金融數(shù)學(xué)概述

1、第一章 利息與現(xiàn)金流量第一章第一章 利息與現(xiàn)金流量利息與現(xiàn)金流量主要包括以下內(nèi)容：n利 息n現(xiàn)金流量n利率、終值與現(xiàn)值n利息力n現(xiàn)金流量的現(xiàn)值n利息收入n固定利率n名義利率與名義貼現(xiàn)率n價(jià)值方程和交易收益率第一節(jié) 利 息n利息與利率 n單利n復(fù)利 利息與利率利息與利率n利息(interest)指借用某種資本(capital)的代價(jià)或借出某種資本的報(bào)酬。即借債人除償還出借人(放款人)原來出借的資本外，還要支付一個(gè)附加的補(bǔ)償，這個(gè)補(bǔ)償叫做利息。n單位本金在單位時(shí)間（一個(gè)計(jì)息期）所獲得的利息即效用利率 (effective rate of interest)，又稱實(shí)際利率，簡(jiǎn)稱為利率。單 利n假定一

2、個(gè)單位本金的投資在每一個(gè)單位時(shí)間所得的利息是相等的，而利息并不用于再投資。按這種形式增長(zhǎng)的利息稱為單利。n如果一位投資者把總額為c的本金存入單利為i的帳戶(這期間沒有其他存款和提款)那么，n年以后可得的利息為 第n年末的本利和，則 復(fù) 利 n復(fù)利就是假定每個(gè)計(jì)息期所得的利息可以自動(dòng)地轉(zhuǎn)成投資(本金)以在下一個(gè)計(jì)息期賺取利息n一般地，如果將本金c存入復(fù)利為i的帳戶，我們假定之后沒有對(duì)該帳戶的存款和提款，設(shè)表示第n年末的本利和，那么，第n 1年的利息為 則第n 1年末的本利和為 nnisi 1 11)1 (nnnnicisss復(fù) 利第二節(jié) 現(xiàn)金流量 n精算師在實(shí)際工作中經(jīng)常涉及到對(duì)各種現(xiàn)金流量(c

3、ash flows)的管理，現(xiàn)金流量就是在不同時(shí)期支出或收入的資金金額。 例如，一家保險(xiǎn)公司會(huì)得到保費(fèi)和投資收入，并支出理賠和支付管理費(fèi)用。從公司的角度，我們把保費(fèi)和投資收入看作是具有正值的現(xiàn)金流量(指獲得的資金)，而理賠和管理費(fèi)用的支出看作是負(fù)值的現(xiàn)金流量(指支出的資金)。n主要包括以下內(nèi)容： 一、償債抵押 二、無息債券 三、固定利息債券 四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券 五、基本人壽保險(xiǎn)一、償債抵押n假設(shè)一個(gè)人為了買一所房子，想從建設(shè)銀行或一家其他銀行借一筆錢。銀行可能會(huì)與他簽訂一個(gè)貸款合同，根據(jù)合同，借款者在每月月末支付一系列款項(xiàng)，一直到償還完全部貸款為止。獲準(zhǔn)用貸款購(gòu)買的房地產(chǎn)通常作為該項(xiàng)貸款的抵押物

4、。我們通常稱之為房屋抵押貸款。一、償債抵押n例如，假設(shè)一家銀行準(zhǔn)備發(fā)放一筆80萬(wàn)元的貸款，貸款分次償還，在20年內(nèi)每月償還5000元。從借款者的角度看，這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如下所示： 注意，在上表中，時(shí)間是從貸款之日起按月計(jì)量的。二、無息債券 n“無息債券”(zero-coupon bond)是指這樣一種證券，它沒有固定的利息支付，而只是在未來的某一特定日期支付一筆約定的金額。例如，某種債券承諾在2010年10月1日支付給持有者70,000元，此外沒有其他支付，這種債券就是一種無息債券，假定在1998年10月1日這種債券的價(jià)格是35,160元，對(duì)于一個(gè)在這一天購(gòu)買該債券的投資者來說，其現(xiàn)金流量如

