公理集合論_圖文

1、1公理集合論公理集合論把一些符號(hào)組成的表達(dá)式稱為集合, 是一種純粹形式化的理論, 徹底擺脫了 集合直觀語(yǔ)義的束縛。 公理集合論建立在若干公理組成的公理系統(tǒng)之上。 最著名的集合論公 理系統(tǒng)是由德國(guó)邏輯學(xué)家 Zermelo 和 Frankel 等人提出的 ZFC 公理系統(tǒng)。 它包含 10組公理, 一部分公理規(guī)定集合應(yīng)當(dāng)具有的幾個(gè)簡(jiǎn)明性質(zhì), 另外一部分公理定義了可稱為集合的表達(dá)式。 本講我們先了解公理集合論的淵源,然后重點(diǎn)學(xué)習(xí) ZFC 公理系統(tǒng)。1. 康托的樸素集合論和羅素悖論在思考和表達(dá)時(shí), 我們會(huì)把一些對(duì)象視為一個(gè)整體, 并稱之為某某類(class 或者某某集合(set 。例如,所有的實(shí)數(shù)構(gòu)成一

2、個(gè)類, 實(shí)數(shù)類又可劃分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)等兩個(gè)類。 這些概念的出現(xiàn)顯然是我們對(duì)于思考對(duì)象進(jìn)行分類的自然結(jié)果,并非人為定義的。因此,古代數(shù)學(xué)中就出現(xiàn)了這個(gè)概念(古希臘? 。 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家歐拉和 19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家布爾都分別用這個(gè)概念論證亞里士多德邏輯學(xué)中的推理模式的正確性。而對(duì)于集合的研究始于 19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家康托 (Cantor 。 當(dāng)戴德金用有理數(shù)的分割來(lái)定義實(shí)數(shù)時(shí),康托把實(shí)數(shù)集合作為研究對(duì)象。 他證明了實(shí)數(shù)集合的無(wú)窮大比自然數(shù)集合的無(wú)窮大更大。 這個(gè)有趣的發(fā)現(xiàn)促使他研究更多更大的無(wú)窮集合, 發(fā)現(xiàn)了一個(gè)又一個(gè)新穎的關(guān)于無(wú)窮集合的性質(zhì)。 這些結(jié)果發(fā)表在 1874年的一篇論文中,開(kāi)創(chuàng)了集合論這

3、門新的數(shù)學(xué)分支。康托在這篇文章中對(duì)集合的定義如下(翻譯為英文 :A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception or of 顯然,這是關(guān)于集合的直覺(jué)概念,并不是嚴(yán)格的定義(formal definition ,我們稱之為集合 概念的樸素定義(naïve definition 。事實(shí)上,并非任何對(duì)象的全體都可以稱為集合。例如, 所有集合的全體,若稱為集合則導(dǎo)致矛盾?？低斜救嗽?18世紀(jì)末就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)矛盾,但是 沒(méi)有聲張。后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素在 1902年發(fā)

4、現(xiàn)了另外一個(gè)矛盾,表述如下:令 T 是所有不 是自己的成員的集合全體,即|x T x x =若 T 是集合, 則 T 是自己的成員當(dāng)且僅當(dāng) T 不是自己的成員。 這個(gè)矛盾在數(shù)學(xué)史上稱為羅素悖論(Russell s Paradox 。 羅素自己解決不了這個(gè)悖論,就寫(xiě)信告訴了德國(guó)的弗 雷格 (Frege 。弗雷格是一階邏輯的創(chuàng)始人,他致力于用其所創(chuàng)的一階邏輯語(yǔ)言表達(dá)和分析人類的2 自然語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言。其著作算術(shù)原理中用到了集合概念。當(dāng)他得知羅素所發(fā)現(xiàn)的悖論 時(shí), 上冊(cè)已發(fā)表, 下冊(cè)也即將完稿, 但是這個(gè)悖論的突然出現(xiàn)迫使弗雷格終止了它的出版計(jì) 劃。 這個(gè)悖論提醒了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們, 并非任何對(duì)象的全

5、體都可以稱為集合, 我們關(guān)于集合 概念的直覺(jué)是有問(wèn)題的,必須進(jìn)行梳理,以正本清源。為了避免矛盾, ZFC 公理系統(tǒng)用 10組公理描述集合的基本性質(zhì)和集合實(shí)例的定義方式。 ZFC 公理系統(tǒng)已經(jīng)被普遍接受為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),其基本思想是:(1 把“集合”當(dāng)作整個(gè)數(shù)學(xué)的第一概念,沒(méi)有定義,也不可能定義。(2 建立一個(gè)一階邏輯語(yǔ)言,用于精確地表達(dá)關(guān)于集合的命題。(3 設(shè)定若干公理, 用于指定集合的構(gòu)造方法和必須具備的性質(zhì), 以避免出現(xiàn)矛盾。(4 應(yīng)用一階邏輯推理系統(tǒng)證明集合定理,即關(guān)于集合的永真命題。公理集合論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅洛所開(kāi)創(chuàng)。 1908年他首先提出了 7組集合公理。 這些公理是用自然語(yǔ)言和數(shù)

