2019年全國卷Ⅰ理數(shù)高考試題文檔版(含答案)

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。2 .作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑； 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。3 .非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng) 位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按 以上要求作答無效。4 .考生必

2、須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的。1,已知集合 M =x T<x <2, N =xx2x6<0,則 mAn =A. xY<x<3B.xY<x<-2C.x-2<x<2D.x 2 < x <3)2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-i =1, z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x, y),則A. (x+1)2+y2 =1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=10 20 33,已知 a=log20.

3、2, b=2 , c =0.2 ,則A. a <b <cB. a <c <bC. c<a <bD. b <c<a君-1 （吏二1-0.618,4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 立二1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長2度為26 cm,則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsinx x5,函數(shù)f(x)=2在一工組的

4、圖像大致為cosx xB.-ITA.-7T6個(gè)爻組成，爻分為6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一 “重卦”由從下到上排列的3個(gè)陽爻”和陰爻“一 一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有的概率是7.8.9.51611B.3221 C.32D.已知非零向量a, b滿足|a| = 2| b| ,且(a b) _Lb,則a與b的夾角為花B.3C.2 7t3D.如圖是求11161二2 12的程序框圖,圖中空白框中應(yīng)填入A. A=2 A1B. A=2 + AC.1A=1 2A1D. A=1+2A記&為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S4 =0, a5 =5 ,則A. a

5、n =2n 5B. an=3n102C. Sn=2n -8nD.Sn = 1 n2 - 2n210.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1,0), F2(1,0)過F2的直線與C交于A, B兩點(diǎn).若 | AF2|=2|F2B|,|AB|qBF1 |,則C的方程為2“ x 2/A. + y =1222x yB. 一+匚=13222xyc.+1=143D.11.關(guān)于函數(shù)f (x) =sin | x |+|sin x |有下述四個(gè)結(jié)論:f(x)是偶函數(shù)f(x)在蹲司有4個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號是A.B.TTf(x)在區(qū)間(二，江)單調(diào)遞增2f(x)的最大值為2C.D. ABC是邊長為2的正三角形，E, F1

6、2.已知三棱錐 P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球 O的球面上，PA=PB=PC,分別是PA, PB的中點(diǎn)，/ CEF=90° ,則球。的體積為B. 476n二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 1214 .記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1 =、a4 =a6 ,則S5二 315 .甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為主主客客主客主設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以 4： 1獲

7、勝的I率是 .2216. 已知雙曲線 C:44=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過Fi的直線與C的兩條漸近線 a b分別交于A, B兩點(diǎn).若F1A = AB, F1B F2B=0,則C的離心率為 1721題為必考題，每個(gè)試題考生三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (12 分)2 一 2ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,設(shè)(sinBsinC) =sin A sinBsinC.(1)求 A；(2)若展a+b=2c,求 s

8、inC.18. (12 分)如圖，直四棱柱ABCD - AiBiCiDi的底面是菱形，AAi=4 , AB=2, Z BAD =60° , E, M, N分別是BC,BBi, AiD的中點(diǎn).(1)證明：MN /平面 CiDE；(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.19. (12 分)已知拋物線C: y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為3的直線l與C的交點(diǎn)為A, B,與x軸的交點(diǎn)為P. 2(1)若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程；T T若 AP =3PB,求 |AB|.20. (12 分)已知函數(shù)f (x) =sin x-ln(1+x), f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:(1

9、) f (x)在區(qū)間(1j)存在唯一極大值點(diǎn)；2(2) f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21. (12 分)為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題， 約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治

10、愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和3, 一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為 X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p"i =0,1,|,8)表示 用藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0 =0 , p8 =1 , pi =api+ bpi+cpi書(i =1,2,|,7),其中a = P(X=T), b = P(X=0), c = P(X =1) .假設(shè) a =0.5, P=0.8.(i)證明： Pt pi (i =0,1,2,川,7)為等比數(shù)列；(ii)求p4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.(二)選考題

11、：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1-t21 t24t1t2(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2 Pcos9 +V3Psin 0+11 = 0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1.證明:111222(1) +- +- < a +b +c ；a b c333(a+b) +(b+c) +(c+a) &

12、gt;24 .2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)？參考答案選擇題C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C 12. D填空題13.17.y=3x14. 12115. 0.1816. 23解答題,.一.22,2222解：(1)由已知得 sin B+sin C-sin A = sinBsinC,故由正弦定理得 b +c -a =bc.由余弦定理得cos A =222b2c2 - a212bc因?yàn)?0 <A<180 ,所以 A = 60 . 由(1)知B=1201C ,由題設(shè)及正弦定理得 J2sin A + si

13、n(120：C )=2sin C,_ .6.3-1 一 一2 2即十 cosC +sin C =2sin C ,可得 cos(C +60 尸22222由于 0 <C <120 ,所以 sin(C +60 )=一，故 2sinC =sin C 60 -60= sin C 60 cos60 -cos C 60 sin 6062 .418.解：(1)連結(jié) BiC, ME.因?yàn)镸, E分別為BBi, BC的中點(diǎn)，所以 ME/BiC,且 ME = 1BiC.21又因?yàn)镹為AiD的中點(diǎn)，所以ND= -AiD.由題設(shè)知AiBi鼻DC ,可得BiC A AiD ,故ME J ND ,因此四邊形MN

