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第四章 連續(xù)型資料的假設(shè)檢驗(yàn) 聯(lián)系：數(shù)據(jù)/變量分布的概況分布的特征數(shù)分布的應(yīng)用樣本數(shù)據(jù)x 頻數(shù)分布表頻數(shù)分布圖 描述指標(biāo)(,Sx)參考范圍 隨機(jī)變量X ,誤差-m概率分布表概率分布圖 總體參數(shù)() ()置信區(qū)間 m:假設(shè)檢驗(yàn) P(Zk|m=m0)=? P值是樣本信息支持H0的概率 P(Zk|m=m0)= 在H0: m=m0條件下，誤差不小于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)量值k的概率 例如，單側(cè)：P(Z1.96|m=m0)=0.025，雙側(cè)：P(|Z|1.96|m=m0)=0.05 假設(shè)檢驗(yàn)任務(wù)：Pa？（a可忽略的小概率值）Pa則認(rèn)為mm0 區(qū)間估計(jì)判斷“mm0 ？”：依據(jù) N(m, s2)（抽樣實(shí)驗(yàn)） 95%CI不包含m0 P0.05 95%CI包含m0 P0.05例3.1 95%CI m：(8.15, 10.15)，文獻(xiàn)報(bào)道 m0=10.50 決策 認(rèn)為mm0，P0.05 假設(shè)檢驗(yàn)判斷“mm0 ？”：依據(jù) N(m0, s2)4.1 假設(shè)檢驗(yàn)的獨(dú)特邏輯 假設(shè)檢驗(yàn)的步驟及邏輯思維：例3.1中， =9.15（對(duì)應(yīng)m），m0=10.50，|m0|=1.35 樣本結(jié)果差異原因：抽樣誤差引起；mm0（本質(zhì)差異） 必須在兩者中作抉擇(1) 建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)(假設(shè)前提下才有規(guī)律可循) 。二種情形有、且H0:m=m010.50， H1:mm0=10.50 H0比較單純、明確，在H0下，抽樣誤差服從某個(gè)特定的分布，便有規(guī)律可循；而H1卻包含著種種未知情形，不容易弄清在H1下有什么規(guī)律。 故我們著重于考察樣本信息是否支持H0。(2) 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量(統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值多大？) 本例觀察變量X服從正態(tài)分布N(m，s2)，今s未知，若有H0: m10.50，則據(jù)第三章知識(shí)，統(tǒng)計(jì)量t t分布， nn-1 本例9.15，S2.13，n20，統(tǒng)計(jì)量t的當(dāng)前值為t-2.8345 ，n20-119(3)確定P值(當(dāng)前t值對(duì)應(yīng)的P值有多大?) PP(t2.8345)=？ 查閱t分布界值表可知PP(t2.093)=0.05即t0.05=2.093 今 tt0.05，故P0.05 -2.8345 0 2.8345圖4.1 t 統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值與P值示意圖0.01Pt0.05(24)=2.064，Pt0.05(24)=1.711，Pm0 （或H1: m0時(shí)，PP(t統(tǒng)計(jì)量當(dāng)前值) ？（要根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)）或當(dāng)t統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值72，單側(cè)a0.05。結(jié)果是，t=2.69，0.005P0.01。4.3 隨機(jī)化配對(duì)設(shè)計(jì)資料均數(shù)的t檢驗(yàn)（單樣本 / 樣本與總體比較）例4.2 設(shè)有12名志愿受試者服用某減肥藥，服藥前和服藥一個(gè)療程后各測(cè)量一次體重(kg)，數(shù)據(jù)如表4.1所示。試判斷此減肥藥是否有效。t4_1解 表面看，這里似乎存在服藥前和服藥后兩組資料。 實(shí)際上，真正的處理效應(yīng)是服藥前后的體重差值d（研究變量是差值，觀察值是差值，個(gè)體變異即差值的變異） 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單組完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)資料總體均數(shù)為零的檢驗(yàn)(1) 建立檢驗(yàn)假設(shè) 記差值的總體均數(shù)為md，檢驗(yàn)的假設(shè)為H0: md0，H1: md0(4.6) (2) 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 已知H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量tt 分布，n-1(4.7) 其中和Sd分別表示差值的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。