食品價(jià)格波動(dòng)的數(shù)學(xué)建模

1、題目：食品價(jià)格變動(dòng)分析摘要食品價(jià)格是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的重要組成部分，食品價(jià)格波動(dòng)直接影響居民生活成本和農(nóng)民收入，是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的重要戰(zhàn)略問題。本文針對(duì)食品價(jià)格的預(yù)測(cè)與分析問題，就2014年1月-2014年4月50個(gè)城市主要食品平均價(jià)格變動(dòng)情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)分析，利用食品分類系統(tǒng)對(duì)27種主要食品進(jìn)行了分類，并通過excle統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)價(jià)格的波動(dòng)情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)匯總和散點(diǎn)圖的制作，從而更加直觀的描述價(jià)格變化，建立基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合函數(shù)模型，利用matlab應(yīng)用軟件進(jìn)行了模型的求解，利用多元線性的回歸命令regress進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)，很好地解決了對(duì)食品波動(dòng)特點(diǎn)的分析和2014年5月份食品價(jià)格走勢(shì)進(jìn)

2、行預(yù)測(cè)的問題。在數(shù)據(jù)分析之前，我們通常需要先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。本文利用“最小最大標(biāo)準(zhǔn)化”的方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理，故可以不考慮27種食品的規(guī)格等級(jí)和計(jì)量單位對(duì)食品價(jià)格波動(dòng)和預(yù)測(cè)的影響，從而簡(jiǎn)化了問題分析的復(fù)雜性，增加了數(shù)據(jù)分析的綜合性。對(duì)于問題一， 因?yàn)槭称贩N類的繁多使分析工作寸步難行，首先要對(duì)所涉及的主要食品進(jìn)行分類，于是利用食品分類系統(tǒng)將食品分成7類，建立數(shù)據(jù)分析模型，利用excle做散點(diǎn)圖進(jìn)行價(jià)格變動(dòng)分析對(duì)于問題二，鑒于數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化和平均化處理后的數(shù)據(jù)仍然雜亂無章，對(duì)其進(jìn)行二次累加使其關(guān)聯(lián)性更好的表現(xiàn)，找出其表現(xiàn)的規(guī)律性，在此基礎(chǔ)上建立基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合模型， 利用三次多項(xiàng)式對(duì)

3、7類食品的相對(duì)價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行擬合， 并依次用多元線性回歸分析對(duì)7類食品擬合后的函數(shù)進(jìn)行顯著檢驗(yàn)，通過擬合函數(shù)預(yù)測(cè) 2014年5 月的食品價(jià)格走勢(shì)。最后是對(duì)模型的評(píng)價(jià)和推廣，其中，利用固定屬性的分類方法可以應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域，excle統(tǒng)計(jì)軟件很好的描述了數(shù)據(jù)的變化，基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合精度很高，能夠得到良好的預(yù)測(cè)結(jié)果，回歸分析中的regress命令是十分有效的matlab檢驗(yàn)工具，檢驗(yàn)具有較強(qiáng)的實(shí)用和推廣價(jià)值。關(guān)鍵詞：食品分類系統(tǒng) 最小二乘法 回歸分析 regress 多項(xiàng)式擬合一、問題重述食品價(jià)格是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的重要組成部分，食品價(jià)格波動(dòng)直接影響居民生活成本和農(nóng)民收入，是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的重

4、要戰(zhàn)略問題。2000年以來，我國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭食品消費(fèi)支出占總支出的比重一直維持在36%以上。在收入增長(zhǎng)緩慢的情況下，食品價(jià)格上漲將使人民群眾明顯感到生活成本增加，特別是食品價(jià)格上漲將降低低收入群體的生活質(zhì)量。為監(jiān)測(cè)食品價(jià)格的實(shí)際變化情況，國(guó)家統(tǒng)計(jì)部門定期統(tǒng)計(jì)50個(gè)城市主要食品平均價(jià)格變動(dòng)情況，數(shù)據(jù)見附件1。居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)（CPI），是根據(jù)與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來的物價(jià)變動(dòng)指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)。附件2提供了近期居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)數(shù)據(jù)。請(qǐng)根據(jù)以上信息（附件中只是列出了近期食品價(jià)格以及CPI數(shù)據(jù)，如希望利用更長(zhǎng)時(shí)間周期內(nèi)的數(shù)據(jù)信息，請(qǐng)自行查找，但必須在論文中注明