6、學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述的。 1921年弗蘭克爾(Frankel 指出這些公理不足以證明某些特定集合的存在性。 1922年弗蘭克爾用一階邏輯語(yǔ)言對(duì)策梅洛的公理系統(tǒng)進(jìn)行完善,形成了 ZFC 公理系統(tǒng),其中 Z 指策梅洛, F 指弗蘭克爾, C 指選擇公理(axiom of choice 。幾乎同時(shí)斯克萊姆(Skolem 也在做這項(xiàng)工作,并于 1922年獨(dú)立于弗蘭克爾提出了 ZFC 公理系統(tǒng)中的替換公理。 1925年, 馮諾依曼在其博士論文中指出這個(gè)公理系統(tǒng)不能排除包含自己的集合, 并提出正則公理 (axiom of regularity 以排除這個(gè)現(xiàn)象。目前, ZFC 公理系統(tǒng)共有 10組公理,被普遍接受

7、為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格基礎(chǔ)。2. 元概念元概念是我們思維中形成的直覺(jué)概念,不是有嚴(yán)格定義的數(shù)學(xué)概念,不屬于數(shù)學(xué)理論體系, 但是它們是數(shù)學(xué)概念的原型, 我們用以理解和解釋數(shù)學(xué)概念。 下面所列是解釋 公理集合論時(shí)常用的元概念。對(duì)象 :客觀存在的事物和思想觀念, 是我們思考和表達(dá)的對(duì)象。 這顯然是一個(gè)基于人類直覺(jué) 的元概念,沒(méi)有嚴(yán)格的定義,也無(wú)法嚴(yán)格地定義。類 :若干對(duì)象組成的全體稱為類(class ,其中的對(duì)象稱為這個(gè)類的成員(member 或者元 素(element 。這也是一個(gè)基于人類直覺(jué)的元概念。3. 集合論的形式語(yǔ)言以下內(nèi)容參考自 Thomas Jech所著 Set Theory 。(1 符號(hào)表 :

8、非邏輯符號(hào)包括等號(hào) =和成員關(guān)系符 , 邏輯符號(hào)包括五個(gè)聯(lián)結(jié)詞 3, , , , , 兩 個(gè) 量 詞 , , 小 括 號(hào) 與 逗 號(hào) , 個(gè) 體 變 元 , , , x y z 與, , , X Y Z 。(2 公式 :由如下兩種原子公式, x yx y = 通過(guò)命題聯(lián)結(jié)詞和量詞組合而成的一階公式。量詞公式的簡(jiǎn)寫(xiě):( x x y 簡(jiǎn)寫(xiě)為 ( x y , ( x x y =簡(jiǎn)寫(xiě)為 ( x y =語(yǔ)義 :集合論的論域?yàn)樗屑? 因此在集合論中, 所謂的對(duì)象就是集合。 在集合論公式中, 集合用個(gè)體變?cè)硎尽?x y =表示集合 x 與集合 y 相等, 即兩個(gè)集合所含的成員完全相同 (這 個(gè)定義將用

9、所謂外延公理給出 。 x y 表示集合 x 是集合 y 的成員。 注意, 定義一個(gè)集合就 是指定該集合的所有成員。不含自由變?cè)墓椒Q為 語(yǔ)句 (sentence ,表示集合命題。含自 由變?cè)墓椒Q為 命題函數(shù) (propositional function ,其表達(dá)功能相當(dāng)于 謂詞 (predicate , 即表示對(duì)象的性質(zhì)。 特別地,一個(gè)謂詞就是一個(gè)命題函數(shù)。反之, 任何命題函數(shù)都定義一個(gè) 謂詞。注意 ,上述一階語(yǔ)言中,沒(méi)有個(gè)體常元和函數(shù),除了 =和 這兩個(gè)謂詞符號(hào)外,沒(méi)有其它的 謂詞符號(hào)。 因此,用這個(gè)語(yǔ)言表達(dá)不是很復(fù)雜的集合命題時(shí), 所需的公式也往往比較長(zhǎng)。為 了簡(jiǎn)化命題表達(dá),我們引

10、入可定義類這個(gè)概念。4. 可定義類定義 4.1(可定義類 對(duì)于任何集合論公式 P (x ,下列表達(dá)式稱為 P (x 所定義的類 :|(x P x這種由某個(gè)公式所定義的類統(tǒng)稱 可定義類 (definable class ,簡(jiǎn)稱 類 。一個(gè)類若不是集合, 則稱為 真類 (proper class 。我們將看到,任何集合都是可定義類。事實(shí)上,根據(jù) ZFC 公理,對(duì)于任何集合 x ,我們有 |x y x y =。根據(jù)定義,羅素悖論中的 T 是真類。注意 :可以用一階公式定義的類只有可列多個(gè)。定義 4.2(類的名字 若 A 是一個(gè)不在集合論形式語(yǔ)言中的記號(hào),我們用 |(A x P x =表 示等號(hào)右邊的