本例16/121.3362.6061Sd7.91代入(4.7)， 得統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值t0.58，n12-1=11(4.8)？(3) 確定P值 t=0.580.05(4) 抉擇與結(jié)論 本例P0.05，不拒絕H0，故尚不能認(rèn)為此減肥藥有效。 第類(lèi)錯(cuò)誤(type error)： 不拒絕H0時(shí)也可能犯錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤稱(chēng)為第類(lèi)錯(cuò)誤(type error)。犯第類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為，不能從假設(shè)檢驗(yàn)中獲得（第五章專(zhuān)門(mén)討論）。表4.1 某減肥藥研究的觀察值 ex4_2個(gè)體號(hào)體重(kg)差值dX1-X2服藥前(X1) 服藥后(X2) 1101100 1 2131136 -5 3131126 5 4143150 -7 5124128 -4 613712611 712611610 8 95105-10 9 90 87 310 67 571011 84 741012101109 -8d16 本節(jié)的方法適用于一般的隨機(jī)化配對(duì)設(shè)計(jì)資料的分析。需提醒的是，我們假定差值的總體分布為正態(tài)分布，并不是假定服藥前后兩組體重值分別服從正態(tài)分布。4.4 兩組完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)資料均數(shù)的t檢驗(yàn)兩組完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)是指將實(shí)驗(yàn)對(duì)象完全隨機(jī)地分配到兩組中，這兩組對(duì)象分別接受不同的處理，或分別從兩個(gè)總體完全隨機(jī)地抽取一部份個(gè)體進(jìn)行研究。這種設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單易行。相比于配對(duì)設(shè)計(jì)，這種設(shè)計(jì)常于個(gè)體變異性較小、同質(zhì)性較好時(shí)使用。例4.3 (續(xù)例3.2)男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)(1012/L)的樣本均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本量分別為4.66， S10.47， n120和4.18，S20.45， n215。試判斷男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)的總體均數(shù)是否相等。假定男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)值均服從正態(tài)分布，并分別記為 N(m1，)和N(2，)，則分析數(shù)據(jù)的任務(wù)是推斷兩個(gè)總體均數(shù)是否相等，即檢驗(yàn)H0: m1m2， H1: m1m2(4.9) 對(duì)上述假設(shè)作檢驗(yàn)，需根據(jù)兩個(gè)總體的變異性(方差)是否相同而采取不同的方法。1. 總體方差相等的情形 若男、女性紅細(xì)胞計(jì)數(shù)值的總體方差相同，即，則稱(chēng)這兩個(gè)總體具有方差齊性(homogeneity)。記兩組樣本的均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量分別為，S1，n1和，S2，n2，則如前章(3.10)所述，我們可以用和的加權(quán)平均值來(lái)聯(lián)合估計(jì)2，即(4.10)或(4.11)其中X1i， i1，2，.n1和X2i， i1，2，.n2分別為兩組樣本觀察值。 當(dāng)H0:12成立時(shí)，可以證明，統(tǒng)計(jì)量tt分布，n1+n2-2(4.12) 以樣本均數(shù)，、聯(lián)合估計(jì)和樣本量n1，n2的數(shù)值代入，可計(jì)算得t統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值；然后由t分布表可查出相應(yīng)的P值；最后將這個(gè)P值與事先規(guī)定的小概率a相比較，若Pa即拒絕H0，否則，不拒絕。例4.3的解 由例3.2，我們已經(jīng)求得了男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)總體均數(shù)之差的95%置信區(qū)間為(0.16，0.80)，它不包含0這個(gè)數(shù)， 故可以認(rèn)為總體均數(shù)之差不等于零，即m1m2。 