5、數(shù)據(jù)來源?。?shù)學(xué)模型解決以下問題：（1）根據(jù)附件以及相關(guān)統(tǒng)計(jì)網(wǎng)站的數(shù)據(jù)，分析我國(guó)食品價(jià)格波動(dòng)的特點(diǎn)。（2）對(duì)2014年5月份食品價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。（3）目前統(tǒng)計(jì)部門需要監(jiān)測(cè)大量食品價(jià)格變動(dòng)情況以計(jì)算居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)變動(dòng)情況，能否僅僅通過監(jiān)測(cè)盡量少的食品種類（這里，食品種類是指附件1表格中的商品名稱，可以認(rèn)為每一種商品名稱即為一種食品種類）價(jià)格即能相對(duì)準(zhǔn)確地計(jì)算、預(yù)測(cè)居民消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)？在同樣精度要求下，不同地區(qū)所選取的食品種類以及種類數(shù)目是否一致？請(qǐng)至少選擇兩個(gè)有特點(diǎn)的城市進(jìn)行說明。二、模型假設(shè)(1)食品零售價(jià)格每十天的平均價(jià)格與食品每日的價(jià)格偏差很小；(2)食品的分類是按分類系統(tǒng)來劃

6、分的 ，同類食品的價(jià)格波動(dòng)幅度可大可小，只要總體趨勢(shì)相同即可；(5)每一種食品的價(jià)格走勢(shì)與每一大類的價(jià)格走勢(shì)相同；(6)預(yù)測(cè)時(shí)不考慮極為特殊的情況引起的價(jià)格波動(dòng)，如突發(fā)性的自然災(zāi)害（7）假設(shè)在所預(yù)測(cè)的時(shí)間范圍內(nèi)國(guó)家政府不采取能影響CPI正常走勢(shì)的相關(guān)措施和制定相關(guān)法規(guī)。三、符號(hào)說明1、時(shí)間（以10天為一單位）2、擬合后的函數(shù)3、標(biāo)準(zhǔn)平均化后的價(jià)格4、累計(jì)一次的時(shí)間序列5、累計(jì)兩次的時(shí)間序列6、P與F對(duì)應(yīng)的概率四、問題一4.1問題分析該問題主要分析我國(guó)食品波動(dòng)的特點(diǎn)，對(duì)27種食品一個(gè)一個(gè)的進(jìn)行波動(dòng)分析和特點(diǎn)描述顯然是不現(xiàn)實(shí)的，它不能反映食品的波動(dòng)，因此對(duì)食品分類描述就顯得尤為重要。4.2建立模型

7、4.2.1食品分類：利用食品分類系統(tǒng)并結(jié)合附件1中所列的主要食品，可以將食品具體分為七大類：1、糧食及制品：規(guī)格等級(jí)為粳米的大米，標(biāo)準(zhǔn)粉和富強(qiáng)粉的面粉；2、豆制品：豆腐；3、食用油：壓榨一級(jí)的花生油，5L桶裝的大豆油，以及散裝的菜籽油；4、肉及其制品：豬肉后腿肉，五花肉，牛肉，羊肉，白條雞，雞胸肉和白條鴨；5、蛋及其蛋制品：雞蛋；6、水產(chǎn)類活鯉魚，活草魚，帶魚；7、蔬菜水果類大白菜，油菜，芹菜，黃瓜，西紅柿，豆角，土豆，蘋果，香蕉4.2.2數(shù)據(jù)分析模型：根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，計(jì)算2014年1月-4月所給數(shù)據(jù)中每類食物的平均價(jià)格，利用excle統(tǒng)計(jì)軟件繪制散點(diǎn)圖，描述價(jià)格變化曲線，及各類食品的變化特點(diǎn)

8、結(jié)果如下：平均價(jià)格糧食及制品豆制品食用油肉及其制品蛋及其蛋制品水產(chǎn)類蔬菜水果類15.34.4317.4433334.4871428610.0620.216.7777777825.2866666674.4217.4933334.4385714310.0520.3566676.9744444435.34.4617.4933334.822857141021.3533337.9344444445.3033333334.4817.5134.844285719.8821.6066678.0855.3066666674.4617.5334.468571439.5820.9733337.5844444465.

