第四章球函數(shù)及其性質(zhì)43843

1、第四章第四章 球函數(shù)及其性質(zhì)球函數(shù)及其性質(zhì) 3. 1 球坐標(biāo)中拉普拉斯方程的分球坐標(biāo)中拉普拉斯方程的分離變量解法離變量解法長(zhǎng)安大學(xué)長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院張永志拉普拉斯方程拉普拉斯方程0222222zvyvxv(一一)球坐標(biāo)中的拉普拉斯算子球坐標(biāo)中的拉普拉斯算子來推導(dǎo)拉普斯算子在球坐標(biāo)中的表達(dá)式。如圖4-1所示，取一微六面體abcdefgh，球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是圖 4-1將 用于該微六面體，得其中r為微六面體的體積,i=1,2,6表示微六面體的6個(gè)面。 表示 在第i個(gè)面上的值，i為第i個(gè)面的面積。在aehd上， n與p增加的方向反向，所以有該面的面積為 ，所以 所以有，在aefb上，n的

2、方向與增加的方向相反，由于沿增加方向的線元長(zhǎng)度為d，所以，同理有，所以有，在abcd上，n的方向與增加的方向相反，由于沿增加方向的線元長(zhǎng)度為 sin d ，所以該面的面積為 d d ，所以得綜合以上幾式，得拉普拉斯算子在球坐標(biāo)中的表達(dá)式：(二二)分離變量法分離變量法令上式等于零，然后兩邊同乘以平方 ，得球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程分離變量法就是將方程的解分解為依賴于不同自變量的函數(shù)之積。令得兩邊同除以移項(xiàng)得：等號(hào)兩邊必然等于同一常數(shù) ，所以進(jìn)一步對(duì)第二個(gè)方程作變量分離，令有：移項(xiàng)，并令兩邊同等于 ，整理得：令 將上式進(jìn)行改化，得連帶勒讓德方程：cosx 當(dāng)=0時(shí)簡(jiǎn)化為稱為勒讓德方程。4. 2 勒讓得

3、函數(shù)勒讓得函數(shù)(一一)勒讓得方程的級(jí)數(shù)解勒讓得方程的級(jí)數(shù)解勒讓得函數(shù)是勒讓得方程在一1,1中有界條件下的特征函數(shù)。勒讓得方程還可以寫成令其級(jí)數(shù)解為得將第一項(xiàng)更換指標(biāo)，得顯然，要使原級(jí)數(shù)為勒讓得方程的解，上式中x的系數(shù)必須等于零，即得遞推公式得到兩個(gè)解(二二)級(jí)數(shù)解的收斂性級(jí)數(shù)解的收斂性對(duì)于上式中的兩個(gè)級(jí)數(shù)來說，我們可以將 看成是x平方的幕級(jí)數(shù)，將 看成是x與 -x2的幕級(jí)數(shù)之積。對(duì)于這兩個(gè)幕級(jí)數(shù)來說，由于它們具有相同的遞推公式，收斂半徑也必然相等，有：就是說，當(dāng)x在(-1,1)中時(shí)，前面的兩個(gè)級(jí)數(shù)解都是收教的，表明這兩個(gè)解都有界。當(dāng)x=士1時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)解均無界。(三三)勒讓得函數(shù)勒讓得函數(shù)為了

4、解決方程的兩個(gè)幕級(jí)數(shù)解在(-1,1)中有界而在x=士1時(shí)均無界的矛盾，令 的值為n(n+1)，其中n為大于等于零的整數(shù)，則系數(shù)的遞推公式變?yōu)?由這個(gè)遞推公式,使那兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)中有一個(gè)變?yōu)槎囗?xiàng)式。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 變?yōu)槎囗?xiàng)式， 仍為無窮級(jí)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 仍為無窮級(jí)數(shù)， 變?yōu)槎囗?xiàng)式。兩個(gè)多項(xiàng)式都在一1,1中有界，兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)則都在(一1,1)中有界，在x=士1時(shí)無界。因而勒讓得方程在一1,1中有界條件下的特征值是n(n十1)，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為相應(yīng)的多項(xiàng)式。 我們把上述多項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)規(guī)定為此時(shí)該多項(xiàng)式稱為n階勒讓得函數(shù)，并且 表示。 在上述遞推公式中令i=n-2，可以得到：以此類推，可以得到

