專升本(國(guó)家)-專升本高等數(shù)學(xué)(二)分類模擬微分方程求解方法、無(wú)窮級(jí)數(shù)解題方法、向量.

1、專升本高等數(shù)學(xué)（二）分類模擬微分方程求解方法、無(wú)窮級(jí)數(shù)解題方法、向量與空間解析幾何一、選擇題1函數(shù)是微分方程y，+ay=ex的解，貝呃的值為a0 b一1 c1 d22、若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為y=c1e-2x+c2ex,則該微分方程為a y”+yjo b. y"+2y' =0c y"+y'-2y=0 d y"-y'-2y=03、求解微分方程y"+3y* +2y=sinxb'j',應(yīng)設(shè)一個(gè)特解為y*=a asinx b. acosxc. asinx+bcosx d. x （asinx+bcosx）a. x

2、=y (y2+c c x=y (2y2+c.b y=x(x'+cd x=y3+cooco:妬s加5、正項(xiàng)級(jí)數(shù)“ 1 收斂，那么"=丨的收斂性為a.發(fā)散 b收斂 c.可能收斂，也可能發(fā)散d.無(wú)法判斷6、已知慕級(jí)數(shù)d=l在處收斂，那么級(jí)數(shù)在x=l處的斂散性為a.發(fā)散 b收斂 c.條件收斂，但不絕對(duì)收斂d.無(wú)法判斷7、空間坐標(biāo)系屮，方程y=2x-5代表a.直線 b.平行于x軸的平面c.平等行于y軸的平面d.平行于z軸的平面8、點(diǎn)（1, 0,丄）在上.a. y軸上bxoz平面上 cxoy平面上 dyoz平面上j j' = 09、直線1。代表az軸bx軸cy軸 dxoy平面上的

3、直線二、填空題10微分方程y" -4y' -5y=xe x的特解應(yīng)設(shè)為1213、i+7i+（q 右+"）£+（何噲+1*+*+#14、y丄z-j n-2已知級(jí)數(shù)"=i收斂，貝b的取值范圍是15、p x?'乙廬16>17>18>77極限獷+ 4圧點(diǎn)（-2, 3 y -4）是第用定積分可表示成卦限的點(diǎn).平行于向量a=(6, 7, -6)的單位向量是點(diǎn)(a, b, c)關(guān)于xoy'|z：面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是19、,關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是20、點(diǎn)p(-3, 4, 5)到x軸的距離是；到y(tǒng)軸的距

4、離是;到z軸的距離是級(jí)數(shù)打=1 的收斂區(qū)間是21、過(guò)點(diǎn)m(2, 9, -6)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)m的線段om垂直的平面方程為三、解答題d：y 一 122、求解方程山(丁+w(!*v = p(j*)y + q(x)半十23、如何應(yīng)用公式求d”的通解？如何應(yīng)用公式求dy p(y)x=q(y)的通解？24、求微分方程y"-2ayi+y=0的通解.25、求微分方程(1+x) ydx+ (1-y) xdy=0的通解.26、工求微分方程的通解.27、求微分方程28、設(shè)y1=f1 (x) -y2=f2 (x)分別為方程護(hù) + p(jc)y = q (工)與 歲 += q> (工d文的解，證明

5、:y=f 1 (x) +f2 (x)是方程i p(rr) y = q (/+ qi (丁)ttr的解，并用此結(jié)論解方程v + v = 2siirr 5sin2.rda-丿29、若函數(shù) f(x) = j° (x-t) f (t)dt+ex,求 f(x)xrx30> 設(shè) f (x) =x+l-x j f (t) dt+ j a tf (t) dt,其中 f(x)為連續(xù)函數(shù)，求 f (x).31、設(shè)f(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它由方程j ° tf (t)d*xjf (x)確定，求f(x)護(hù) + 工=a (i n') y£32、求微分方程乩e衛(wèi) 的通解.(工&#