9、3066666674.4617.5134.117142869.4120.7066677.4855555675.3066666674.4717.4866733.905714299.4620.5633337.4844444485.3133333334.4617.4566733.692857149.720.4733337.3295.3433333334.4717.4533333.495714299.7620.4466677.07888889105.3466666674.4817.3733333.334285719.7520.4533336.841）、特點(diǎn)：價(jià)格逐漸上升，幅度逐漸增大。2）、特點(diǎn)：中間

10、略有下降，整體表現(xiàn)為臺(tái)階型增長(zhǎng)3）、特點(diǎn)：從 2014.1.1到 2014.2.20，食用油的價(jià)格逐漸上升，2014.2.20后持續(xù)下降4）、特點(diǎn)：前期價(jià)格穩(wěn)定，有少許上升，后期持續(xù)下降，幅度越來越小。5）、特點(diǎn)：前期持續(xù)下降，達(dá)到最低點(diǎn)，后期有所回升。6）、特點(diǎn)，中間突然猛增，后期緩慢下降。7）特點(diǎn)： 大幅度增長(zhǎng)后持續(xù)下降五、問題二5.1 問題分析要對(duì)2014年5月份食品價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)問題一中用食品分類系統(tǒng)將食品分為7類，因?yàn)槊款愂称分械膯我灰环N價(jià)格走勢(shì)大致一樣，所以，只需預(yù)測(cè)每個(gè)大類食品價(jià)格的走勢(shì)即可，考慮到每種食品的規(guī)格等級(jí)、 計(jì)量單位對(duì)食品均價(jià)走勢(shì)的影響， 應(yīng)先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

11、和平均化，然后通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的累加使其具有明顯的變化趨勢(shì)， 最后通過基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合模型對(duì)每類食品均價(jià)的走勢(shì)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)。5.2 模型二5.2.1 數(shù)據(jù)處理1、標(biāo)準(zhǔn)化因?yàn)橥愂称返膬r(jià)格有高有低，為了簡(jiǎn)便起見，利用Min-max 標(biāo)準(zhǔn)化公式對(duì)同類食品價(jià)格進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化:min-max標(biāo)準(zhǔn)化方法是對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換。設(shè)minA和maxA分別為屬性A的最小值和最大值，將A的一個(gè)原始值x通過min-max標(biāo)準(zhǔn)化映射成在區(qū)間0,1中的值x，其公式為：新數(shù)據(jù)=（原數(shù)據(jù)-極小值）/（極大值-極小值）2、平均化 因?yàn)榈凹捌涞爸破贰⒍怪破范贾话环N食品，所以直接使用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)，將剩余5類食品利用如

12、下公式求平均值使用平均化的數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列的原始數(shù)據(jù)，利用matlab應(yīng)用軟件可以得到7類食品相對(duì)價(jià)格的散點(diǎn)圖（如下圖所示）圖1觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)平均化后的數(shù)據(jù)雜亂無序，因此不能找到與之相吻合的擬合函數(shù)，為了使數(shù)據(jù)有較明顯的變化趨勢(shì)，我們對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加，通過原始數(shù)據(jù)累加后得到的六類食品價(jià)格波動(dòng)的散點(diǎn)圖(如下圖所示)圖2發(fā)現(xiàn)肉及其制品，蛋及其制品，水產(chǎn)品的食品價(jià)格波動(dòng)的散點(diǎn)圖的規(guī)律性仍然不強(qiáng)，為此我們對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行第二次累加， 再畫出不同類食品的散點(diǎn)圖（如下圖所示）圖3從圖中發(fā)現(xiàn)7種不同種類食品價(jià)格走勢(shì)都具有多項(xiàng)式函數(shù)的變化趨勢(shì)，因此可以采用三次多項(xiàng)式進(jìn)行回歸分析，得到六類食品的多項(xiàng)式擬合圖

13、（如下圖所示）圖45.2.2 模型的建立觀察圖形發(fā)現(xiàn)7類商品的擬合圖和多項(xiàng)式函數(shù)圖象很吻合，所以建立統(tǒng)一的多項(xiàng)式擬合模型： 三次多項(xiàng)式的擬合關(guān)系式： 表示表示第i類食品的擬合價(jià)格，x表示時(shí)間（每十天為一個(gè)時(shí)間點(diǎn)），a、b、c、d 為第i類食品擬合函數(shù)的待定系數(shù)5.2.3擬合及檢驗(yàn)1、糧食及其制品對(duì)糧食及其制品標(biāo)準(zhǔn)化均價(jià)隨時(shí)間的變化關(guān)系進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合. 擬合關(guān)系式為：第1類食品擬合曲線的方程為:擬合曲線趨勢(shì)變化分析：第1類食品價(jià)格走勢(shì)采用三次拋物線擬合，通過擬合曲線圖觀察到擬合度相當(dāng)高，與實(shí)際相符，故擬合曲線趨勢(shì)變化符合實(shí)際. 為了進(jìn)一步驗(yàn)證擬合函數(shù)的合理性，利用matlab應(yīng)用統(tǒng)計(jì)進(jìn)行多元