5、：，.歸納可以得到:因此，得到勒讓德函數(shù)的具體表達(dá)式：(四四)羅巨格公式羅巨格公式勒讓得函數(shù)的另一個(gè)表達(dá)形式是稱為羅巨格公式。4.3 連帶勒讓得函數(shù)連帶勒讓得函數(shù)(一一)連帶勒讓得方程與勒讓得方程的關(guān)系連帶勒讓得方程與勒讓得方程的關(guān)系 連帶勒讓得函數(shù)是連帶勒讓得方程在【-1,1】中有界條件下的特征函數(shù)。還可以寫成：做變量代換，可以求得：將前三式代入連帶勒讓德方程，整理得：求導(dǎo)并整理得:得：可見，連帶勒讓得方程兩個(gè)線性無關(guān)的解可由勒讓得方程兩個(gè)線性無關(guān)的解確定。(二二)連帶勒讓得方程的級(jí)數(shù)解連帶勒讓得方程的級(jí)數(shù)解 由上式可以求出連帶勒讓得方程兩個(gè)線性無關(guān)的解，(三三)級(jí)數(shù)解的收斂性級(jí)數(shù)解的收斂性

6、當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),將上式中的求和指標(biāo)i換成i+k/2，得當(dāng)i足夠大時(shí)，考慮到b1（x）中的級(jí)數(shù)為x2的級(jí)數(shù)，b2 （x）中的級(jí)數(shù)為x與一個(gè)x2的級(jí)數(shù)之積，所以這兩上級(jí)數(shù)均可被當(dāng)作正項(xiàng)級(jí)數(shù)處理，由于級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)并不影響級(jí)數(shù)的收斂性，所以只要分別無界，b1,b2也無界?？梢宰C明，當(dāng)x趨于士1時(shí)，y1(x)和y2 (x)分別趨于無窮，也就是說，y1(x)和y2(x)在x=士1時(shí)無界，因而b1 (x)和b2(x)在x=士1時(shí)無界。(四四)連帶勒讓得函數(shù)連帶勒讓得函數(shù) 為了得到1,1中的有界解，我們?nèi)匀蝗=n(n+1)，其中n為大于等于零的整數(shù)，此時(shí) 顯然，若n為偶數(shù)，則b1(x)中的無窮級(jí)數(shù)變成多項(xiàng)

7、式，b2(x)中的無窮級(jí)數(shù)保持為無窮級(jí)數(shù);若n為奇數(shù)，則b1(x)中的無窮級(jí)數(shù)保持為無窮級(jí)數(shù)，b2 (x)中的無窮級(jí)數(shù)變成多項(xiàng)式。這兩個(gè)多項(xiàng)式都在一1,1中有界，因而由它們得到的b1 (x)或b2(x)也有界。則連帶勒讓得方程在-1,1中的有界解為將pn的表達(dá)式代入，得得經(jīng)度方向方程的求解3.4 球函數(shù) 在第一節(jié)中，我們將球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程的解分解成了 三個(gè)函數(shù)的積，并解出：最后，我們來求解 當(dāng)趨于零時(shí)， 。 所以， 適用于研究?jī)?nèi)部有界的調(diào)和函數(shù)。 ， 適用于研究外部有界的調(diào)和函數(shù)。 由分離變童法求得的拉普拉斯方程最一般的解為所有可能的乘積 的線性組合。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在某一閉合曲面的內(nèi)部，則在該曲面內(nèi)部拉普拉斯方程分離變量有限解的一般形式為4.5球函數(shù)的幾何意義n(一)勒讓得函數(shù)的零點(diǎn)球函數(shù)的幾何意義n(二)面球函教的幾何意義當(dāng)k=0時(shí)，面球函數(shù)退化成p (cos)，由于它在00之間有，n個(gè)零點(diǎn)，并且每經(jīng)過一次零點(diǎn)改變一次正負(fù)號(hào)，所以，(cos)由緯線將球面分成n十1個(gè)正負(fù)相間的條帶，叫帶球函數(shù),是p3(cos)的示意圖，零點(diǎn)為50. 8,90和129. 2球函數(shù)的幾何意義球函數(shù)的幾何意義球函數(shù)的幾何意義球函數(shù)的規(guī)格化)(cosp)!kn