11、類被命名為 A 或者等號(hào)右邊的表達(dá)式被簡(jiǎn)記為 A 。這樣符號(hào) A 在語(yǔ)義上將等 同于類或者表達(dá)式 |(x P x 。定義 4.3(類的成員 若 A 是公式 P (x 所定義的類,則任何使得 P (x 成立的集合稱為 A 的成4員,也記為 x A ,讀作“ x 屬于 A ” 。定義 4.4 所有集合組成的類V =x | x=x稱為 全總類 (universal class ,它是集合論的 論域 (universe 。思考 :讀者可以證明,全總類是真類。我們將定義關(guān)于類的運(yùn)算、 關(guān)系和函數(shù)等等概念。 這些概念可以簡(jiǎn)化我們關(guān)于集合命題的表 達(dá),但是這些概念的這些標(biāo)的功能都可以被純粹的但繁瑣的集合論一

12、階公式所取代。 定義 4.5 設(shè) C , D 是可定義類。(1若 C 的成員都是 D 的成員,則稱 C 是 D 的子類(subclass ,記為 C D 。(2并(union :| C D x x C x D = (3交(intersection :|C D x x C x D =(4差(difference :|C D x x C x D -=定義 4.6(參考 Jech 第 7頁(yè)設(shè) a,b,c 是可定義類。有序?qū)?(a,b=a,a,b3-元組 :(a,b,c=(a,b,c 請(qǐng)讀者寫(xiě)出其枚舉表示。n-元組 :請(qǐng)讀者寫(xiě)出其定義。定義 4.7(類的乘積 設(shè) A , B 是類。定義二者乘積如下(,

13、 |A B a b a A b B =這個(gè)定義可推廣到更多的類之間的乘積,其定義方法顯然。 A 自身的 n 次乘積稱為 A 的 n 次冪,記為 A n 。定義 4.8(類之間的二元關(guān)系 ,參考 Jech 第 11頁(yè)與前面集合之間的二元關(guān)系定義相似, 略。定義 4.9(函數(shù) 設(shè) f 是兩個(gè)類之間的二元關(guān)系。(1 若對(duì)于 f 中的每個(gè)原像 x , 存在唯一的像 y , 使得 (, x y f , 則稱 f 是 函數(shù) (function 。(2 通常若 y 是 x 在函數(shù) f 下的像,則稱 y 是 f 在 x 處的值,并記為 y =f (x 。任何類 X在 f 下的 像 定義為5(|( (y x f

14、 X y x X f =5. ZFC 公理系統(tǒng) ZFC 公理系統(tǒng)包括 8個(gè)公理和 2個(gè)公理模式。 公理模式包含無(wú)窮多個(gè)具有相同模式的公 理。 8個(gè)公理都可以表達(dá)為一個(gè)集合論公式,讀者可嘗試寫(xiě)出它們。(ZF1 外延公理 :若兩個(gè)集合 x 和 y 所含的元素完全相同, 則這兩個(gè)集合相等, 記為 x =y 。根據(jù)外延公理,我們有 a,b=b,a和 a,a,b=a,b。練習(xí) :請(qǐng)讀者試用集合論公式表示外延公理。(ZF2空集公理 :類 =|x x x 是集合,稱為空集(empty set 。根據(jù)定義,空集不含任何元素。再根據(jù)定義 3.3(1,空集是任何類的子類。(ZF3配對(duì)公理 :對(duì)于任何集合 x 和

15、y ,類 x , y 是集合。(ZF4子集公理模式 :對(duì)于任何類 A ,若 A 是某集合 B 的子類,則 A 是集合,并稱為 A 為 B 的子集(subset 。注意,在子集公理模式中,每個(gè)類 A 對(duì)應(yīng)著一條子集公理。因此,子集公理模式是不能用 一個(gè)公式表達(dá)出來(lái)的。子集公理模式也可表述為,對(duì)于任何集合 A 和命題函數(shù) P (x ,可定義集合如下|(x x A P x 為了簡(jiǎn)化表達(dá),上述定義形式可寫(xiě)為如下形式|(x A P x 根據(jù)空集公理與子集公理模式,空集是任何集合的子集。(ZF4并集公理 :對(duì)于任何集合 A , A 是集合,其定義如下:|( A x y y A x y =我們把該集合稱為 A 的(廣義 并 。例如,若 A =1,2,2,3,則 A =1,2,3。(ZF5 冪集公理:若 A 是集合, 則 A 的所有子集組成一個(gè)集合, 稱為 A 的 冪集 , 記為 (A 或者 2A ,其定義為2|A x x A =練習(xí)：寫(xiě)出集合 A=1,2,3的所有子集和冪集。 顯然，對(duì)于任何集合 A，都有 2 = A A （ZF6）無(wú)窮公理：存在一個(gè)集合 A， Æ Î A 且對(duì)任何 x Î A 都有 x x Î A 集合。 具有上述性質(zhì)的集合稱為歸納集（inductive set） 。