6、174;* + l)<lr+_y(l 卡)dy=o33、求微分方程1的特解.d y _ .cos,r 匚 j 一 vsmjr 一 sin.r34、求微分方程j *的通解.jt35、若f(x)滿足方程f (x) +2 ：i f (t) dt=x2,求f (x)判別級(jí)數(shù)的斂散性.co38、39、40、判定級(jí)數(shù)的收斂性.的斂散性.41、求極限(1)(2)42、求級(jí)數(shù)"7的和函數(shù).現(xiàn)將常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法歸納于下表中.名稱止項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)個(gè)別判別法充要條件（部分 和數(shù)列s.冇界） 比較法 比值法絕對(duì)收斂f收斂萊布尼茲判別 法通用判別法若sn-*s,則級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)n-

7、>-,入十0,則級(jí)數(shù)發(fā)散； 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)判定級(jí)數(shù)的收斂性.43、cos”兀j + 11工肝sin話44、t4=,求下列級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域.oap ln(?z + 1)卄厶pl45、r,- 1rxiv生嚴(yán)z-j p46、4 7、n 5 +求幕級(jí)數(shù)rj 11)(2丁 + iy的收斂域及其和函數(shù)./&)=48、將有理分式函數(shù)3 + 3r- 23 10文8.r"展開(kāi)成x的帚級(jí)數(shù).2)=j.2_249、將有理分式函數(shù)j°展開(kāi)成x+4的幕級(jí)數(shù).50、已知兩點(diǎn)( 4 *和b(3, 0, 2),試計(jì)算向量ab方向余弦，方向角，及在x軸上的投影.51、求向量a=(4, -3

8、, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.52、設(shè)a=(3, 5, -2) , b= (2, 1, 4),問(wèn)入與p滿足怎樣的關(guān)系，才能使入a+pb與z軸垂直?'a53、已知a(：l, -1, 2) , b(3, 3, 1) , c(3, 1, 3),求與abbc同時(shí)垂直的單位向量.54、求過(guò)三點(diǎn)(1, 1, -1) , (-2,2, 2) , (1, -1, 2)的平面方程.55、求過(guò)兩點(diǎn)a(3, -2, 1) , b(-l, 0, 2)的直線方程.56、求過(guò)點(diǎn)(2, 0, -3)且與直線卜 2二+1=0垂直的平面方程.57、求過(guò)點(diǎn)(3, 1, -2) a通過(guò)直線 521的平而方程

9、.58、求點(diǎn)(1, 2, 0)在平而x+2y-z + l = 0上的投影.:2x斗$ +乞=059、求直線13- y-2c9 = ()在平而4x_y+z=1上的投彩直線的方程.j-z+l=060、設(shè)一平面垂直于平面z = 0并通過(guò)從點(diǎn)到直線l"=°和垂線，求此平面方程.61、已知點(diǎn)a(1, 0, 0) , b(0, 2, 1),試在z軸上求一點(diǎn)c,使aabc的面積最小.答案:一、選擇題丄、b2> c7、d 方程屮缺少z,故平面平行于z8、b坐標(biāo)中y=0,故點(diǎn)在xoz平面上.9、a該線是平面yoz與xoz的交線，故代表z軸.二、填空題 10> y*=x (ax+b

10、) e x l+*+3、c11>124、a5、b6、b1-3!i _1+#+(72)2 y+cx/t)31丄11亠1】 t 3331533!+ 1 113+ + ( j2 )" a + n!« -卜 * * 門 27372解析由公式in(l + jc)=才+ 十尋ln( 1 一 n)= 一>t1(一 1 <心 1)兩式相減得in j= ln(l+z ln(l 文)=2(文+ 手 +令 +1 x35l3得ln2 = 2 (丄 + 丄 丄 + 丄 丄 + 丄- 血 訂3十3 33 ' 5 35十7 3從而幺_ +丄丄+ -l丄+丄jl = 丄山2 3