5、下所示： 三、固定利息債券n政府或公司常常會(huì)通過發(fā)行債券的方式籌措資金，在許多情況下這種籌措資金以固定利息債券的形式出現(xiàn)，這種債券以某一個(gè)確定的名義金額的債券形式發(fā)行。最簡(jiǎn)單的是：債券持有者在未來某些特定時(shí)間將得到約定金額的一次總付款以及一系列約定的利息報(bào)酬。n在一些國(guó)家里政府發(fā)行的固定利息債券通常被稱為“金邊債券”或“金邊證券”(“gilt edged stocks”或“gilts”)。 三、固定利息債券n例如，一個(gè)票息為7.6%，2016年到期的財(cái)政債券，持有一張這種面額為1,000元的債券的人有以下權(quán)利：每年獲得76元的利息，利息在每年9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天

6、也支付利息)，并且在這一天償還本金1,000元。設(shè)想一名投資者在1998年9月30日以p元的價(jià)格購(gòu)買了這樣一張債券(剛好在當(dāng)時(shí)到期的利息被支付以后)。如果該投資者不必納稅并且持有該債券直至最后償付日(而不是在早一些時(shí)候賣出)，他這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如下表13所示：n 三、固定利息債券n如果在上例中，利息改為分期支付，每半年支付一次(每次金額為38元)，利息在每年3月31日和9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天也支付利息)，則他這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如表14所示： n表14 四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券 n傳統(tǒng)的固定利息債券每期的利息支付都是同樣的金額。如果經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的通貨膨脹得不到控制，隨著時(shí)間

7、的流逝，一定金額的貨幣的購(gòu)買力會(huì)減少，尤其當(dāng)通貨膨脹率高時(shí)效果更為明顯。由于這種原因，一些投資人被這樣一種證券所吸引，這種證券的利息支付和最終本金返還的實(shí)際現(xiàn)金量是與一種反映通貨膨脹影響的適當(dāng)?shù)闹笖?shù)相關(guān)聯(lián)的。n最主要的這種指數(shù)是零售物價(jià)指數(shù)(retail prices index)或簡(jiǎn)稱為rpi。該指數(shù)的值每月公布，有時(shí)要調(diào)整基準(zhǔn)。例如英國(guó)的指數(shù)是以1987年1月為100作為基準(zhǔn)的。8年以后的1995年1月，該指數(shù)值為146.0，從1987年1月至1995年1月，該指數(shù)和年平均增長(zhǎng)率為4.844% 。本書對(duì)指數(shù)關(guān)聯(lián)證券不做詳細(xì)討論，但是，我們值得注意的是英國(guó)政府于1975年6月發(fā)行了指數(shù)關(guān)聯(lián)國(guó)

8、民儲(chǔ)蓄存單(index-linked national savings certificates)并于1981年3月首次發(fā)行了指數(shù)關(guān)聯(lián)債券。 四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券五、基本人壽保險(xiǎn) n（一）定期壽險(xiǎn)保單 定期壽險(xiǎn)保單是這樣一種合同；當(dāng)保單持有人(即投保人)在保單規(guī)定期限內(nèi)死亡時(shí)，壽險(xiǎn)公司一次性給付一筆保險(xiǎn)金(sum assured)，這種保單的期限可能會(huì)很長(zhǎng)(例如20年)，也可能會(huì)較短(例如一年甚至更短)。 定期壽險(xiǎn)保單通常以每年支付一定保費(fèi)的方式購(gòu)買，保費(fèi)通常(但不是必須)是固定金額。年保費(fèi)通常在保單期限內(nèi)的每年年初支付，直到被保險(xiǎn)人死亡終止或期滿，但是，偶爾保費(fèi)也可能在較短一些的時(shí)期里付清或者可

9、以用單獨(dú)一筆保費(fèi)購(gòu)買保單（稱為躉繳保費(fèi)）。 五、基本人壽保險(xiǎn)n（一）定期壽險(xiǎn)保單 例如，考慮如下這個(gè)期限為15年的定期壽險(xiǎn)保單，保險(xiǎn)金額為1,000,000元，每年初支付保費(fèi)2,000元，保險(xiǎn)金在死亡之年年末給付(在保單期限內(nèi))。這里的保費(fèi)金額相對(duì)較小，它反映出保單持有人的年齡較小以及相應(yīng)的死亡風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)低。 如果保單持有人在投保第九年死亡，那么從人壽保險(xiǎn)公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，8時(shí)刻(從開始投保起按年計(jì))，每次金額為2,000元，該保單在時(shí)刻9發(fā)生一次負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為1,000,000元)。但是，如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險(xiǎn)公

