高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五篇平面向量平面向量的數(shù)量積教案理

1、第3講平面向量的數(shù)量積【2013年高考會(huì)這樣考】1考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算2考查利用數(shù)量積求平面向量的夾角、模3考查利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)緊扣平面向量數(shù)量積的定義，理解其運(yùn)算法則和性質(zhì)，重點(diǎn)解決平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，利用數(shù)量積求解平面向量的夾角、模，以及兩向量的垂直關(guān)系基礎(chǔ)梳理碧歐木蠟油/傲露天然涂料-盡在 天然環(huán)保涂料專賣店1兩個(gè)向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖)，作a，b，則AOB(0°180°)叫做向量a與b的夾角，當(dāng)0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)180°時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是90°，我們

2、說(shuō)a與b垂直，記作ab.2兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的數(shù)量積4向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)e·aa·e|a|cos ；(2)aba·b0；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b|a|·|b|；當(dāng)a與b反向

3、時(shí)，a·b|a|b|，特別的，a·a|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|a·b|a|b|.5向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a；(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a與b的夾角為，則(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)aba·b0x1x2y1y20.數(shù)學(xué)1618 為您分享 此文檔，更多高質(zhì)量素材盡在數(shù)學(xué)16187若A(x1

4、，y1)，B(x2，y2)，a，則|a|(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)一個(gè)條件兩個(gè)向量垂直的充要條件：abx1x2y1y20.兩個(gè)探究(1)若a·b0，能否說(shuō)明a和b的夾角為銳角？(2)若a·b0，能否說(shuō)明a和b的夾角為鈍角？三個(gè)防范(1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足a·ba·c(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量(2)數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(a·b)ca(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(

5、b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等(3)向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120°，而不是60°.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知|a|3，|b|2，若a·b3，則a與b的夾角為()A. B.C. D.解析設(shè)a與b的夾角為，則cos .又0，.答案C2若a，b，c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)·ca·cb·cCm(ab)mambD(a·b)·ca

6、83;(b·c)答案D3(2011·廣東)若向量a，b，c滿足ab，且ac，則c·(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，則c·(a2b)c·a2c·b0.答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，則實(shí)數(shù)x等于()A9 B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案A5(2011·江西)已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，則a與b的夾角為_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得a·b2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答

7、案考向一求兩平面向量的數(shù)量積【例1】(2011·合肥模擬)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，|1，2，則·()_.審題視點(diǎn) 由M是BC的中點(diǎn)，得2.解析如圖，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以2，又2，|1，所以·()·24|2|2，故填.答案 當(dāng)向量表示平面圖形中的一些有向線段時(shí)，要根據(jù)向量加減法運(yùn)算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來(lái)，在這個(gè)過(guò)程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識(shí)【訓(xùn)練1】 如圖，在菱形ABCD中，若AC4，則·_.解析，故··()··.而，.所以&#

8、183;CA28.答案8考向二利用平面向量數(shù)量積求夾角與模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|和|ab|.審題視點(diǎn) 由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得a·b的值，再求其夾角的余弦值，從而得其夾角解(1)(2a3b)·(2ab)61，解得a·b6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22a·bb213，|ab|.|ab|2a22a·bb237.|ab|. 在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|要引起足夠重視，是求距離常用的公式【訓(xùn)練2】 已知a與

9、b是兩個(gè)非零向量，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角解設(shè)a與ab的夾角為，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22a·b|b|2.a·b|a|2，而|ab|2|a|22a·b|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0°180°，30°，即a與ab的夾角為30°.考向三平面向量的數(shù)量積與垂直問(wèn)題【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.審題視點(diǎn) 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，則a·

10、b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，則有1×(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當(dāng)x0時(shí)，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當(dāng)x2時(shí)，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.綜上，可知|ab|2或2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過(guò)解方程求出其中的參數(shù)值在計(jì)算數(shù)量積時(shí)要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個(gè)向量的坐標(biāo)求出來(lái)，再計(jì)算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行整體計(jì)算，把這個(gè)數(shù)量積的計(jì)算化歸為基本的向量

11、數(shù)量積的計(jì)算【訓(xùn)練3】 已知平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求實(shí)數(shù)m，n的值解由于A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，則，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.聯(lián)立，解得或規(guī)范解答10如何解決平面向量與解三角形的綜合問(wèn)題【問(wèn)題研究】 平面向量與三角的綜合性問(wèn)題大多是以三角題型為背景的一種向量描述它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，三角知識(shí)是考查的主體考查的要求并不高，解題時(shí)要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題【解決方案】 解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要考慮向量

12、工具性的作用，如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長(zhǎng)與夾角問(wèn)題，然后注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表達(dá)形式，最后用三角知識(shí)規(guī)范解答【示例】 (本題滿分12分)(2010·安徽)ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cos A.(1)求·；(2)若cb1，求a的值 先求sin A，再利用面積公式求bc，最后利用數(shù)量積及余弦定理可解決解答示范 由cos A，得sin A .(2分)又bcsin A30，bc156.(4分)(1)·bccos A156×144(8分)(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)12×156×25，又a0(10分)a5.(12分) 三角形的三邊可與三個(gè)向量對(duì)應(yīng)，這樣就可以利用向量的知識(shí)來(lái)解三角形了，解決此類問(wèn)題要注意內(nèi)角與向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別，還要注意向量的數(shù)量積與三角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用【試一試】 已知ABC的面積S滿足S3，且·6，設(shè)與