14、線性回歸分析和檢驗(yàn)（具體程序見附錄）從幾個(gè)方面都可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪怯行У模?，越接近1，說明回歸方程越顯著;查F分布臨界值表得，6.591，拒絕,F越大，說明回歸方程越顯著；0.05，拒絕，回歸模型成立；觀察殘差圖，除第二個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，故第二個(gè)數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn)。2、豆制品對(duì)豆制品標(biāo)準(zhǔn)化均價(jià)隨時(shí)間的變化關(guān)系進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合. 擬合關(guān)系式為：第2類食品擬合曲線的方程為:擬合曲線趨勢(shì)變化分析：第2類食品價(jià)格走勢(shì)采用三次拋物線擬合，通過擬合曲線圖觀察到擬合度相當(dāng)高，與實(shí)際相符，故擬合曲線趨勢(shì)變化符合實(shí)際. 為了進(jìn)一步驗(yàn)證擬合函數(shù)的合理性，利用matla

15、b應(yīng)用統(tǒng)計(jì)進(jìn)行多元線性回歸分析和檢驗(yàn)（具體程序見附錄）從幾個(gè)方面都可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪怯行У模?，越接近1，說明回歸方程越顯著;6.591，拒絕,F越大，說明回歸方程越顯著；6.591，拒絕,F越大，說明回歸方程越顯著；6.591，拒絕,F越大，說明回歸方程越顯著；0.05，拒絕，回歸模型成立；觀察殘差圖，除最后一個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)。6、水產(chǎn)品擬合關(guān)系式為：第6類食品擬合曲線的方程為:擬合曲線趨勢(shì)變化分析：第6類食品價(jià)格走勢(shì)采用三次拋物線擬合，通過擬合曲線圖觀察到擬合度相當(dāng)高，與實(shí)際相符，故擬合曲線趨勢(shì)變化符合實(shí)際. 為了進(jìn)一步驗(yàn)證擬合函數(shù)的合理性，利用

16、matlab應(yīng)用統(tǒng)計(jì)進(jìn)行多元線性回歸分析和檢驗(yàn)（具體程序見附錄）從幾個(gè)方面都可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪怯行У模?，越接近1，說明回歸方程越顯著;6.591，拒絕,F越大，說明回歸方程越顯著；x0=x;Y1=y1;Y2=y2;Y3=y3;Y4=y4;Y5=y5;Y6=y6;Y7=y7; X=ones(10,1) x0,x0.2,x0.3;b1,bint1,r1,rint1,stats1=regress(Y1,X);b2,bint2,r2,rint2,stats2=regress(Y2,X);b3,bint3,r3,rint3,stats3=regress(Y3,X);b4,bint4,r4,rint4,st

17、ats4=regress(Y4,X);b5,bint5,r5,rint5,stats5=regress(Y5,X);b6,bint6,r6,rint6,stats6=regress(Y6,X); b7,bint7,r7,rint7,stats7=regress(Y7,X); b1,bint1,stats1b1 = 0.5473 -0.2657 0.0621 -0.0032bint1 = -0.1119 1.2066 -0.7599 0.2285 -0.0398 0.1640 -0.0093 0.0029stats1 = 0.8282 9.6448 0.0103 0.0193 b2,bint2,

18、stats2b2 = -0.5423 0.6451 -0.1047 0.0055bint2 = -1.5720 0.4873 -0.1267 1.4169 -0.2639 0.0545 -0.0040 0.0151stats2 = 0.7075 4.8374 0.0483 0.0470 b3,bint3,stats3b3 = 0.6697 -0.0276 0.0233 -0.0026bint3 = 0.2573 1.0820 -0.3367 0.2814 -0.0405 0.0870 -0.0064 0.0013stats3 = 0.8876 15.7887 0.0030 0.0075 b4,bint4,stats4b4 = -0.1127 0.5728 -0.1155 0.0062bint4 = -0.6596 0.4343 0.1629 0.9828 -0.2001 -0.0310 0.0011 0.0113stats4