10、司將獲得每次金額為2,000元的15次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，并且不必返還任何款項(xiàng)。 五、基本人壽保險(xiǎn)n（二）兩全保險(xiǎn)保單 兩全保險(xiǎn)保單是這樣一種合同：當(dāng)被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡時(shí)，或在保險(xiǎn)期滿時(shí)他還活著，壽險(xiǎn)公司一次性給付一筆保險(xiǎn)金。這種保單經(jīng)常以每年預(yù)付一定水平的保費(fèi)的方式購(gòu)買、在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)或在保單期滿時(shí)終止。 考慮如下這個(gè)期限為15年的兩全保險(xiǎn)保單，投保金額為1,000,000元，每年初支付保費(fèi)58,000元，應(yīng)付死亡保險(xiǎn)金在死亡之年年末支付。對(duì)于該保單來說，如果保單持有人在投保第九年死亡，那么從人壽保險(xiǎn)公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，8時(shí)刻；以及

11、在時(shí)刻9的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為1,000,000元)。如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險(xiǎn)公司將獲得15次每次金額為58,000元的數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(在0，1，2，14時(shí)刻)以及在時(shí)刻15的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為1,000,000元)。 五、基本人壽保險(xiǎn)n（三）年金保單 兩全保險(xiǎn)金是一次性地給付一筆保險(xiǎn)金。年金保單是給付一系列有規(guī)律的返還款項(xiàng)作為保險(xiǎn)金，年金給付的確切條件有明確的規(guī)定。 最簡(jiǎn)單的年金可能是這樣：在保單持有人生存期間，每年年末給付一定的水平的款項(xiàng)，假如，設(shè)想現(xiàn)在發(fā)行一種為年齡60歲的女性準(zhǔn)備的保單，人壽保險(xiǎn)公司一次性收取100，000元的保費(fèi)，在

12、保單持有人生存期間每年年末付9，400元。 如果保單持有人在保單第七年死亡(即在6和7時(shí)刻之間死亡，時(shí)間是從發(fā)行保單之日起按年計(jì)算)，人壽保險(xiǎn)公司的該合同的現(xiàn)金流量將包括在時(shí)刻0的一筆數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(100，000元)和以后的在1，2，3，6時(shí)刻的數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(每次9，400元)，但是如果保單持有人在保單生效后一年內(nèi)死亡，人壽保險(xiǎn)公司，無論怎樣都不會(huì)發(fā)生數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量。 還存在其他種類的年金保險(xiǎn)合同，例如，保單條款可能會(huì)規(guī)定在保單持有人生存期間每年年末給付年金，但是給付次數(shù)有一個(gè)總的上限。這種保單被稱為定期生命年金。第三節(jié) 利率、終值與現(xiàn)值n一、實(shí)際利率與名義利率的含義n二

13、、終值n三、現(xiàn)值一、實(shí)際利率與名義利率的含義 n（一）實(shí)際利率 我們考慮一種投資，其本金和利息在固定期限的期末支付，沒有期中支付的任何數(shù)額的利息和本金。 在討論利息問題中時(shí)間單位是個(gè)重要的概念，它可能是1個(gè)月或1年，在實(shí)踐中較常用的是一年，然而，在某些情況下，選擇一個(gè)其他的時(shí)間單位(例如6個(gè)月)也可能會(huì)簡(jiǎn)化問題。 設(shè)想一個(gè)從t時(shí)刻開始，期限為1時(shí)間單位的金額為1元的投資，假設(shè)在t 1時(shí)刻返還1i (t)，i (t)即前面提到的該時(shí)期的實(shí)際利率(effective rate of interest)，稱為實(shí)際利率是為了把它同下面將討論的名義利率表面利率區(qū)分開來(rates of norminal

