高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案183　不等式的證明二

1、18.3不等式的證明(二)典例精析題型一用放縮法、反證法證明不等式 【例1】已知a，bR，且ab1，求證：(a2)2(b2)2.【證明】 方法一：(放縮法)因?yàn)閍b1，所以左邊(a2)2(b2)222(ab)42右邊.方法二：(反證法)假設(shè)(a2)2(b2)2，則 a2b24(ab)8.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212.所以(a)20，這與(a)20矛盾.故假設(shè)不成立，所以(a2)2(b2)2.【點(diǎn)撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及ab1這個特點(diǎn)，選用重要不等式a2 b22()2來證明比較好，它可以將具備a2b2形式的式子縮小.而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立，結(jié)合條件ab1，得到

2、關(guān)于a的不等式，最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾，從而證明了原不等式.當(dāng)然本題也可以用分析法和作差比較法來證明.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0，a1，a2，an1，an滿足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求證：a1，a2，an10.【證明】由題設(shè)a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假設(shè)a1，a2，an1中存在大于0的數(shù)，假設(shè)ar是a1，a2，an1中第一個出現(xiàn)的正數(shù). 即a10，a20，ar10，ar0，則有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.這與題設(shè)an0矛盾.由此證

3、得a1，a2，an10成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)an，nN*，求證：an.【證明】 方法一：(放縮法)，即n.所以12nan13(2n1).所以an·，即an.方法二：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時，a1，而12，所以原不等式成立.假設(shè)nk (k1)時，不等式成立，即ak.則當(dāng)nk1時，ak1，所以ak1.而(k1)，.所以ak1.故當(dāng)nk1時，不等式也成立.綜合知當(dāng)nN*，都有an.【點(diǎn)撥】 在用放縮法時，常利用基本不等式將某個相乘的的式子進(jìn)行放縮，而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時要注意根據(jù)目標(biāo)來尋找思路.

4、【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，計算得S1，S2，S3，S4，觀察上述結(jié)果推測出計算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】猜想Sn(nN).證明：當(dāng)n1時，S1，等式成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1)時等式成立，即Sk.則Sk1Sk.即當(dāng)nk1時，等式也成立.綜合得，對任何nN，等式都成立.題型三用不等式證明方法解決應(yīng)用問題【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.(1)求an的表達(dá)式；(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于a，如果ba，那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若

5、會，需要經(jīng)過幾年？(取lg 20.30)【解析】(1)依題意得a1a(1)bab，a2a1b(ab)b()2a(1)b，a3a2b()3a()2(1)b，由此猜測an()na()n1()n21b()na4()n1b(nN).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，a1ab，猜測成立.假設(shè)nk(k2)時猜測成立，即ak()ka4()k1b成立.那么當(dāng)nk1時，ak1akbb()k1a4()k11b，即當(dāng)nk1時，猜測仍成立.由知，對任意nN，猜測成立.(2)當(dāng)ba時，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于a，所以()na4()n1·aa，整理得()n5，兩邊取對數(shù)得nlg lg 5，

6、所以n7.故經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失.【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/時)與汽車的平均速度v(千米/時)之間的函數(shù)關(guān)系為y(v0).(1)在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時)(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解析】(1)依題意，y，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v40時，上式等號成立，所以ymax11.1(千輛/時).(2)由條件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：當(dāng)v40千米/時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時.如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時且小于64千米/時.總結(jié)提高1.有些不等式，從正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進(jìn)行命題正確與否的判斷.2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標(biāo)，目標(biāo)在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找.常用的放縮方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如，n；(2)將分子或分母放大(或縮