下面通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。(1) 建立檢驗(yàn)假設(shè) H0: m1m2，H1: m1m2，a0.05。(2) 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 由于和數(shù)值相近，不妨假定總體方差和相等(嚴(yán)格的檢驗(yàn)見(jiàn)下節(jié))?？傮w方差的聯(lián)合估計(jì)為0.2131。將，n1，n2， 的數(shù)值代入(4.12)式的右端，得統(tǒng)計(jì)量t的當(dāng)前值為t3.04(3) 確定P值 查閱t分布表，得相應(yīng)的雙側(cè)尾部面積P0.01(4) 決策與結(jié)論 本例t3.04，P0.01，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為男女紅細(xì)胞計(jì)數(shù)的總體均數(shù)不相等；結(jié)合樣本均數(shù)作判斷，可認(rèn)為男性比女性高。 對(duì)比上述置信區(qū)間的方法和假設(shè)檢驗(yàn)的方法，不難看出，兩者并無(wú)根本差別。只是前者提供了總體均數(shù)之差的大致范圍，而沒(méi)有提供P值; 后者提供了P值，卻沒(méi)有提供總體均數(shù)之差的大致范圍。因此，在實(shí)踐中，許多學(xué)者主張兩種方法都采用，寫(xiě)報(bào)告時(shí)應(yīng)提及三件事：討論(拒絕H0與否)，P值(可信程度如何)，均數(shù)之差的置信區(qū)間(參數(shù)的可能范圍)。這一提議適用于其他假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，以后不再贅述2. 總體方差不相等的情形 若，則沒(méi)有理由象(4.10)和(4.11)式那樣將兩組樣本的方差聯(lián)合在一起，即使聯(lián)合了，既不近似于，也不近似于。此情形下，有兩種方法可用：基于秩次的非參數(shù)檢驗(yàn)方法和t檢驗(yàn)法。前者見(jiàn)第七章，下面介紹t檢驗(yàn)法。t檢驗(yàn)中，先計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t(4.13)因其分布比較復(fù)雜，通過(guò)查閱分布表確定P值不方便；但可較方便地計(jì)算它的界值的近似值，(4.14)其中t1a為自由度n1-1時(shí)的界值，t2a為自由度n2-1時(shí)的界值，w1/n1， w2。換言之，的界值相當(dāng)于分組得到的兩個(gè)界值的加權(quán)平均數(shù)。特別要注意的是，使得自由度不能合并，因而界值偏大。 當(dāng)t當(dāng)前值的絕對(duì)值大于或等于上述近似的界值時(shí)，P值a，拒絕H0;否則，P值a，不拒絕H0。例4.4 隨機(jī)抽取n110名病人和n220名正常人，分別測(cè)定某項(xiàng)生化指標(biāo)，病人組的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為0.05和S13.21，正常人組是2.72和S21.52。試推斷相應(yīng)的兩個(gè)總體均數(shù)是否相等。解 令兩個(gè)總體均數(shù)為m1和m2(1) 建立檢驗(yàn)假設(shè) H0: m1m2，H1: m1m2；a0.05。(2) 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 先考察兩組方差之比，(3.21)2/(1.52)24.46。據(jù)經(jīng)驗(yàn)，不妨認(rèn)為兩個(gè)總體方差不等(嚴(yán)格的檢驗(yàn)見(jiàn)下一節(jié))。利用(4.13)式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的當(dāng)前值t2.18(3) 確定P值 分別據(jù)自由度10-19和20-119 查得t分布的雙側(cè)界值t1a2.26和t2a2.09。于是，t的近似界值為 由于t，故P0.05。(4) 決策與結(jié)論 本例t2.18，P0.05，不能拒絕H0，即尚不能認(rèn)為病人的某生化指標(biāo)不等于正常人。此例題有一定代表性，應(yīng)引起重視，即從樣本均數(shù)的差值粗略判斷，似乎兩個(gè)總體均數(shù)不相同；但由于兩組標(biāo)準(zhǔn)差較為懸殊，病人組內(nèi)部變異較大，正常人組內(nèi)部變異較小(這可能是一種普遍現(xiàn)象)，而研究者在設(shè)計(jì)上又沒(méi)有注意這一現(xiàn)象，界值就必定較大，以致由5.05-2.722.33這樣大的樣本均數(shù)之差也不能推論總體均數(shù)存在差異。