三角回扣教學(xué)案

1、三角回扣學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與正余弦定理， 會(huì)利用誘導(dǎo)公式與定理 解決三角中求值問(wèn)題。2.熟練掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并且會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想研究三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、值域等性質(zhì)。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)。【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】利用圖象解決三角函數(shù)中的有關(guān)性質(zhì)。根底自測(cè)1.在厶ABC中,角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，假設(shè)a* 2c2 b2)tan B. 3ac，那么C.D.角B的值為A. - B. -63D【解析】2 2 2(a c b )tanB.3ac 變 形 為2 2.2cos B tan Bsin B2a c b 丄 r10,那么tan2 a等

2、于()134A. 3B. 4 C.-祀.-§2. a R,sin a +2cos a【解析】選C.因?yàn)閟in a+2cosVioa=所以 sin2 a+4s in a COS a+4cos 2 a=2.用降幕公式化簡(jiǎn)得:4sin2 a=-3cos2 a,所以tan2si 112 aa= d=_3.函數(shù) f =Asin( A >0, 3 >0,| © |<局部圖象如下列圖，那么f的遞增區(qū)間為(【解析】選B.由圖象可知A=2,),k3llrt n3 ITT=Jug-T，所以T= n,故3=2.n 5n一石 + km 石 + RttZit：'=-2,得&

3、#169; =2k n- (k Z).因?yàn)閨 © | =© =-所以 f(x)=2sinrt(k Z),由 2x-itSirlor-正kTT +正(k Z).3或：T=11TTIt63ti TttIt所以T=n,&-412Jt2Itrt5n6+4=6+7=所以f(x)的遞增區(qū)間是71遠(yuǎn)騙+2x + y=cos的圖象重合,那么© ='(k Z).4.函數(shù)y=s in(2x+ © )(-)的圖象向左平移IJ個(gè)單位后,與函數(shù)2(x + 扌)+ <py=sin L i 7【解析】將函數(shù)y=sin(2x+ © )(- nW©

4、;wn向左平移 個(gè)單位后得到=sin(2x+ n+© )=-sin(2x+© )=cos與 y=cos+ "fi"!的圖象重合，且-nW©Wnjt所以© + =n答案：5.在厶ABC中,cos 2 =(a,b,c 分別為角 A,B,C的對(duì)邊)，那么 ABC的形狀為()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形W b +沖【解析】選B.因?yàn)閏os2 '=,b2 +- a2 b + c所以1+= c化簡(jiǎn)得a2+b2=c2.故KBC是直角三角形86.向量 a=(cosx,sinx),b=(雄 山)，a

5、b=,那么cos' M等于()所以A.- B.- ' C.L I cosA1 :5 D. 58【解析】選D.由a b =弓,cosx+8sinx二,所以 COSX+sinx二cos7.把函數(shù)y=2 sinxcosx+2cos 2x的圖象向左平移©個(gè)單位得到的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱,那么©的一個(gè)可能取值為JLJIJI.A. 12 B. 6 C. 4 D.ji3【解析】選B.y= sin2x+cos2x+1=2s in J+1,平移后，得y=2sin+ 4+=2s inI2x + 召+1,Tt nn由題意，得2 © + =即© =.n8設(shè)函數(shù) f

6、(x)= |sin(x+ 3)|(x R)，那么 f(x)()2 n 7 nnA .在區(qū)間丁，y上是增函數(shù)B .在區(qū)間n 刁上是減函數(shù)n nn 5 nc .在區(qū)間§, 4上是增函數(shù)d .在區(qū)間§,石上是減函數(shù)解析：選 A.f(x)的增區(qū)間為 knW x+n< kn+kG Z)，即 k n呂 x< kn+kC Z).當(dāng) k = 1 ,32362 n 7 n2 n 7 n那么為y w x w ，故在其子區(qū)間§,百上為增函數(shù).1裁9.在厶ABC中,a,b,c 分別為角 A,B,C的對(duì)邊,且/ A=60o ,假設(shè)Saab=,且5sinB=3sinC,那么 AB