11、十 331 t 5 3s 73?卞 1rl ,u 1 十 4x2 丁14、 (1, +8)15> -1, 116、17.第6卦限18、士宀士 (魯備一舒因a=(6, 7, -6)的枳量?jī)觾蓚€(gè)，即士宀土la=金+ 7+一6“皿*1】,平行單位向1 / £ 7 a = ± 訐(6,7 6) = 士1t1t n19、0),故點(diǎn)p到x軸的距離為兩點(diǎn)plpz間的距 蟲(chóng)了同理，點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為d3 = j( 一3嚴(yán) +號(hào)=5 21、(a, b -c)； (-a, b, -c) ； (-a, -b -c) 20、兩點(diǎn)pp之間 d =丿(一妙+升734= y( 3)2j-4 = 5

12、0,解析點(diǎn)p(-3, 4, 5)在z軸上的投影為點(diǎn)pj-3, 離，而么=i f】p丨=e卜5d2=v(3)-f52 = a/34，點(diǎn)p到z軸的距離為 2 (x-2)+9 (y-9)-6(z + 6) =0,艮卩2x+9y-6z-121 = 0 三、解答題du ydw n 11 1 =二 代入原方程得皿ic分離變量得* u2 du22、解 設(shè)x+y=u,則山u2 du _ 】i i ° dx1十/廠.兩邊積分得y-arctan (x+y) =c.23、首先利用變量分離法可求得其對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解為y=ce/p<x)dx,然后將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x),令y=c(x)

13、e/p(x>dx,求微分后，得到1 +用，解岀u-arctanu=x+c,述原u=x+y得將上述兩式代入方程屮, dc(jr) kp加 clx clr十c（工）p（工）巳汕皿得到,=ccr) p(x)e吐 sc!"皿 + c(.r)f(.r)ejpu)drpfxldac（工）=|q（工）et心也山+ f積分后得到j(luò),進(jìn)而得到方程的通解j = cpft>d-rq()e" pcr),ir特征方程為r2-2ar+l = 0, rr 2=(1)當(dāng) |a|>l,即 a> 1 或 av-1 時(shí), a t t 1 »2a 士 v 4a2 4cz 土 y/

14、a 12特征方程冇兩個(gè)不相等的實(shí)根24、解原方程對(duì)應(yīng)的f i故原方程的通解為y g e（"亠 /'- ）j： -|- c e（"- 億匸0工當(dāng)|a|=l, wa=l或壬時(shí)，特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2=a,故原方程的通解為 y= （ct+c2x） e：| a 5"（3）當(dāng)|a|<l,即-l<a<l時(shí)，特征方程冇兩個(gè)共軌復(fù)根r12= 1 v】,故原方程的通解為ywg cos /l-r + gsin /廠疋"1十工 y 125、分離原式得：xy,兩邊積分得解x+lnx=y-lny+c, h|jx-y+lnxy=c.另外，x=0

15、, y=0也是原微分方程的解.<ly _ ><br1丁djr26、令 n ="，則-p “ ,rtlr'-du sgn r clr,代入并分離變量得7 1 ir-積刁彳導(dǎo)arcsinu=sgnx in | x | +c,艮卩; -j i<l.r 工 工7a res in - = sgmr lnr | 十 cjc式方程得d.r _ y 十 jt27、方程變形d$ »,化為標(biāo)準(zhǔn)dr 1這是一個(gè)以y為自變量，以x為未知函數(shù)的一階線性非齊次方程，其解法與方程y，+p(x)y=q(x) 一致.由通解公式(2.8.3)可得+ c=e .即原方程的通解為x

16、二-y?+y+c28、證明y. = f. (x) +f2 (x)是方程的解,只須將其代入方程看其是否滿足方程即可.因?yàn)閥嚴(yán)f, (x)與y產(chǎn)爲(wèi)(x)分別為方程°兀+p (x) y=qx (x)與/i rj +p (x) y=q2 (x)的解，從而有j 1 (x) +p (x)匚(x) =qx (x), h (x) +p (x) f2 (x) =q2 (x) 將=:£i (x) +f2 (x)代入等式左邊得fn (x) +f2 (x) ' +p (x) f1 (x) +f2 (x)=j 1 (x)+/2 (x)+p(x)fl(x)+p(x)f2(x)(x) +p (x