4.5 兩組完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)資料方差齊性的F-檢驗(yàn) 前已指出，對(duì)兩組完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)資料的均數(shù)作檢驗(yàn)之前，需要判斷兩個(gè)總體方差是否相等。那里我們只是從樣本方差的數(shù)值憑經(jīng)驗(yàn)作粗略判斷，若兩者相近，則認(rèn)為總體方差相等; 若兩者懸殊過(guò)甚，則認(rèn)為總體方差不等。然而，“相近”和“懸殊”的標(biāo)準(zhǔn)是什么?嚴(yán)格說(shuō)來(lái)需進(jìn)行方差齊性的檢驗(yàn)。方差齊性檢驗(yàn)也遵循前述的邏輯和步驟。 設(shè)有兩個(gè)總體N(m1，)和N(m2，)，欲推斷與是否相等，方法如下：(1) 建立檢驗(yàn)假設(shè) 方差齊性檢驗(yàn)通常規(guī)定a0.10，無(wú)效假設(shè)為 H0: ， H1: ，規(guī)定小的概率a(4.15)(2) 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 記樣本方差分別為和。據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)， F分布, n1=n1-1, n2=n2-1(4.16)F分布具有兩個(gè)自由度，它們分別是上式左端分子中的自由度和分母中的自由度。前者稱(chēng)分子自由度(numerator degrees of freedom)，記為n1，后者稱(chēng)分母自由度(denominator degrees of freedom )，記為n2。本書(shū)后面附有F分布上側(cè)尾部面積a所對(duì)應(yīng)的上側(cè)界值Fa表。由于F分布并非對(duì)稱(chēng)分布，其下側(cè)尾部面積a所對(duì)應(yīng)的下側(cè)界值并不等于-Fa，而是(4.17)基于這個(gè)關(guān)系式，下側(cè)界值的表格就不必另造了，必要時(shí)可由(4.17)式推算。參見(jiàn)圖4.2。FFa,n1,n2aaFa,n1,n2圖4.2 F分布及其單側(cè)界值示意圖 當(dāng)H0: 成立時(shí)，(4.16)式約簡(jiǎn)為VR F分布，n1 =n1-1，n2 =n2-1(4.18)從而我們可以用方差比(variance ratio，VR)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。(3) 確定P值 對(duì)于雙側(cè)檢驗(yàn)，習(xí)慣上將數(shù)值較大的樣本方差作為分子來(lái)計(jì)算VR。這樣，給定a的數(shù)值后，只需用a/2去查F分布的上側(cè)界值，將VR的當(dāng)前值與Fa/2相比較，若VRFa/2，則Pa，反之Pa。 對(duì)于單側(cè)檢驗(yàn)，習(xí)慣上同樣將數(shù)值較大的樣本方差放在分子上計(jì)算VR的當(dāng)前值。給定a值，查出F分布的上側(cè)尾部面積為a的界值Fa。若VR的當(dāng)前值大于或等于Fa，則Pa，反之Pa。(4) 決策與結(jié)論 將P值與事前規(guī)定的小概率a比較。若Pa，則拒絕H0; 否則，不拒絕H0。然后結(jié)合實(shí)際問(wèn)題給出結(jié)論。 回到例4.3，那里VR1.09，n119，n214。令a0.10， F分布的上側(cè)界值F0.10/2F0.052.40。由于VRF0.05，不能拒絕H0，故尚不能認(rèn)為兩個(gè)總體方差不相等。回到例4.4，那里VR(3.12)2/(1.52)24.46，n19，n219。令a0.02，F(xiàn)分布的上側(cè)界值F0.02/2F0.013.52。由于V.RF0.01，拒絕H0，故可認(rèn)為兩個(gè)總體方差不等。 事實(shí)上，除服務(wù)于兩個(gè)總體均數(shù)相等與否的檢驗(yàn)之外，方差齊性檢驗(yàn)還有其自身的直接應(yīng)用。例4.5 將同一瓶液體試樣攪勻后等分成2組各10份樣品，分別交由兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室測(cè)定含量(mg/ml)，結(jié)果兩組的樣本均數(shù)相等，但兩組的樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為S15和S23.5，問(wèn)這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室的測(cè)量精度誰(shuí)好誰(shuí)差?解 問(wèn)題歸結(jié)為方差齊性的檢驗(yàn)，即推斷兩個(gè)總體和是否相等。VR(5)2/(3.5)22.04，n1n29令a0.10。注意到這是雙側(cè)檢驗(yàn)，查閱F分布的上側(cè)界值F0.10/2F0.053.18。