7、C的周長(zhǎng)等于.1-V315 廬【解析】依題意得2bcsinA二4 bc= 4 ,即 bc=15,5b=3c,解得 b=3,c=5.由余弦定理得 a2二b 2+c2-2bccosA=19,a= ：,因此AABC的周長(zhǎng)等于a+b+c=8+".答案:8+ "1910.在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂上有一個(gè)觀察站P.上午11時(shí)，測(cè)得東一輪船在島的北偏東300 ,俯角30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島的北偏西60° ,俯角60°的C處,那么輪船的航行速度是 米/時(shí).【解析】PA丄平面 ABC,ZBAC=90 °,ZAPB=60 &

8、#176;ZAPC=30 °,PA=1千米,a/301_從而B(niǎo)C二亍(千米)，于是速度v=BC "=2 倔(千米/時(shí)).答案：2"典例精析例1向量a(i嘆軟血+ C0對(duì),b=(cosx,s in x-cosx),x R,記函數(shù) f(x)= a b(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 在厶ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c 且滿足2b-c=2acosC,求f(B)的取 值圍.解析】(1)由題意知,f(x)= a b=sinxcosx+(sinx-cosx)(sinx+cosx).= sin 2x-cos2x=s innn+ ,k 乙5nnI n令 2k n-

9、 <2x-<2kI n那么可得 k n- 1Wk n+ 12,k 乙所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為7i5mkir -莎 kTT +(k Z).由余弦定理可得 2b-c=2a,整理得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+?-a2 L2 be 2所以A= 6所以B+C= *.2nJtn所以0<Bv亍,所以?V2B- 3v n,所以-<sin<1, 即 - vf(B) <1.己知函截 /X- - CO5T + XCOS + XC I 求 fx豹最卜正熠期和單同遽減區(qū)間：4/ + 1 = 0II在銳角三鬼形ABC中.帝嵐£0所對(duì)的邊分別是a,b,c ,

10、假設(shè)衛(wèi)二船,求A45C J5K的取值范圍*smxcosx =1+ cos 2,v - '3 sin 2x1=cos 4 + )十一.234f(x)的暈小IE周期F = *由 1k M i.t ! <, 2JLt 1 Z t3筆進(jìn)數(shù)屮玄阻單調(diào)諾質(zhì)M旬是收2分了分“.4分5分6分<n)由4/十1“得曲切彳2-1又因?yàn)?2+ -£(-,) ,所.2A+- = r 斡得 4 = - 7 分3333> 石又Ct - Jj r根擁正弦定避得-7= = W = 2 t ，T呂分sinC sm B穿sin 所以c 2sinC.A = 2sin2?故A45C 的周長(zhǎng)l a +

11、 &-Hc = 2sinC + 2siaR + 曲=2&inC + 2 sin( - Ci 十33二 2岔 sin(C + ) +j3 610分閡為站召C是銳角三毎瞪，得巴疋Cc蘭.6 2所臥 < C +< 所4< slh(C +)蘭1 3632&11分所以ABC的周長(zhǎng)的取值范曲是(3 +筋3狗-垃分2 2例 3 函數(shù) f(x)=(sinx+cosx)-2cos x(x R).求函數(shù)f(x)的周期和遞增區(qū)間.假設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-m在碣上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)xg求tan(xi+xO的值.【解析】(1)因?yàn)?f(x)=(sinx+cosx) 2-2co

12、s 2x二sin 2x-cos2x二 sin(2x-)(x R).nI nI itI n3 it由 2k n- <2x-<2k n+ ? k n- <x<k n+ (k Z).所以函數(shù)f(x)的周期為T= n遞增區(qū)間為nkn - RJkn Z).因?yàn)?g(x)二f(x)-m=O同解于 f(x)=m;j在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)= sin(2x-)在0,上的圖象,由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)m 1,勺時(shí),Tf(V方程f(x)=m在可上的區(qū)間丿和“Z有兩個(gè)不同的解X1,X2,且X1與X2關(guān)于直線x=3tt:對(duì)稱，即3n所以 xi+x 2=;故 tan(x i+x 2)=-1.當(dāng)