17、) fx (x) + 丿 2 (x) +p (x) f2(x)=j0 (x) +q2 (x) 所以y=f (x) +f2 (x)是原方程的解.一 y 2si rur + 5sin2.rd v(2)下面利用以上結(jié)論解方程(l廠-f + $ = 2 sinj-與牛 + y = 5 si n2:r分別解°攵dx 的通解，再將它們相加.利用公式y(tǒng)=e-/p(x>dx( ；q(x)e/p(x)dxdx+c),得 f l (x) =e 'dx j 2sinxe 1 dxdx+cj =sinx-cosx+c,e x f, (x) =e''dx f 5sin2xe ax

18、dx+c2 =sin2x-cos2x+c2e x 從而原方程的解為xxy=f i (x) +f2 (x) =sinx-cosx+c.e x+sin2x-cos2x+c2e x = sinx-cosx+sin2x-cos2x+ce x (0=002 9、f (x)=x : f (t)dt- j : tf (t)dt+ex 上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，冇f ' (x)=丿 ° f (t)dt+xf (x) -xf (x) +ex, f * (x) = j q f (t)dt+ex f"(x)=f(x)+ex記y=f (x),則上式是二階常系數(shù)非齊次微分方程，即 y'&

19、#187;-y=ex (1)yn-y=o的通解是y'=c®+c2，5 c?為任意常數(shù).由于入"是y"-y=o的特征方程r2-l = 0的單根，所以設(shè)“xh是方程(1)的一個(gè)特解，于是右1 石d =萬(wàn)=aez+axez 與 =2ae x+axex.將它們代入方程(1)得一于是方程(1)的通解為丄oy=c 已 +c e "+ xgx(2 )/(0)=1 十 g這里&為任意常數(shù).從已知條件可求得，f(0)=1, f1(0)=1并代入方程(2),得1= g - g -冷=1益xi解/lqkt所求函數(shù)心30、f (x) =x3+l-x j 0 f

20、(t)dt+ j tf (t)dt.求導(dǎo)，化去變上限積分.兩邊求導(dǎo)得f ' (x) =3x2-丿 ° f (t)dt+xf (x) +xf (x) =3x2-丿 ° f (t) dt兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得f” (x) =6x-f (x),即化為一個(gè)二階常系數(shù)非齊次方程y"+y=6x. 要求解這個(gè)方程，先確定初始條件.由原條件f (x) =x5+l-x j ； f (t) dt+ - ' tf (t) dt,得f (0) =1.由f 1 (x) =3x2- j *' f (x) dt,得f ' (0) =0.因jfljf (x)為方程yh+

21、y=6x滿足初始條件f (0)=1, f ' (0)=0的特解.對(duì)于方程y"+y=6x先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解y c。其對(duì)應(yīng)齊次方程為y"+y=0,特征根為r=±i,所以ycosx+cinx再求y”+y=6x的一個(gè)特解y” 因?yàn)槿?0不是特征根，故可設(shè)y*=ax+b,則y*1 =a, y*11 = 0.比較系數(shù)0+ax=6x,即a=6, b=0, 所以y*=6x.所以y”+y=6x 的通解 y=ccosx+c2sinx+6x.所以 y=cosx- 6sinx+6x.131、/（工）= -2c三廠卜2.32、以y'$石除方程兩端，得cljdcjt1)丄