由于VR3.18，P0.10，不能拒絕H0，尚不能斷定兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室測(cè)定的精度誰(shuí)好誰(shuí)差。例4.6 某項(xiàng)多中心合作研究對(duì)某測(cè)定方法的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:重復(fù)測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過(guò)1.5U?，F(xiàn)某實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行自查，將同一試液攪勻后分成10份樣品，獨(dú)立測(cè)定結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為2.1U，問(wèn)該實(shí)驗(yàn)室的總體標(biāo)準(zhǔn)差是否高于標(biāo)準(zhǔn)值?解 這是方差齊性檢驗(yàn)的一個(gè)特例，欲檢驗(yàn)的假設(shè)是H0: s2(1.5)2，H1: s2(1.5)2，單側(cè)a0.05這里雖然只有一個(gè)樣本，(2.1)2， n110。但不妨將標(biāo)準(zhǔn)方差(1.5)2視為另一個(gè)樣本量為無(wú)窮大的樣本的方差，于是(1.5)2，n2。我們有 VR(2.1)2/(1.5)21.96。令a0.05。注意到對(duì)應(yīng)假設(shè)是單側(cè)的， 自由度為9和時(shí)F分布上側(cè)界值 F0.051.88。由于VRF0.05，P0.05，拒絕H0，可以認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)室的總體標(biāo)準(zhǔn)差高于質(zhì)量控制的標(biāo)準(zhǔn)值。4.6 二項(xiàng)分布和Poisson分布大樣本資料參數(shù)的Z-檢驗(yàn)1. 二項(xiàng)分布總體概率的Z-檢驗(yàn) 前(見(jiàn)第二章)已指出，設(shè)X(p，n)，則當(dāng)np和n(1-p)均相當(dāng)大時(shí)，N(np, np(1-p)(4.19)并且 PX/n N(p, p(1-p)/n)(4.20)其中，X相當(dāng)于0-1變量n個(gè)觀察值之和，PX/n相當(dāng)于0-1變量n個(gè)觀察值的均數(shù)。根據(jù)這一性質(zhì)可利用大樣本資料對(duì)二項(xiàng)分布的總體概率作假設(shè)檢驗(yàn)。(1)單組樣本 例4.7 某地區(qū)隨機(jī)抽取傳染科工作人員150名作關(guān)于乙型肝炎的血清學(xué)檢查，其中陽(yáng)性者共35名。已知當(dāng)?shù)匾话闳巳褐械年?yáng)性概率為17%。問(wèn)當(dāng)?shù)貍魅究乒ぷ魅藛T的陽(yáng)性概率是否高于一般人群的陽(yáng)性概率?設(shè)樣本來(lái)自二項(xiàng)分布總體(p，150)，則需檢驗(yàn)H0: p0.17，H1:p0.17；解：建立檢驗(yàn)假設(shè) H0: p0.17，H1:p0.17；單側(cè)a0.05 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)H0成立時(shí)，由(4.20)式，以0.17代入，PN(0.17，(0.17)(1-0.17)/150)或ZN(0，1)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的當(dāng)前值，Z 2.06 查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得相應(yīng)的單側(cè)P值為0.02。由于Pa，拒絕H0，可認(rèn)為傳染科工作人員的陽(yáng)性概率高于一般人群的陽(yáng)性概率。 上例的方法不難推廣到一般情形。設(shè)有n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，得該事件的樣本頻率P，欲問(wèn)其總體概率p是否等于給定的常數(shù)p0，可作檢驗(yàn)：H0: pp0，H1: pp0，確定小概率a(4.21) 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z(4.22) 查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定P值，作決策。 當(dāng)雙側(cè)對(duì)立假設(shè)H1: pp0改為某個(gè)單側(cè)對(duì)立假設(shè)H1:pp0或H1: pp0時(shí)， 統(tǒng)計(jì)量照舊，但需改查單側(cè)P值。(2) 兩組樣本例4.8 為考察在常規(guī)治療的同時(shí)輔以心理治療的效果，某醫(yī)院將同種疾患的病人隨機(jī)分成常規(guī)治療組和常規(guī)與心理聯(lián)合治療組，經(jīng)一個(gè)療程治療后，以同一標(biāo)準(zhǔn)衡量，常規(guī)組80名中有效者48名，聯(lián)合治療組75名中有效者55名。