14、 or flat interest)。如果假定利率不取決于投資的金額，那么在t時(shí)刻的投資c在t 1時(shí)刻返還的現(xiàn)金是c1 i (t)。容易看出，c從時(shí)刻0到時(shí)刻n(n是整個(gè)正整數(shù))的本利總和為： 一、實(shí)際利率與名義利率的含義n（一）實(shí)際利率利率常以百分比表示，例如，可以說實(shí)際利率(對(duì)某一給定的時(shí)期)為%4312，這意味著這段時(shí)期的實(shí)際利率為0.1275。 如果每期的利率水平不隨投資的時(shí)刻t發(fā)生變化， 即對(duì)于任意的t， i(t) i 。在這種情況下，根據(jù)公式(1.1)，金額為c的投資在n個(gè)時(shí)間單位后的本利和為 nic)1 ( (1.2) 并且這個(gè)公式即使是在n不是整數(shù)時(shí)也成立。 一、實(shí)際利率與名義

15、利率的含義n（二）名義利率 名義利率是相對(duì)于實(shí)際利率而言的。我們通過一個(gè)例子來說明名義利率的概念。 一、實(shí)際利率與名義利率的含義n（二）名義利率二、終值 n在一定的利率情況下，一筆款項(xiàng)a經(jīng)過k個(gè)時(shí)間單位后，其本利和成為b，我們稱b為a經(jīng)過k個(gè)時(shí)間單位后的終值，a為b在k個(gè)時(shí)間單位前的現(xiàn)值。n以計(jì)息期為一年的情況來說，假定各年的利率水平是不變的，初始時(shí)的1元到了1年后變成了（1i）元， 2年后變成了（1i）2，我們稱（1i）為1元錢在1年后的終值，稱（1i）2為1元錢在2年后的終值。例如，年利率為5%時(shí)，1元錢在1年后的終值為1.05元（圖11），12年后的終值為（10.05）12=1.7958

16、6元（圖12）。 n一般地，1元經(jīng)過n年后變成了（1i）n，c元經(jīng)過n年后變成了元，我們稱（1i）n為1元錢在n年后的終值，稱c（1i）n為c元錢n年后的終值。 二、終值三、現(xiàn)值 三、現(xiàn)值第四節(jié) 利息力n一、利息力與終值函數(shù)n二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)第五節(jié) 現(xiàn)金流量的現(xiàn)值n一、離散的現(xiàn)金流量n二、連續(xù)的現(xiàn)金流量n三、現(xiàn)金流量的估值一、離散的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量n到此為止，我們假定所有的支付，不論是離散的，還是連續(xù)的，都是正值，如果某人

17、有一系列的收入款項(xiàng)(可以把它看作是正值)以及一系列的支出款項(xiàng)(可以看作是負(fù)值)，則它們的凈現(xiàn)值(net present value)被定義為數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量總和與數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量總和的差。 三、現(xiàn)金流量的估值 三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值第六節(jié) 利息收入 n考慮這樣一位投資者，他不希望擴(kuò)大本金，但是想獲得一種收入，同時(shí)保持他的本金固定在數(shù)額c上，如果利率固定為每單位時(shí)間i，并且投資者希望在每單位時(shí)間末端獲得利息收入，很顯然，他的收入將是在每個(gè)單位時(shí)間末端的ic，直至他提取了本金。第六節(jié) 利息收入第六節(jié) 利息收入第六節(jié) 利息收入第七節(jié) 固定利率

18、 第七節(jié) 固定利率n這樣，為了在時(shí)間1能夠得到1元的返還，投資者必須在時(shí)間0投入(1d)元資金。這就相當(dāng)于1單位時(shí)間后到期的1元錢，在單位時(shí)間里產(chǎn)生的利息為d。因此d被稱為單位時(shí)間貼現(xiàn)率。為了避免與名義貼現(xiàn)率混淆，d有時(shí)被稱為單位時(shí)間實(shí)際貼現(xiàn)率。n我們舉例來說明貼現(xiàn)率的概念。如果a有一張一年后到期的面額為100元的票據(jù)，他想立即到銀行兌現(xiàn)，銀行只給他兌現(xiàn)了90元，也就是說銀行扣去了10%，我們稱10%為實(shí)際貼現(xiàn)率，簡(jiǎn)稱貼現(xiàn)率。n例如，某人以8%的實(shí)際貼現(xiàn)率向銀行貸款100元，銀行將先收取8元的利息而只給92元，一年后，他向銀行償還貸款100元。n顯然，實(shí)際貼現(xiàn)率是在一年內(nèi)的利息量（或稱貼現(xiàn)量）與期末資金總額的比率。第七節(jié) 固定利率第七節(jié) 固定利率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名