22、 1 i _dr x令z=y1,則上述方程成為dz 1|z /hrdj這是一個(gè)線性方程，它的通解為以y）代z,得所求方程的通解為化為由 x=0,(：導(dǎo)(lrur) 1rz-j l + b33變形，兩邊積分得1 了？1+ *ln1+b1+h代入上式得c=2于是所求方程特解為2x2+y2=l34、將原方程兩邊同除以cosx,得d v3'taihr= taitrclz-這是一個(gè)線性方程，由公式(2.8.3)解得/ tanxdx r r ,- / tanxdx n iy=e j tanxe dx+cj化簡(jiǎn)得cost得y * +2y=2x丄求得y =c0 +x- 21 2 =2i-文，即35&g

23、t; 設(shè)f (x) =y,則f 1 (x) =y1方程兩邊求導(dǎo),f (x)='9由條件，取x=0時(shí)，易得y=f (0)=0,代入上式得-所以所求函數(shù)丄嚴(yán)+一 1v v曲線與直線- 1相切.斗 +1 y7 l得其切線斜率丄所以斜率相等.而由穢=乂得y' = f xdx= x'+c.ix'+i36、由'i -y / =l ,于是v =萬(wàn)(疋=) 把也代入上式得曲于曲線過(guò)點(diǎn)m(0, 1),代入上式得c2=所以所求曲線為=” + 疋 + 16 237、因?yàn)?-由于所求刀=1= 鋁屈后是4>isp=匕 的p級(jí)數(shù)，一定收斂，從而級(jí)數(shù)<丄 y -,由于耳”

24、'1譏” + 1) 3收斂.38、解 散.sri= i711 i r 1140、解這種方法失效.(1+丄因?yàn)?#39; nv1收斂，所以鋁"5 + 1)g4>js3=攀-1詆y心】，由于斤i 發(fā)散，所以«=利用比值法，可知也收斂.39、"+ 1也發(fā)e?,j<0=limrfoa j>11+丄n /limy,即u“>uj從而ho,原級(jí)數(shù)發(fā)散.41、因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以由收斂的必要條件可知一般項(xiàng)的極限 l u同理，級(jí)數(shù)比=°收斂，所以由收斂的必耍條件可知一般項(xiàng)的極限42、gera(1)oc t(益)g=工n= 1n-1oz必_ v

25、'力-11 - ji：自己求）對(duì)兩邊積分得1flj忖=1 1u 1 ckr inr工1 |其中，對(duì)結(jié)果中麗一半再求導(dǎo):而（1）式第2部分（收斂半徑兩邊積分得（收斂半徑自己求）一 1 r 1 （1 jr.） +收斂半徑取以上兩個(gè)收斂cosn= i=-xln(1-x)-2x-21n(1-x)亠 (_ 1嚴(yán)門（1 工）+ 二廠）d* =一 "n（ 1 工）十 243、cosn= (-1) n=l, 2,.原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為sh=+ 十1 <這是個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù).因/rfl+1 ,且1lim , 亠=0“i j n + + 1 !> ijn + 1 + 11則它是收斂的.而(一 l)

26、r，coh= 1/ ? + f + 1是發(fā)散的.所以原級(jí)數(shù)是條件收斂的.44、見(jiàn)=2” sin需j ,則limri » |wn+llim=2 lim2rjsin 3”所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.注意：此題級(jí)數(shù)円145、由于oo工2”血尋與級(jí)數(shù)工;j«=1sin3"tt smsin 3"收斂性判定的區(qū)別!limu f xk±llimln(” + 2)n + 1al |l b. b. a x-* 8n十2ln(zz + 1)所以收斂半徑r=lcxj=lim " lim 并-nz川f e當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為?rln（" + 】）（）m,它是一個(gè)

27、交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且通項(xiàng)單調(diào)遞減，趨于零，故它是收斂的;cj當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為畀=1它是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于通項(xiàng)n（n + 1.1ft 一 1'" 1,由比較判別法和調(diào)和級(jí)數(shù)斂散性知，它是發(fā)散的.所以，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1, 1）.46、這是一個(gè)缺偶次項(xiàng)的幕函數(shù)，由lim“一ac 1wi （兀）1 1 v%（77 + l）x2?il35nm?r （工）iini幵一* g5加'_工（士 1）2?711x hj了時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)?quot;=】所以原級(jí)數(shù)的收斂半徑是尺=岳，收斂域是（揚(yáng)，站8v 5 n,通項(xiàng)不趨于零，故它是發(fā)散的.47、方法一令y=2x+l,則原慕級(jí)數(shù)化為"=o