試判斷就總體而言?xún)煞N療法有效的概率是否確有差異。設(shè)兩樣本分別來(lái)自二項(xiàng)分布總體(p1，n1)和(p2，n2)，其中n1=80，n2=75，問(wèn)題歸結(jié)為檢驗(yàn) H0: p1p2，H1: p1p2；解：建立檢驗(yàn)假設(shè) H0:p1p2，H1:p1p2；a0.05。 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 由(4.20)式， P1 N(p1,p1(1-p1)/n1) P2 N(p2, p2(1-p2)/n2)P1-P2 N(0, p1(1-p1)/n1+p2(1-p2)/n2)(4.23)當(dāng)H0成立時(shí)，將兩組數(shù)據(jù)聯(lián)合起來(lái)計(jì)算樣本頻率， P0 用此頻率近似地代替p1和p2，便有P1-P2 N(0，(1-)(+)或N(0，1) 以Z為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算其當(dāng)前值，Z-1.76 確定P值 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得雙側(cè)P0.08 抉擇與結(jié)論 Z=-1.76，P=0.08，不能拒絕H0，即不能認(rèn)為兩治療組有效的概率不等。 上述方法不難推廣到一般。設(shè)有二項(xiàng)分布總體(p1,n1)和(p2,n2)，已知樣本頻率為P1和P2，欲檢驗(yàn)H0: p1p2， H1:p1p2(4.24)事先規(guī)定一個(gè)小概率a。采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Z(4.25)其中P0為兩組聯(lián)合的樣本頻率，即P1和P2的加權(quán)平均， P0(4.26)已知當(dāng)H0成立時(shí)，(4.25)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)樣本觀察值由(4.25)算得統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值; 查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到雙側(cè)P值; 與事先規(guī)定的a比較即可作出是否拒絕H0的決策。 當(dāng)雙側(cè)對(duì)立假設(shè)H1:p1p2改為單側(cè)對(duì)立假設(shè)H1:p1p2時(shí)，統(tǒng)計(jì)量照舊，但需改查單側(cè)P值。2. Poisson分布總體均數(shù)的Z檢驗(yàn)(l較大) 前(見(jiàn)第二章)已指出，服從Poisson分布p(l)的變量X當(dāng)l較大時(shí)，近似地服從正態(tài)分布，即XN(l, l)(4.27)根據(jù)這一結(jié)果，我們可以對(duì)Poisson分布的總體均數(shù)作假設(shè)檢驗(yàn)。（1）單個(gè)觀察值例4.9 質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定某裝置在規(guī)定的時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)發(fā)放放射性質(zhì)點(diǎn)的總體均數(shù)不得超過(guò)50。今抽查一次，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)測(cè)得發(fā)放的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為58。問(wèn)該裝置的總體均數(shù)是否符合要求?解：設(shè)規(guī)定時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)服從Poisson分布p(l)，參數(shù)為l。于是問(wèn)題可歸結(jié)為檢驗(yàn) H0: l50， H1: l50。確定小概率a=0.05。依(4.27)式，在H0: l50條件下有XN(50，50)；于是可計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，即=1.13查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得單側(cè)P值為0.13; 由于Pa，不能拒絕H0，即尚不能認(rèn)為該裝置不符合質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)。上述方法可推廣到一般。從Poisson分布總體p(l)獲得觀察值X，參數(shù)為l。欲檢驗(yàn)H0: ll0， H1: ll0(4.28)l0是給定的常數(shù)。