13、堂達(dá)標(biāo)1.cos 0 =- , 0 (- n ,0),那么 sin +cos =( A.B.C.D. ±【解析】選C.因?yàn)閏os 0=-25,0(- n,0),所以sin210二-刃1125* e葉sili + COSy i所以£“ =1+sin又 COS B=- 25<0,(- n,0),所以計(jì)所以'(A J0I0 lol所以 sin <0,|sin |>|cos |,01 G |所以 sin +cos =-.2. ABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列，那么角 B的圍是A. 0, B.,C., D. 0,-36 24 226. A【解析】試題分析：由

14、題意得，因?yàn)閏osB2ac22. a C、2a c ( 2 )3(a2 c2) 2ac 6ac 2ac2ac2ac8aca cABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列，所以b，所以22 2 2a c b1，當(dāng)且僅當(dāng)2，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知ac時(shí)等號(hào)成立，又B 0,B (0,，應(yīng)選 A.3.函數(shù)f(x)=sin( 3 x+© )( 3 >0)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為.假設(shè)角©的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,2),那么f=( )A.肓 B.忖 C.-5D.-5rt2 k【解析】選D.由題意得T=2 x2 =,所以3點(diǎn)P(-1,2)到原點(diǎn)的距離為r二. 丨'5 '

15、;,_2| _ 1所以 sin © = ,cos © 二.,f(x)=sin(2x+© ),'5ir'sini (T+<P) =si n=cos © =-4.設(shè)a為銳角，假設(shè)cos:,那么sin【解題導(dǎo)引】利用a-ifI，并結(jié)合三角變換公式求解It2n【解析】由于a為銳角,那么0< a<sina -n),那< a+ & < 3 ,因此=rt-'>0,所以 si所以sin'=si n15答案:拓展延伸cosa1.sin a +cosa =,那么 tan a的值為()A.-1B.-2

16、C.D.2【解析】選D.依題意得(sin a+cos a)2= 1+2sin acos a=2,+ sina二好 inncosLT=2£incccosa(=2.costt所以 2sin acos a=1,從而 tan a2.將函數(shù)f(x)=2 7'cos2x-2sinxcosx- 2的圖象向左平移t(t>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，那么t取最小值時(shí)g(x)=()A.-2s in2xB.2si n2xC.-s inxD.si nx【解析】選A.由題意得，f(x)=2cos 2x-2sinxcosx- 由二cos2x-s in 2x=2cos將函數(shù)f

17、(x)的圖象向左平移t(t>0)個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=2cos儂+ 2t +現(xiàn)卩,n又g(x)為奇函數(shù)，所以2t+的最小值為，解得 tmin =:.此時(shí) g(x)=-2sin2x.且tan a =怕叩,那么(-B = C.3 a +B =sinu 1 + sinpG：芮二 ：叫；B.2 aHD.2 a + B =1 + Sinp【解析】選B.由tan a=，得即 sin aCOS B=cos a+cos asin B,所以sin(®=cos a=sin所以a-a-因?yàn)閍n na 所以由 sin( a- B)=sin ' 一得 a- 3= - - a,所

18、以2 a- 3=4.假設(shè)函數(shù) f(x)=cos2x+asinx在區(qū)間上是減函數(shù)，那么a的最大值是【解題導(dǎo)引】將函數(shù)f(x)=cos2x+asinx化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)的 形式,結(jié)合圖象求解.2x+as inx,【解析】f(x)=cos2x+asinx=1-2sin令 t=sinx,x原函數(shù)化為y=-2t 2+at+1,由題意與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定可知 y=»+at+1在丄上是減函數(shù)結(jié)合拋物線圖象可知 2所以a的最大值是2.答案：2向量 m【EW),n=(陀8%.記 f(x)= m n,求f(x)的最小正周期. 在厶ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cos