28、o丫譏 ” +1）（± 1）”當(dāng)y=±：l時(shí)，幕級(jí)數(shù)化為"=1,因其通項(xiàng)不趨于零，故該級(jí)數(shù)發(fā)散所,由收斂半徑公式得新幕級(jí)數(shù)的收斂半徑r=l以vxvo.? + i）y的收斂域?yàn)?l<y<l,從而原幕級(jí)數(shù)的收斂域是-l<2x+kl,即7dc：記和函數(shù)5（ j'） =“5 + 1兩邊積分得co«= icoy（y _scy）dy = | 7?（?z + l）ydy =工0j n 幵=i”=nyrl"1 dy =°心1對(duì)上式求導(dǎo)得g川=1故jn=l-s( y) = n(n + 1 )yn土-1(<1)(1 川(/

29、s(1 一 y)因此，原幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)為qo工 n(n + 1)(2丁 1)"“=】rxi2>(” + l)w方法二 為了求幕級(jí)數(shù)n=,的和函數(shù)，對(duì)幾何級(jí)數(shù)c、1> =宀1"=】?jī)蛇吳髮?dǎo)，得(i y i<1)1ft= l對(duì)該等式兩邊乘以y2后求導(dǎo)，得(1 ww = 1即得(w ri = i(t=r1)八(1二亍< 1)48、將有理分式部分分式化為c 、：' + 3工一4工7<")= 3-104.r1一4工+專廠1 =工丹（1 工 1）i j? z_由基本展開(kāi)式w=02占+專= s<r + fsh = nj «=

30、o ' 0w=|jcxi4"- ht r 13"g4 + s（-n 2ft 0幵=1且 f （0）=1.49、因/3=尹一2工一33 ihwjl-igtw捫*工 + 4 |<所以所求的幕級(jí)數(shù)為3丿3（| "4 |<3）=_ *£ （缶 + 需）（工 + 4）“寸n050、由 a（4,q,1）和 b（3, o）2）得（-1，一屈1）,且易得iai31 =典=2cos«f=c0s5 0方向余弦：2'方向角:在x軸上的投影prj ab=-1,就是向量在x軸上的分向量.2, 1)得prj皿=1 a i： cos(a)= i

31、ab |52、入a+pb與z軸垂直的充要條件為(入4+pb) (0, 0, 1)=0.而 入a+|ib=(3入，5入，-2入)+ (2p, p, 4p) = (3入+2p, 5入+i, 4p-2x) 所以 (3x+2p, 5x+p, 4卩-2入)(0, 0, 1) =0 即 -2入+4|i=0, x=2p故當(dāng)且僅當(dāng)入=2p時(shí)，2+pb與z軸垂直.2)由叉積的定義有53、ab =(2, 4,就=(。,a ab x b c 24 1 6i 一 4 j 4 a:51、由# (4, -3, 4) , b= (2,=土所求單位向量為(6,-4?-4) j 6 + ( 4)? + (4)?54、設(shè)三點(diǎn)分別

32、是a, b, c,則八"x八就是這一平面的法向量，ab =(_3, 一3, 3),a(0, -2, 3),因而所求平面的法向量為n -abx 疋»j-3 -30 -2從而平面方程為-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0a即x-3y-2z = 055> a"=( -4, 2, 1)是所求直線的方向向量，故所求的直線方程為a- 3 y + 2 z 1-42156、由已知直線的方向向量即為所求平面的法向量ij *n = x nz =1 21 = 16/ 4- 14j + 1 h35 2 |由點(diǎn)法式得所求平面方程為-16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0即16x-14y