于是，在H0成立條件下，根據(jù)(4.27)式有XN(l0，l0)N(0，1)(4.29) 將Poisson分布的一次觀察值代入可得統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值; 查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得雙側(cè)P值; 與事先給定的一個(gè)小概率a相比較，即可決定是否拒絕H0。 有趣的是，對(duì)Poisson分布變量只作一次觀察便能估計(jì)置信區(qū)間(見(jiàn)第三章)和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，這是由Poisson分布只含一個(gè)參數(shù)，且該參數(shù)既是總體方差又是總體均數(shù)這一特點(diǎn)決定的。(2)兩個(gè)觀察值例4.10 用同位素方法獨(dú)立地測(cè)量?jī)煞輼悠返姆派湫?。樣品的制備完全相同，測(cè)量時(shí)間同為1分鐘，測(cè)得發(fā)射的放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)分別為X1150和X2120。問(wèn)相應(yīng)的兩總體均數(shù)是否相等?設(shè)每分鐘發(fā)射的放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)服從Poisson分布，并設(shè)兩個(gè)觀測(cè)值來(lái)自Poisson分布總體p(l1)和p(l2)，l1和l2是參數(shù)，于是問(wèn)題可歸結(jié)為檢驗(yàn)H0: l1l2，H1: l1l2。分析：更一般地，設(shè)有兩個(gè)觀察單位相同的Poisson分布變量X1和X2，參數(shù)l1和l2均相當(dāng)大?，F(xiàn)各作了一次觀察，欲據(jù)此觀察值檢驗(yàn)H0: l1l2， H1: l1l2(4.30)當(dāng)H0成立時(shí)，記l1l2l。據(jù)(4，27)式，X1 N(l，l)X2 N(l，l)X1-X2 N(0， 2l) 用兩個(gè)觀察值的均數(shù)(X1+X2)/2近似地代替l，我們有統(tǒng)計(jì)量ZN(0，1)(4.31)將X1和X2的觀察值代入等式右端得到統(tǒng)計(jì)量的當(dāng)前值; 查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到雙側(cè)P值; 與事先規(guī)定的一個(gè)小概率a比較，便可決定是否拒絕H0。例4.10的解：事先規(guī)定a0.05。據(jù)二個(gè)觀察值計(jì)算(4.31)中統(tǒng)計(jì)量Z的當(dāng)前值Z1.83查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得雙側(cè)P值為0.067; 由于Pa，不能拒絕H0，即尚不能認(rèn)為兩個(gè)總體均數(shù)不等。 (3)兩組觀察值例4.11 用同位素方法獨(dú)立地測(cè)量?jī)煞輼?biāo)本的放射性，標(biāo)本的制備完全相同， 但測(cè)量的時(shí)間長(zhǎng)度不同，一份測(cè)了10分鐘，另一份測(cè)了15分鐘， 測(cè)得質(zhì)點(diǎn)數(shù)分別為1500和1800。問(wèn)若在相同時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)測(cè)量，兩份標(biāo)本發(fā)放質(zhì)點(diǎn)的總體均數(shù)是否相等?分析：設(shè)每分鐘發(fā)射的放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)服從Poisson分布，對(duì)第一個(gè)Poisson分布總體p(l1)作了10分鐘的觀察，質(zhì)點(diǎn)總數(shù)是1500，平均每分鐘質(zhì)點(diǎn)數(shù)是150；對(duì)第二個(gè)總體p(l1)作了15分鐘的觀察，質(zhì)點(diǎn)總數(shù)是1800，平均每分鐘質(zhì)點(diǎn)數(shù)是180。于是問(wèn)題可歸結(jié)為檢驗(yàn)H0:l1l2，H1:l1l2。 更一般地，設(shè)有兩個(gè)觀察單位相同的Poisson分布變量X1p(l1)和X2p(l2)，l1和l2均較大。今分別獨(dú)立重復(fù)觀察了n1和n2個(gè)單位，觀察值的和記為和，欲檢驗(yàn)假設(shè)H0: l1l2，H1: l1l2(4.32)由(4.27)式，X1N(l1，l1)， X2N(l2，l2)記兩組觀察值的均數(shù)為， 則據(jù)正態(tài)分布理論，N(l1，l1/n1)，N(l2，l2/n2)從而N(l1-l2，(l1/n1)+( l2/n2)(4.33)當(dāng)H0成立時(shí)，上述正態(tài)分布的均數(shù)l1-l20，以和近似地代替l1和l2以便計(jì)算此正態(tài)