14、DE為平行四邊形， MN / ED.又MN0平面EDCi,所以MN /平面CiDE.(2)由已知可得 DEL DA.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，da的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(2,0,0) , Ai(2,0,4) ,M(i#,2) , N(i,0,2) , AA = (0,0,-4) , AM =(-i,73,-2),= (-1,0, -2), MN =(0, -73,0) ./、m AiM =0設(shè)m =(x,y,z)為平面Aima的法向量，則$ 一m A1A = 0I x 、3y -2z = 0, 所以 V x "3y 2z 0可取 m =(齊1,0).M

15、z =0-n MN =0,設(shè)n =(p,q,r)為平面AiMN的法向量，則 一n A1N =0.所以廣相=°'可取n = (2,0,-1).-p -2r =0.于是cos m, n=生N=23 / | ml I n | 2 . 55所以二面角A-MA1 -N的正弦值為 邈 .5319.解：設(shè)直線l : y =X+t, A%, y 杷限加）.33(1)由題設(shè)得F . -,0卜故| AF | +|BF |=x1+x2+萬，由題設(shè)可得x1+x23,y =-x t2212(t -1)由 2 ，可得 9x +12(t 1)x+4t =0,則 Xi+x2=-y2 =3x912(t -1)

16、 57從而-=一,得t = 一一92837所以l的方程為y = -x 28由 AP =3pB可得 y1 = 3y2.3., y = x t 一,12由2 ，可得 y -2y +2t=0 .2 人y =3x所以 yi + y2 = 2 .從而 一3 y2 + y2 = 2 ,故 y2 = 1, y1 = 3 .1代入C的方程得x1 =3,x2 =1 . 3拓 4 13故| AB| = =. 3一 、一 ，、一 ，、1,120.解：(1)設(shè) g(x) = f (x),貝U g(x) =cosx -, g'(x) = sin x +2 .1 x(1 x)當(dāng)xw11-i時(shí)，g'(x)單

17、調(diào)遞減，而g(0)>0, g'(-)<0,可得g'(x)在''-1,- i有唯一零點(diǎn)，.22.2設(shè)為：.則當(dāng) x W (-1,S)時(shí)，g'(x) A0 ；當(dāng) xW fa二 i時(shí)，g'(x) <0. 2所以g(x)在(-1©單調(diào)遞增，在la,- j單調(diào)遞減，故g(x)在匚1j存在唯一極大值點(diǎn)， 22即f'(x)在1-1,：存在唯一極大值點(diǎn).(2) f(x)的定義域?yàn)?-1,收).(i)當(dāng) xW(1,q 時(shí)，由(1)知，f'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，而 f'(0)=0,所以當(dāng) xW(1,0)時(shí)，

18、f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，又f(0)=0 ,從而x = 0是f(x)在(-1,0的唯一零點(diǎn).(ii)當(dāng)x"o，l時(shí)，由(1)知，f'(x)在(0)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而f'(0)=0 12v 2J，f' 5<0,所以存在 PW 1使得 f'(P)=0,且當(dāng) XW(0,PW,f'(X)A03x/p,12. 2.2時(shí)，f'(X)<0 .故f(x)在(0邛)單調(diào)遞增，在fp,- l'單調(diào)遞減.,2又 f(0)=0, f 9I=1n ,1+三>0 ,所以當(dāng) xw(01 時(shí)，f(x

19、)>0 .從而，f(x)在，0,三1 2222沒有零點(diǎn).(iii)當(dāng)xw E J時(shí)，f'(x) <0,所以“*)在匕冗)單調(diào)遞減.而f Ya0 , f (n)c0 ,1212 )22)所以f(x)在化兀有唯一零點(diǎn).2(iv)當(dāng)xw(再+)時(shí)，ln(x+1)>1 ,所以f (x) <0,從而f (x)在(加,+)沒有零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21.解：X的所有可能取值為 1,0,1 .P(X =-1) = (1-叼久P(X =0) =： '- (1-： )(1-),P(X =1)=:(1-)所以X的分布列為X 101(2)由(1)得 a =0.4, b=0.5, c=0.1.因此 r=0.4r °+0.5 Pi+0.1 R* 故 0.1( Pi+ 一 R )=0.4( p - Pi)，即Pi i - Pi = 4 Pi - Pi j .又因?yàn)镽 Po =Pi ¥0,所以n中Pi(i =0,1,2/H，7)為公比為4,首項(xiàng)為Pi的等比數(shù)歹U.(ii)由(i)可得一,48 -1P8= P8 -P7. P7 -P61Hpi-P0P0=P8- P7P7- P6 l|lPi- P。= Pi.3,3由于P8=i ,故Pi =-8 ,所以