),ylabel(鹿數(shù)量)所繪圖像如下： 通過圖像發(fā)現(xiàn)該常微分方程組的平衡點是漸