九年級數(shù)學(xué)上冊 3.2 圓形的旋轉(zhuǎn) 利用旋轉(zhuǎn)變換的思想方法解題素材 新版浙教版

1、利用旋轉(zhuǎn)變換的思想方法解題我們知道，旋轉(zhuǎn)和軸對稱、平移等一樣，也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換，可以將一些比較復(fù)雜的問題變得較為簡單的平面圖形問題，再運(yùn)用旋轉(zhuǎn)物知識，使問題獲得簡單的解決.下面我們就舉例說明.例1如圖1，正方形abcd內(nèi)一點(diǎn)p，padpda15°，連結(jié)pb、pc，請問：pbc是等邊三角形嗎？為什么？圖1簡析將apd繞點(diǎn)d逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得dpc，再作dpc關(guān)于dc的軸對稱圖形dqc，得cdq與adp經(jīng)過對折后能夠重合.所以pdqd，pdq90°15°15°60°，所以pdq為等邊三角形，即pqd60°

2、;.又因?yàn)閐qcapd180°15°15°150°，所以pqc360°60°150°150°dqc.又因?yàn)閜qqdcq，所以pcddcp15°.所以pcd30°，pba30°，所以pcbpbc60°.所以pbc為等邊三角形.說明旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換，它一般先對給定的圖形（或其中一部分），通過旋轉(zhuǎn)，改變位置后得新組合，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出證題途徑.例2如圖2，已知aob90°，在aob的平分線om上有一點(diǎn)

3、c，將一個三角板的直角頂點(diǎn)與c重合，它的兩條直角邊分別與oa、ob(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)d、e. 當(dāng)三角板繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到cd與oa垂直時，如圖（1），易證：od+oeoc.當(dāng)三角板繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到cd與oa不垂直時，在圖（2）、圖（3）這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段od、oe、oc之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明.（1） （2） （3）圖2qp簡析圖2結(jié)論：od+oeoc. 證明：過c分別作oa、ob的垂線，垂足分別為p、q.則容易得到cpdcqe，所以dpeq，即opod+dp，oqoeeq，又由勾股定理，得opoqoc，所以op+oq

4、oc，即od+dp+oeeqoc，所以od+oeoc.結(jié)論：oeodoc.說明這種探索型的問題，求解時一定要認(rèn)真閱讀題目，以動制靜，并進(jìn)行大膽地猜想、歸納、驗(yàn)證，從而使問題獲解.例3如圖3，一等腰直角三角尺gef的兩條直角邊與正方形abcd的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形abcd保持不動，將三角尺gef繞斜邊ef的中點(diǎn)o（點(diǎn)o也是bd中點(diǎn)）按順時針方向旋轉(zhuǎn).（1）如圖3，當(dāng)ef與ab相交于點(diǎn)m，gf與bd相交于點(diǎn)n時，通過觀察或測量bm，fn的長度，猜想bm，fn滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；a（g）b（e）cd（f）onagcdomfebfabcdoegmn圖3（2）若三角尺gef旋轉(zhuǎn)到如

5、圖3所示的位置時，線段fe的延長線與ab的延長線相交于點(diǎn)m，線段bd的延長線與g的延長線相交于點(diǎn)n，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由簡析（1）bmfn.證明如下：因?yàn)間ef是等腰直角三角形，四邊形abcd是正方形，所以abdf45°，obof.又bomfon，所以obmofn.即bmfn.（2）bmfn仍然成立. 理由是：因?yàn)間ef是等腰直角三角形，四邊形abcd是正方形，所以dbagfe45°，obof.所以mbonfo135°.又mobnof，所以obmofn.所以bmfn.說明利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)建新圖形來解決實(shí)際問題，是一種重要的思想方法.本題通過旋轉(zhuǎn)將一般四邊形旋轉(zhuǎn)成特殊四邊形（正方形），體現(xiàn)一般特殊的思想.我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)