數(shù)學(xué)論文一類連續(xù)正交投影算子的表示定理VIP

1、一類連續(xù)正交投影算子的表示定理 (孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)摘要: 本文首先給出單一正交投影算子使用矩陣或線性變換的表示方法，然后在此基礎(chǔ)上給出一類連續(xù)正交投影算子的表示定理.關(guān)鍵詞: 投影算子；投影矩陣；正交投影算子；正交投影矩陣；冪等矩陣the representation theorem of a class of continuous orthogonal projection operator han jiping(051114308) （xiaogan college school of mathematics and statistics，hubei x

2、iaogan 432000） abstract: the paper first gives a single operator using the orthogonal projection matrix or linear transformation method，and then on this basis is given for a class of continuous orthogonal projection operator of the representation theorem.keywords: projection operator; projection mat

3、rix; orthogonal projection operator; orthogonal projection matrix; idempotent matrix 0 引言投影算子及投影矩陣有著廣泛的應(yīng)用，如在實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的求最小平方偏差，一些規(guī)劃問(wèn)題中的理論也涉及到投影方法.因此對(duì)投影算子尤其是正交投影算子的描述和刻畫(huà)顯得由為重要，對(duì)它的研究具有理論上的意義.考慮實(shí)數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，.有分解式，其中則稱叫做沿到的投影.如果用表示由到上的映射，則稱為在上的投影變換或投影算子.若是內(nèi)積空間，且，則稱為在上的正交投影變換或正交投影算子.對(duì)于的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，這里我們?cè)O(shè)，取的一組標(biāo)準(zhǔn)正

4、交基，的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.令，我們?cè)O(shè)為基到基的過(guò)渡矩陣，則有.在基 下的矩陣為，于是在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為另一方面，由于為正交矩陣，故有，于是又有 .由此本文首先給出單一正交投影子的表示方法,如用矩陣或線性變換表示.然后探討和分析了一類特殊的由有限個(gè)正交投影算子(連續(xù)正交投影算子)的表示方法.1基本概念定義 11 矩陣稱為正交投影矩陣，如果它是對(duì)稱冪等陣，即滿足，.定義 2 設(shè)是維歐氏空間，為中某一單位向量，定義線性變換，我們稱為在子空間上的正交投影算子.定義 3 是維歐氏空間，其子空間有上的正交投影變換，稱為連續(xù)正交投影算子或連續(xù)正交投影變換.定義 42 設(shè)是一個(gè)數(shù)域， ，若有矩陣使，則稱為的

5、一個(gè)逆，記為.2 定理及證明定理 1 是維歐氏空間，為的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.（1）若為正交投影矩陣，則存在唯一線性變換在上述基下對(duì)應(yīng)的矩陣為，且()()是在上的正交投影變換；（2）若，是在上的正交投影變換，它在上述基下矩陣為，則為正交投影矩陣.證明 （1）對(duì)于給定實(shí)矩陣，存在唯一線性變換在上述基下對(duì)應(yīng)的矩陣為.，令，是冪等的知，于是，且由，故有，是在上的投影變換.于是有，即，故.故.下證是正交投影變換，即證.記對(duì)應(yīng)線性變換記為，易知為冪等的，由上述證明知為在.由是對(duì)稱的有，于是有.由已知我們有，設(shè)，則有 對(duì)，于是.，因此有.，則有知.故有 于是 . 故是正交投影變換. （2）若，是在上的正交投

6、影變換，則有 在中取一組基， .則，構(gòu)成，于是有 存在有 = =即有. ，則有 ， 記對(duì)應(yīng)的矩陣為，則為在上的投影變換，=，同理=，也是到的正交投影變換，故，即= . 是正交投影矩陣.定理2 是維歐氏空間， ，是在上的正交投影變換.設(shè) 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且令，設(shè)在子空間上正交投影變換為，即， ，則(1) ，;(2) ，則證明 (1)由的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，知為正交矩陣.于是，其中于是，有故，其中為單位變換. (2) 由(1)的證明可知 又 于是，即.推論1 在定理2的條件下，在上的正交投影矩陣，其中為階單位矩陣.證明 取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，這里，.記在這組基

7、下的矩陣為.而為正交矩陣.故.由基到的過(guò)渡矩陣記為，則 ，于是有.另一方面由，知.推論2 在定理2的條件下，.證明 設(shè)在的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為，其中，.由推論1我們有，故有.下面我們給出正交投影算子的另一種表示方法.首先給出兩個(gè)引理.引理1 設(shè)為實(shí)矩陣，則有 (1) (2)證 若，兩邊左乘，得，即有，由于，故；若，則，(1)式得證. 同理可證(2).引理2 對(duì)任意的實(shí)矩陣，有 ， （3）證 由于， ， 得，即有.另一式由可得.定理3 設(shè)在歐氏空間中， 定義內(nèi)積 ,對(duì)于矩陣， 記，由生成的列空間. 則在上的正交投影矩陣為證 為在上的正交投影算子， 在的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為， 這里，.又設(shè)，取的一

8、組標(biāo)準(zhǔn)正交基， 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， 則也是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， 且在這組基下的矩陣為.記標(biāo)準(zhǔn)正交基到的過(guò)渡矩陣為，即有則.易知.若記，則，其中為矩陣，為矩陣，則有 （4）由于，可由線性表出，故有 其中為 矩陣，則由（3）式得 因此有，再由（4）式得 .以上我們給出了單一正交投影算子的表示方法，下面我們將給出一類連續(xù)正交投影算子的表示定理.定理4 設(shè)是階實(shí)矩陣，其中為線性無(wú)關(guān)的單位向量組，而是階上三角矩陣，定義(5)為在上的正交投影算子，.令，則在維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣 ，其中為階單位矩陣，.證 在的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的正交投影矩陣為，由推論1我們知 ，于是有，因此只需證 即可.對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法.

9、當(dāng)=1時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即有(6)其中 是階矩陣，而是階上三角矩陣，其中元素由(5)式定義.下證結(jié)論對(duì)成立，下面對(duì)(6)式左右兩端的作化簡(jiǎn)計(jì)算，首先由歸納法假設(shè)，得 (7)其次,根據(jù)矩陣的定義，我們有 (8)其中為維列向量，由的定義，得，故由(7)，(8)式即得.定理4證畢.3 結(jié)束語(yǔ) 本文給出了正交投影算子和一類連續(xù)正交投影算子的表示定理，對(duì)一般的連續(xù)正交投影算子的表示問(wèn)題有待進(jìn)一步展開(kāi)探討和研究，望讀者不吝賜教.致謝：本文得到胡付高老師的悉心指導(dǎo)和大力幫助，在此向胡老師致以我最衷心的感謝.【參考文獻(xiàn)】1龐善起.一類正交投影矩陣及其相關(guān)正交表j.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，28(4)

10、:668-6742王松桂,楊振海.廣義逆矩陣及其應(yīng)用m.北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,1996.3brady t，watt c.on products of euclidean reflectionj.american mathematicalmonthly.2006，11(9):826-829.4張杰.關(guān)于投影變換的一個(gè)定理的改進(jìn)與推廣j.重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004,16(6):122-1235張杰.正交投影矩陣的一個(gè)求法j.重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006,18(1):141-142.6王五生，林遠(yuǎn)華.有限維線性空間上的投影與冪等矩陣j.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004,21(2):86-88.7蔣宏鋒.運(yùn)輸問(wèn)題的投影矩陣j.長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào)，2004,